Условная вероятность — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Замечания)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 12 промежуточных версий 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
== Определение ==
 
−
Пусть задано [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностное пространство]] <tex>(\Omega, P)</tex>.
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id = def1
 
|id = def1
 
|definition =
 
|definition =
−
'''Условной вероятностью''' события A при условии, что произошло событие B, называется число
+
'''Условная вероятность''' (англ. ''conditional probability''): Пусть задано [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностное пространство]] <tex>(\Omega, P)</tex>. Условной вероятностью события <tex>A</tex> при условии, что произошло событие <tex>B</tex>, называется число
−
<tex>{P}(A \mid B) = </tex> <tex dpi = "140">\frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}</tex>, где <tex dpi = "140">A, B \subset \Omega</tex>.}}
+
<tex>{P}(A \mid B) = </tex> <tex>\dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}</tex>, где <tex>A, B \subset \Omega</tex>.}}
 
== Замечания ==
 
== Замечания ==
  
−
* Если <tex dpi = "140">{P}(B) = 0</tex>, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
+
* Если <tex>{P}(B) = 0</tex>, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
 
* Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:
 
* Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:
−
: <tex dpi = "140">{P}(A\cap B) = {P}(A \mid B) {P}(B)</tex>.
+
: <tex>{P}(A\cap B) = {P}(A \mid B) {P}(B)</tex>.
−
* Условная вероятность является вероятностью, то есть функция <tex>{Q_B}</tex>, заданная формулой
+
* Если события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> [[Независимые события|независимые]], то <tex>{P}(A \mid B) = </tex> <tex>\dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = {P}(A)</tex>
−
: <tex dpi = "140">{Q_B}(A) = {P}(A \mid B ) </tex>,
 
−
удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры:
 
−
 
 
−
1) <tex dpi = "140">{Q_B}(\oslash)= 0</tex>
 
−
 
 
−
2) <tex dpi = "140">{Q_B}(\Omega) = 1</tex>
 
−
 
 
−
3) <tex dpi = "140">\forall A \subset \Omega \enskip {Q_B}(A) \geq 0</tex>
 
−
 
 
−
4) Если события <tex dpi = "140">A_1, A_2, ... A_n</tex> не пересекаются, то <tex dpi = "140">{Q_B}(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = {Q_B}(A_1) + {Q_B}(A_2) + ... +  {Q_B}(A_n)</tex>
 
−
 
 
−
Доказательства (будут под спойлерами):
 
−
 
 
−
1) <tex dpi = "140">{Q_B}(\oslash) = \frac{P(\oslash \cap B)}{P(B)} =  \frac{P(\oslash)}{P(B)} = 0</tex>
 
−
 
 
−
2) <tex dpi = "140">{Q_B}(\Omega) = \sum\limits_{\omega \in \Omega}^{}\frac{P(\omega \cap B)}{P(B)} = \sum\limits_{\omega \in B}^{}\frac{P(\omega \cap B)}{P(B)} + \sum\limits_{\omega \in \Omega \setminus B}^{}\frac{P(\omega \cap B)}{P(B)} =  
 
−
\frac{P(B)}{P(B)} + \frac{P(\oslash)}{P(B)} = 1</tex>
 
−
 
 
−
3) <tex dpi = "140">\forall A \subset \Omega \enskip {Q_B}(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \geq 0</tex>, т. к. <tex dpi = "140">P(A \cap B) \geq 0</tex> и <tex dpi = "140">P(B) \geq 0</tex>
 
−
 
 
−
4) Пусть события <tex dpi = "140">A_1, A_2, ... A_n</tex> не пересекаются. Тогда: <tex dpi = "140">{Q_B}(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = \frac{P((A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) \cap B)}{P(B)} = \frac{P((A_1 \cap B) \cup (A_2 \cap B) \cup ... \cup (A_n \cap B))}{P(B)} = </tex>
 
−
 
 
−
<tex dpi = "140"> = \frac{P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + ... + P(A_n \cap B))}{P(B)} = {Q_B}(A_1) + {Q_B}(A_2) + ... +  {Q_B}(A_n)</tex>
 
  
 
== Пример ==
 
== Пример ==
  
−
Пусть имеется 12 шариков, из которых 5 {{---}} чёрные, а 7 {{---}} белые. Пронумеруем чёрные шарики числами от 1 до 5, а белые {{---}} от 6 до 12. Случайным образом из мешка достаётся шарик. Требуется посчитать вероятность того, что шарик чёрный, если известно, что он имеет чётный номер.
+
Пусть имеется <tex>12</tex> шариков, из которых <tex>5</tex> {{---}} чёрные, а <tex>7</tex> {{---}} белые. Пронумеруем чёрные шарики числами от <tex>1</tex> до <tex>5</tex>, а белые {{---}} от <tex>6</tex> до <tex>12</tex>. Случайным образом из мешка достаётся шарик. Требуется посчитать вероятность того, что шарик чёрный, если известно, что он имеет чётный номер.
  
−
Обозначим за <tex>A</tex> событие "достали чёрный шар" и за <tex>B</tex> событие "достали шар с чётным номером". Тогда <tex>P(B) = \frac{1}{2}</tex>, т. к. ровно половина шариков имеют чётный номер, а <tex>P(A \cap B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}</tex>, т. к. только два шарика из двенадцати являются чёрными и имеют чётным номер одновременно.
+
Обозначим за <tex>A</tex> событие "достали чёрный шар" и за <tex>B</tex> событие "достали шар с чётным номером". Тогда <tex>P(B) = \dfrac{1}{2}</tex>, так как ровно половина шариков имеют чётный номер, а <tex>P(A \cap B) = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}</tex>, так как только два шарика из двенадцати являются чёрными и имеют чётным номер одновременно.
  
−
Тогда по определению вероятность случайно вытащенного шарика с чётным номером оказаться чёрным равна <tex dpi = "140">{P}(A \mid B) = \frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = \frac{1}{3}</tex>
+
Тогда по определению вероятность случайно вытащенного шарика с чётным номером оказаться чёрным равна <tex>{P}(A \mid B) = \dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = \dfrac{1}{3}</tex>
  
 
==См. также==
 
==См. также==
Строка 49: Строка 24:
 
* [[Формула полной вероятности]]
 
* [[Формула полной вероятности]]
 
* [[Формула Байеса]]
 
* [[Формула Байеса]]
 +
* [[Независимые события]]
  
−
== Источники ==
+
== Источники информации ==
−
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Условная_вероятность http://ru.wikipedia.org/wiki/Условная_вероятность]
+
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Условная_вероятность Википедия {{---}} Условная вероятность]
 
*''Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.'' Алгебра и начала математического анализа, стр. 284.
 
*''Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.'' Алгебра и начала математического анализа, стр. 284.
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Теория вероятности]]
 
[[Категория: Теория вероятности]]

Текущая версия на 19:28, 4 сентября 2022

Определение:
Условная вероятность (англ. conditional probability): Пусть задано вероятностное пространство [math](\Omega, P)[/math]. Условной вероятностью события [math]A[/math] при условии, что произошло событие [math]B[/math], называется число [math]{P}(A \mid B) = [/math] [math]\dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}[/math], где [math]A, B \subset \Omega[/math].

Замечания

  • Если [math]{P}(B) = 0[/math], то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
  • Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:
[math]{P}(A\cap B) = {P}(A \mid B) {P}(B)[/math].
  • Если события [math]A[/math] и [math]B[/math] независимые, то [math]{P}(A \mid B) = [/math] [math]\dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = {P}(A)[/math]

Пример

Пусть имеется [math]12[/math] шариков, из которых [math]5[/math] — чёрные, а [math]7[/math] — белые. Пронумеруем чёрные шарики числами от [math]1[/math] до [math]5[/math], а белые — от [math]6[/math] до [math]12[/math]. Случайным образом из мешка достаётся шарик. Требуется посчитать вероятность того, что шарик чёрный, если известно, что он имеет чётный номер.

Обозначим за [math]A[/math] событие "достали чёрный шар" и за [math]B[/math] событие "достали шар с чётным номером". Тогда [math]P(B) = \dfrac{1}{2}[/math], так как ровно половина шариков имеют чётный номер, а [math]P(A \cap B) = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}[/math], так как только два шарика из двенадцати являются чёрными и имеют чётным номер одновременно.

Тогда по определению вероятность случайно вытащенного шарика с чётным номером оказаться чёрным равна [math]{P}(A \mid B) = \dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = \dfrac{1}{3}[/math]

См. также

Источники информации

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Условная_вероятность&oldid=85297»