Определение интеграла Римана, простейшие свойства — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 9 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
{{Определение
Пусть есть отрезок <tex>\left [ a,b \right ]</tex> и некоторое <tex dpi = "140">\tau:a=x_0<x_1<...<x_n=b</tex> (<tex>\tau</tex> называется разбиением <tex>\left [ a,b \right ]</tex>). <tex dpi = "140">\Delta_k=x_{k+1}-x_k</tex> называется длиной текущего отрезка разбиения.
+
|definition=
 +
Пусть есть отрезок <tex>\left [ a,b \right ]</tex> и некоторое <tex> \tau : a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b </tex> (<tex>\tau</tex> называется ''разбиением'' отрезка <tex>\left [ a,b \right ]</tex>).
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex>\Delta_k=x_{k+1}-x_k</tex> длина текущего отрезка разбиения.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex>\operatorname{rang} \tau = \max \left \{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{n-1} \right \}</tex>
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex>\overline{x_k}</tex> {{---}} произвольное <tex>x</tex> из <tex>\left [ x_k,x_{k+1} \right ]</tex>, <tex>f</tex> {{---}} функция, заданная на отрезке <tex>[a; b]</tex>, <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a; b]</tex>.
 +
 
 +
Тогда <tex>\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex>
 +
(также обозначается как <tex>\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex>\sigma \left ( \tau \right )</tex>)
 +
<tex>~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex>
 +
называется '''интегральной суммой Римана''' по разбиению <tex>\tau</tex>.
 +
}}
  
<tex>rang~ \tau \stackrel{\mathrm{def}}{=} \max \left \{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{n-1} \right \}</tex><br>
+
<tex>I= \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )</tex> <tex>\stackrel{\mathrm{def}}{\iff} </tex> <tex>\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall \tau : \operatorname{rang} \tau<\delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | < \varepsilon</tex>
<tex dpi = "140">\overline{x_k} \mathcal {2} \left [ x_k,x_{k+1} \right ]</tex>, <tex>~f\colon { \left [ a,b \right ]} \to {\mathbb {R}}</tex><br>
 
<tex dpi = "140">\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex> (также обозначается как <tex dpi = "140">\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex dpi = "140">\sigma \left ( \tau \right )</tex>) <tex>~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex> называется интегральной суммой Римана по разбиению <tex>\tau</tex>.<br>
 
<tex dpi = "140">I=$$\lim\limits_{rang~ \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )$$\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\forall \epsilon >0~\exists \delta >0: rang~ \tau<\delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | < \varepsilon\left ( \forall \left \{ \overline{x_k} \right \}\right )</tex>
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Определённым интегралом Римана функции <tex>f</tex> называется предел её интегральных сумм, коротко записывается как <tex>\int\limits_a^b f(x)\,dx = \int\limits_a^b f</tex>
+
Определённым интегралом Римана [[Отображения|функции]] <tex>f</tex> называется [[Предел последовательности|предел]] её интегральных сумм, коротко записывается как <tex>\int\limits_a^b f(x)\,dx = \int\limits_a^b f</tex>
 
}}
 
}}
  
Факт существования интеграла функции <tex>f</tex> обозначается как <tex>f \in R\left ( a,b \right )</tex>
+
Факт существования интеграла функции <tex>f</tex> обозначается как <tex>f \in \mathcal{R}\left ( a,b \right )</tex>
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 +
|id= utv1
 
|statement=
 
|statement=
Если <tex>f \mathcal {2} R\left ( a,b \right )</tex>, то <tex>f</tex> ограничена.
+
Если <tex>f \in \mathcal R\left ( a,b \right )</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} ограничена.
 
|proof=
 
|proof=
Пусть <tex dpi = "140">\exists I=\lim \sigma \left ( f, \tau \right ), ~\varepsilon=1</tex>. Делим <tex>\left [ a,b \right ]</tex> на <tex>n</tex> разных частей, так, чтобы <tex dpi = "140">\frac{b-a}{n}<\sigma </tex> и фиксируем такое разбиение. Среди отрезков <tex>x_n</tex> берём один из них: <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex> и варьируем <tex dpi = "140">\overline{x_{k_0}}</tex> в его пределах произвольно; для других отрезков в качестве промежуточных точек берём их левую границу.
+
Пусть <tex>\exists I=\lim \sigma \left ( f, \tau \right ), ~\varepsilon=1</tex>.
<tex>I-1-\sum\limits_{k=0,k \neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot\Delta_{k}<f \left ( \overline{x_{k_0}} \right )\cdot\Delta_{k_0}<I+1-\sum\limits_{k=0,k \neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot \Delta_{k}</tex>. Разделим на <tex> \Delta_{k_0}: \left | f \left ( \overline{x_{k_0}} \right ) \right | \leqslant M_{k_0}</tex> на <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex>. Проделывая так с каждым отрезком, мы увидим, что на каждом из них фунцкия ограничена, значит, она будет ограничена на всём отрезке.
+
Делим <tex>\left [ a, b \right ]</tex> на <tex>n</tex> разных частей, так, чтобы <tex>\frac{b-a}{n}<\delta </tex> и фиксируем такое разбиение.
 +
Среди отрезков <tex>x_n</tex> берём один из них: <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex>
 +
и варьируем <tex>\overline{x_{k_0}}</tex> в его пределах произвольно;
 +
для других отрезков в качестве промежуточных точек берём их левую границу.
 +
<tex>I-1-\sum\limits_{k=0, k \neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot\Delta_{k}<f \left ( \overline{x_{k_0}} \right )\cdot\Delta_{k_0}<I+1-\sum\limits_{k=0,k \neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot \Delta_{k}</tex>.
 +
Разделим на <tex> \Delta_{k_0}: \left | f \left ( \overline{x_{k_0}} \right ) \right | \leqslant M_{k_0}</tex> на <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex>.
 +
Проделывая так с каждым отрезком, мы увидим, что на каждом из них фунцкия ограничена, значит, она будет ограничена на всём отрезке.
 
}}
 
}}
  
 
[[Категория: Математический анализ 1 курс]]
 
[[Категория: Математический анализ 1 курс]]

Текущая версия на 19:28, 4 сентября 2022

Определение:
Пусть есть отрезок [math]\left [ a,b \right ][/math] и некоторое [math] \tau : a = x_0 \lt x_1 \lt \dots \lt x_n = b [/math] ([math]\tau[/math] называется разбиением отрезка [math]\left [ a,b \right ][/math]).


Определение:
[math]\Delta_k=x_{k+1}-x_k[/math] длина текущего отрезка разбиения.


Определение:
[math]\operatorname{rang} \tau = \max \left \{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{n-1} \right \}[/math]


Определение:
Пусть [math]\overline{x_k}[/math] — произвольное [math]x[/math] из [math]\left [ x_k,x_{k+1} \right ][/math], [math]f[/math] — функция, заданная на отрезке [math][a; b][/math], [math]\tau[/math] — разбиение отрезка [math][a; b][/math].

Тогда [math]\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )[/math] (также обозначается как [math]\sigma \left ( f, \tau \right )[/math] или [math]\sigma \left ( \tau \right )[/math]) [math]~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}[/math] [math]f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}[/math]

называется интегральной суммой Римана по разбиению [math]\tau[/math].


[math]I= \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )[/math] [math]\stackrel{\mathrm{def}}{\iff} [/math] [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0\ \forall \tau : \operatorname{rang} \tau\lt \delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | \lt \varepsilon[/math]


Определение:
Определённым интегралом Римана функции [math]f[/math] называется предел её интегральных сумм, коротко записывается как [math]\int\limits_a^b f(x)\,dx = \int\limits_a^b f[/math]


Факт существования интеграла функции [math]f[/math] обозначается как [math]f \in \mathcal{R}\left ( a,b \right )[/math]

Утверждение:
Если [math]f \in \mathcal R\left ( a,b \right )[/math], то [math]f[/math] — ограничена.
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\exists I=\lim \sigma \left ( f, \tau \right ), ~\varepsilon=1[/math]. Делим [math]\left [ a, b \right ][/math] на [math]n[/math] разных частей, так, чтобы [math]\frac{b-a}{n}\lt \delta [/math] и фиксируем такое разбиение. Среди отрезков [math]x_n[/math] берём один из них: [math]\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ][/math] и варьируем [math]\overline{x_{k_0}}[/math] в его пределах произвольно; для других отрезков в качестве промежуточных точек берём их левую границу. [math]I-1-\sum\limits_{k=0, k \neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot\Delta_{k}\lt f \left ( \overline{x_{k_0}} \right )\cdot\Delta_{k_0}\lt I+1-\sum\limits_{k=0,k \neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot \Delta_{k}[/math]. Разделим на [math] \Delta_{k_0}: \left | f \left ( \overline{x_{k_0}} \right ) \right | \leqslant M_{k_0}[/math] на [math]\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ][/math].

Проделывая так с каждым отрезком, мы увидим, что на каждом из них фунцкия ограничена, значит, она будет ограничена на всём отрезке.
[math]\triangleleft[/math]