Изменения

== {{Задача |definition==Дан [[Отношение связности, компоненты связности|связный]] [[Основные определения теории графов|неориентированный граф]]<tex> G </tex>. Требуется найти Найти все [[Точка сочленения, эквивалентные определения|точки сочленения]] в нем<tex> G </tex> за время <tex> O(|V| + |E|).</tex>}}

Пусть <tex>tin=== Описание алгоритма ===Запустим [[u]</tex> - время входа поиска Обход в глубину , цвета вершин|обход в вершину <tex>u</tex>. Через <tex>up[uглубину]</tex> обозначим минимум из времени захода в саму вершину <tex>tin[u]</tex>, времен захода в каждую из вершин <tex>p</tex>, являющуюся концом некоторого обратного ребра <tex>(u,p)</tex>, а также из всех значений <tex>up[v]</tex> для каждой произвольной вершины графа; обозначим её через <tex>vroot</tex>, являющейся непосредственным сыном <tex>u</tex> в дереве поиска.Заметим следующий факт:

* Пусть мы находимся в обходе в глубину, просматривая сейчас все рёбра из вершины <tex>v</tex>. Тогда, если текущее ребро (<tex>v</tex>,<tex>to</tex>) таково, что из вершины <tex>uto</tex> или и из любого её потомка есть обратное ребро в дереве обхода в глубину нет обратного ребра в вершину <tex>v</tex> или какого-либо её предка , то эта вершина является точкой сочленения. В противном случае она ей не является. (В самом деле, мы этим условием проверяем, нет ли другого пути из <tex>\Leftrightarrow \existsv</tex> такой сын в <tex>vto</tex>, что кроме как спуск по ребру (<tex>up[v] < tin[u]/tex>,<tex>to</tex>) дерева обхода в глубину.)

Таким образом, если Теперь осталось научиться проверять этот факт для текущей каждой вершины <tex>v \ne root \, \exists</tex> непосредственный сын <tex>v</tex>: <tex>up[v] \ge tin[u]</tex>эффективно. Для этого воспользуемся "временами входа в вершину", то вершина <tex>u</tex> является точкой сочленения; вычисляемыми алгоритмом поиска в противном случае она точкой сочленения не являетсяглубину.

[[Файл:Joint_point_2_rsz.png‎|280px|thumb|left| <font color=red>Красным</font> цветом обозначены точки сочленения<br><font color= Реализация ==blue>Синим</font> — ребра по которым идет DFS]]В массиве Пусть <tex>answertin[u]</tex> — время входа поиска в глубину в вершину <tex>u</tex>. Через <tex>up[u]</tex> обозначим минимум из времени захода в саму вершину <tex>tin[u]</tex>, времен захода в каждую из вершин <tex>p</tex>, являющуюся концом некоторого обратного ребра <tex>(u,p)</tex>, а также из всех значений <tex>up[v]</tex> для каждой вершины содержится булево значение - является она точкой сочленения или нет. Изначально все значения '''false'''<tex>v</tex>, являющейся непосредственным сыном <tex>u</tex> в дереве поиска.

'''dfs'''Тогда из вершины <tex>(u, </tex> или её потомка есть обратное ребро в её предка <tex>\Leftrightarrow \, prev)exists</tex> такой сын <tex>v</tex> , что <tex>usedup[v] &lt; tin[u] \leftarrow</tex>'''true'''.  Таким образом, если для текущей вершины <tex>tin[u] \leftarrow timene root </tex> существует непосредственный сын <tex>v<//задание времени входа в вершину u tex>: <tex>up[v] \geqslant tin[u] \leftarrow time</tex> //задание начального значения up для вершины u , то вершина <tex>time \leftarrow time + 1u</tex>является точкой сочленения, в противном случае она точкой сочленения не является.  <texbr clear="all">count \leftarrow 0 === Псевдокод === '''function''' findCutPoints(G[n]: '''Graph'''):<font color=darkgreen> /tex> /функция принимает граф G с количеством вершин n и выполняет поиск точек сочленения во всем графе </счетчик количества детей вершины u в дереве обходаfont> visited = array[n, ''false''] '''function''' dfs(v: '''int''', p: '''int'''): time = time + 1 up[v] = tin[v] = time visited[v] = ''true'' count = 0 '''for '''<tex>u: (v : uv \, u) '''in E)</tex>''' G '''if '''<tex>v u == prev</tex>p

'''if '''<tex>usedvisited[vu]</tex> //v - предок вершины u, uv - обратное ребро <tex>up[uv] \leftarrow = min(up[uv], \, tin[vu])</tex> '''else''' // dfs(u, v - ребенок вершины u) <tex>count \leftarrow = count + 1</tex up[v] = min(up[v], up[u]) '''if''' p != -1 '''and''' up[u] >= tin[v] v — cutpoint '''if''' p == -1 '''and''' count >= 2 v — cutpoint '''for''' i = 1 '''to''' n '''if'''''dfs'not'''visited[i] dfs(i, -1) === Доказательство корректности ==={{Теорема|statement=Пусть <tex>T</tex>(v— дерево [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]], u)<tex>root</tex> — корень <tex>T</tex>. * Вершина <tex>up[u] \leftarrow min(up[ne root</tex> — точка сочленения <tex>\Leftrightarrow \exists v \in T</tex> — сын <tex>u], \, up[</tex> : из <tex>v])</tex> '''if '''или любого потомка вершины <tex>up[v] \ge tin[</tex> нет обратного ребра в предка вершины <tex>u]</tex>. * <tex>root</tex>answer— точка сочленения <tex>\Leftrightarrow root</tex> имеет хотя бы двух сыновей в дереве поиска в глубину.|proof=[[uФайл:Joint_point_1.png|48px |thumb|‎ | Рисунок к <tex>\Leftarrow</tex>]] <tex>\leftarrowLeftarrow</tex>'''true'''  #Удалим <tex>u</tex> из <tex>G</tex>. Докажем, что не существует обратного ребра пути из вершины <tex>v или ее потомка </tex> в любого предка вершины <tex>u</tex>. Пусть это не так. Тогда <tex>\exists x \in T</tex> — предок <tex>u</tex> : <tex>\exists</tex> путь из <tex>v</tex> в <tex>x</tex> в <tex>G \backslash u</tex>. Пусть <tex>w</tex> — предпоследняя вершина u - на этом пути, <tex>w</tex> — потомок <tex>v</tex>. <tex>(w, x)</tex> — не ребро дерева <tex>T</tex>(в силу единственности пути в дереве) <tex>\Rightarrow (w, x)</tex> — обратное ребро, что противоречит условию.#Пусть у <tex>root</tex> хотя бы два сына. Тогда при удалении <tex>root</tex> не существует пути между его поддеревьями, так как не существует перекрестных ребер <tex>\Rightarrow root</tex> — точка сочленения. <tex>\Rightarrow</tex> '''if #Докажем что из отрицания второго утверждения следует отрицание первого. Обозначим через <tex>G'</tex> граф, состоящий из вершин, не являющихся потомками <tex>u</tex>. Удалим вершину <tex>u</tex>. Очевидно, что граф <tex>G'</tex> и все поддеревья вершины <tex>u</tex> останутся связными, кроме того из каждого поддерева есть ребро в <tex>G'\Rightarrow G \backslash u</tex> — связный <tex>p = -1\Rightarrow u</tex> — не точка сочленения.#Пусть <tex>root</tex> — точка сочленения и у него есть только один сын. Тогда при удалении <tex>root</является ли u tex> остается дерево с корнем дерева обходав его сыне, содержащее все остальные вершины графа, то есть оставшийся граф связен — противоречие с тем, что <tex>root</tex> — точка сочленения.}} <br clear="all"> === Асимптотика === Оценим время работы алгоритма. Процедура <tex>\mathrm{dfs}</tex>answerвызывается от каждой вершины не более одного раза, а внутри процедуры рассматриваются все такие [[uОсновные определения теории графов|ребра]] <tex>\{e\ |\ \leftarrow mathrm{begin(count e)} = v\}</tex>. Всего таких ребер для всех вершин в графе <tex> 1O(E)</tex>; , следовательно, время работы алгоритма оценивается как <tex>O(V+E)</tex>. Такое же, как у [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]]. == См. также ==* [[Использование обхода в глубину для поиска мостов]]* [[Обход в глубину, цвета вершин]]* [[Обход в ширину]] == Источники информации==* Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Лань, 2010. — 368 с. — ISBN 978-5-8114-1068-2* [http://проверка количества детей у корня дереваe-maxx.ru/algo/cutpoints MAXimal :: algo :: Поиск точек сочленения]

== Источники ==[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][http://e-maxx.ru/algo/ MAXimal:[Категория:algoОбход в глубину]]