Функциональный анализ — различия между версиями

Текущая версия на 19:30, 4 сентября 2022

Здесь я постараюсь написать теоретический минимум по второй части курса функционального анализа.

Большая часть материала взята из Википедии, чтобы не перебивать формулы и все такое. Все остальное бралось из конспектов, лучший из них лежит на firun.ru

Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения.

Содержание

1 Краткое содержание 5 семестра (версия 2009)
2 Билеты - 5 семестр
3 Билеты - 6 семестр

Краткое содержание 5 семестра (версия 2009)

Метрическое пространство [math]M[/math] есть множество точек с метрикой :

.
[math]d(x,\;y)=d(y,\;x)[/math].
.

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

Банаховым пространством (B-пространством) называется нормированное линейное пространство, полное по метрике, порождённой нормой.

Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке [math][a,b][/math] функции (обычно обозначается [math]{\mathrm C}[a,b][/math]). Норма в этом пространстве определяется следующим образом:

Теорема Рисса — Фреше: Для любого непрерывного линейного функционала [math]f[/math] на Гильбертовом пространстве [math] H[/math] существует единственный вектор [math]y \in H[/math] такой, что [math]f(x)= \langle x,y \rangle[/math] для любого [math]x \in H[/math]. При этом норма линейного функционала [math]f[/math] совпадает с нормой вектора [math]y[/math]: . Теорема также означает, что пространство всех линейных ограниченных функционалов над [math]H[/math] изоморофно пространству [math]H[/math].

Теорема (Хан-Банах) о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты: любой линейный функционал [math]f(x)[/math], определённый на подпространстве [math]L[/math] линейного пространства [math]X[/math] и удовлетворяющий условию , где [math]p(x)[/math] — некоторый положительно однородный функционал (определённый на всем пространстве [math]X[/math]) то [math]f(x)[/math] может быть продолжен на все пространство [math]X[/math] с сохранением этого условия.

Теорема (Хан-Банах) о непрерывном продолжении линейного функционала: всякий линейный функционал [math]f(x)[/math], определённый на линейном многообразии [math]L[/math] линейного нормированного пространства [math]X[/math], можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.

Следствие: для любых двух различных точек линейного пространства существует линейный функционал, определённый на всем пространстве и такой, что его значения в этих точках различны.

Ядром линейного отображения [math]f\colon A\to B[/math] называются подмножество [math]A[/math], которое отображается в нуль: . Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве [math]A[/math].

Пусть [math]A[/math] — оператор, действующий в банаховом пространстве [math]E[/math]. Число λ называется регулярным для оператора [math]A[/math], если оператор , называемый резольвентой оператора [math]A[/math], определён на всём [math]E[/math] и непрерывен. Множество регулярных значений оператора [math]A[/math] называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора.

Билеты - 5 семестр

1. Принцип вложенных шаров в полном МП.

Теорема:

- полное МП,

2. Теорема Бэра о категориях.

Определение:

Замыкание , если - замкнутое, и замкнутого

Определение:

всюду плотно в , если

Определение:

нигде не плотно в , если

Определение:

I категории по Бэру в , если (счетное объединение), нигде не плотно в , иначе II категории

Теорема:

- полное МП - II категории в

3. Критерий компактности Хаусдорфа в МП.

Теорема Хаусдорфа об ε-сетях

4. Пространство [math]R^{\infty}[/math]: метрика, покоординатная сходимость.

5. Компактность прямоугольника в [math]R^{\infty}[/math].

ну компактен, хуле

6. Постранство S(E, [math]\mu[/math]).

Определение:

- пространство измеримых функций на по . На этом пространстве определена метрика

7. Норма в линейном множестве, определение предела по норме, арифметика предела.

Определение:

Норма

[math]\|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|[/math]

Определение:

сходится по норме к , если

8. Эквивалентность норм в конечномерном НП.

Определение:

, если

Теорема (Рисс):

В конечномерном пространстве любые две нормы эквивалентны

9. Замкнутость конечномерного линейного подмножества НП.

Теорема (следствие из теоремы Рисса):

- НП, - конечномерное линейное подмножество - замкнутое

10. Лемма Рисса о почти перпендикуляре, пример ее применения.

Лемма (Рисс, о почти перпендикуляре):

- собственное подпространство (где )

Доказательство:

(по свойствам inf). Тогда положим из условия леммы равным

Лемма (пример применения леммы):

- бесконечномерное НП любой шар в нем - не компакт

11. Банаховы пространства на примерах С[0,1] и Lp(E).

Определение:

Банахово пространство - полное нормированное пространство

Определение:

- пространство непрерывных функций на . На этом пространстве определена норма

Определение:

- пространство измеримых на функций. На этом пространстве определена норма

12. Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца.

Определение:

Скалярное произведение

Равенство параллелограмма:

Неравенство Шварца:

13. Наилучшее приближение в НП в случае конечномерного подпространства.

Теорема:

14. Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя.

- ортонормированная система.

- абстрактный ряд Фурье

Неравенство Бесселя:

15. Определение Гильбертова пространства, сепарабельность и полнота.

Определение:

Гильбертово пространство - полное унитарное пространство. То есть для него выполняется:

Введено скалярное произведение
Введена норма:

Определение:

Пространство сепарабельно, если у него существует счетное абсолютно плотное подмножество

Лемма:

В гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис тогда и только тогда, когда оно сепарабельно

16. Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля.

Теорема (Рисс - Фишер):

Пусть - ортонормированная система в гильбертовом пространстве , . Тогда и выполняется равенство Парсеваля:

17.Наилучшее приближение в Н для случая выпуклого,замкнутого множества,[math]H=H_1 \oplus H_2[/math]

Теорема:

- замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства . Тогда

Теорема:

- подпространство . Тогда

18. Непрерывный линейный функционал и его норма.

Определение:

Линейный функционал ограничен, если

Определение:

Линейный функционал непрерывен в , если

Лемма:

непрерывен в непрерывен в

Теорема:

непрерывен ограничен

19. Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра.

Определение:

Ядро линейного функционала

Теорема:

непрерывен замкнуто

20. Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП.

Лемма:

Пусть - НП, всюду плотно в , - ограниченный линейный функционал из . Тогда (существует единственное продолжение, сохраняющее норму)

21. Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай).

Лемма:

Пусть - линейное множество с введенной на нем полунормой , , , (то есть функционал подчинен полунорме), , . Тогда

Теорема (Хан - Банах):

Пусть - линейное множество с введенной на нем полунормой , , , . Тогда , то есть продолжение

22. Два следствия из теоремы Хана-Банаха.

Следствие 1: [math]X[/math] - НП, [math]x_0 \in X[/math] [math]\Rightarrow[/math]

Следствие 2: [math]X[/math] - НП, [math]\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}[/math] - ЛНЗ [math]\Rightarrow[/math] (биортогональная система)

23. Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в Н.

Теорема (Рисс):

, причем

24. Непрерывный линейный оператор и его норма.

Определение:

Линейный оператор ограничен, если

Определение:

Линейный оператор непрерывен в , если

Теорема:

непрерывен ограничен

25. Продолжение линейного оператора по непрерывности.

Лемма:

- Банахово, . Тогда

26. Полнота пространства L(X,Y).

Определение:

- пространство непрерывных линейных операторов из в

Лемма:

- Банахово - Банахово

27. Теорема Банаха-Штейнгауза.

Теорема (Банах - Штейнгауз):

Пусть (то есть последовательность поточечно ограничена). Тогда (то есть последовательность равномерно ограничена)

28. Условие непрерывной обратимости лин. оператора.

Теорема:

Пусть - ограниченный линейный оператор из в , и . Тогда замкнуто,

29. Теорема Банаха о непрерывной обратимости I-С.

Теорема (Банах):

Пусть - Банахово, . Тогда непрерывно обратим.

30. Теорема Банаха об обратном операторе.

Теорема (Банах):

Пусть - биективный линейный ограниченный оператор из в (оба Банаховы). Тогда

31. Теорема о замкнутом графике.

Теорема:

непрерывен замкнут

32. Теорема об открытом отображении.

Теорема:

непрерывен, - открыто - открыто

33. Теорема об открытости резольвентного множества.

Определение:

Резольвентное множество линейного оператора - непрерывный

Определение:

Спектр линейного оператора

Теорема:

открыто

34. Вхождение спектра в круг радиуса ||А||.

Лемма:

35. Спектральный радиус.

Определение:

Спектральный радиус

Теорема:

Относительно спектрального радиуса любого линейного оператора верны следующие утверждения:

36. Аналитичность резольвенты.

эммм...

37. Непустота спектра ограниченного оператора.

эммм...

38. А* и его ограниченность.

Определение:

Сопряженным к оператору называется такой оператор , что , то есть

Лемма:

39. Ортогональные дополнения Е и Е*.

Определение:

Ортогональным дополнением линейного множества называется множество . . Заметим, что из непрерывности функционалов следует замкнутость ортогональных дополнений.

Лемма:

40. Ортогональное дополнение R(A).

Теорема:

Пусть - ограниченный ЛО, замкнуто. Тогда

41. Ортогональное дополнение R(A*).

Теорема:

Пусть - ограниченный ЛО, замкнуто. Тогда

42. Арифметика компактных операторов.

Определение:

Оператор компактен, если - ограниченное - относительно компактно

Лемма:

Компактные операторы обладают следующими свойствами:

[math]A[/math] - компактный, [math]B[/math] - ограниченный [math]\Rightarrow[/math] [math]AB[/math] и [math]BA[/math] - компактные
[math]A_n[/math] - компактные, [math]A_n \to A[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]A[/math] - компактный
[math]A : X \to Y[/math] - компактный, [math]X[/math] - бесконечномерно [math]\Rightarrow[/math] оператор [math]A[/math] не может быть непрерывно обратим

43. О компактности А*, сепарабельность R(A).

Теорема:

- компактный - компактный

44. Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве.

Определение:

Система точек называется базисом Шаудера, если любой элемент пространства единственным образом представим в виде линейной комбинации этих точек

45. Почти конечномерность компактного оператора.

Теорема:

- пространство с базисом Шаудера, - компактный - конечномерный (то есть конечномерно), и компактны

46. О размерности Ker(I-A) компактного А.

Лемма:

- компактный

47. Условие замкнутости R(A) на языке решений операторного уравнения.

Лемма:

Пусть , и . Тогда - замкнуто.

48. О замкнутости R(I-A) компактного А.

Лемма:

Пусть оператор - компактный. Тогда - замкнуто

49. Лемма о Ker(I-A)*n компактного А.

Лемма:

Пусть оператор - компактный. Тогда

50. Об условии справедливости равенства R(I-A)=Е.

Лемма:

Пусть оператор - компактный. Тогда

51. Альтернатива Фредгольма-Шаудера.

Теорема (альтернатива Фредгольма - Шаудера):

Пусть - компактный. Рассмотрим уравнение . Возможны 2 случая:

[math]Ker(I-A) = \{0\}[/math]. Тогда уравнение имеет решение при любом [math]y[/math]
[math]Ker(I-A) \neq \{0\}[/math]. Тогда уравнение имеет решение при

52. О спектре компактного оператора.

Теорема:

Пусть оператор - компактный. Тогда его спектр не более, чем счетный, и предельной точкой в нем может быть только

Билеты - 6 семестр

1. Сопряженный оператор и его ограниченность

Будем работать с [math]E[/math], как с банаховым пространством.

Def: Пространство всех линейных функционалов на [math]E[/math] образует линейное пространство (прошлый семестр). Это пространство называется сопряжённым к [math]E[/math], оно обычно обозначается [math]E^*[/math].

Def: Пусть [math]A:E\to F[/math] — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства [math]E[/math] в банахово пространство [math]F[/math]. И пусть [math]E^*, F^*[/math] — сопряжённые пространства. Обозначим . Если [math]f[/math] — фиксировано, то [math]\langle Ax,f \rangle [/math] — линейный непрерывный функционал в . Таким образом, для [math]\forall f\in F^*[/math] определён линейный непрерывный функционал из [math]E^* [/math], поэтому определён оператор [math]A^*:F^*\to E^*[/math], такой что . [math]A^*[/math] называется сопряжённым оператором.

Th: Пусть задан линейный оператор [math]A:E\to F[/math]. Тогда норма оператора [math]A^*:F^*\to E^*[/math] совпадает с нормой [math]A[/math].

(оператор проектирования ??)

2. Ортогональные дополнения Е и Е*

Def: Пусть [math]S[/math] некоторое линейное множество. Тогда его ортогональное дополнение .

Th: Имеют место соотношения: [math]E^\perp = \{0\}[/math]; [math](E^*)^\perp = \{0\}[/math].

(при доказательстве используем теорему Хана-Банаха)

3. Ортогональное дополнение R(A)

(Здесь можно написать красивый текст из конспекта про важность теорем и все такое)

Th: Пусть задан линейный оператор [math]A:E\to F[/math], где [math]E[/math] и [math]F[/math] банаховы. Тогда .

4. Ортогональное дополнение R(A*)

Th: Пусть множество значений оператора [math]A[/math] замкнуто: [math]R(A) = Cl(R(A))[/math]. Тогда верно .

5. Арифметика компактных операторов

Def: Линейный оператор [math]A:E\to F[/math] называется компактным, если он переводит любое ограниченное множество из [math]E[/math] в относительно компактное множество в [math]F[/math].

Примером является оператор Фредгольма: .

Установим несколько свойств:

Th: Пусть операторы [math]A, B:E\to E[/math] такие, что [math]A[/math] компактен, а [math]B[/math] ограничен. Тогда операторы [math]AB[/math] и [math]BA[/math] компактны.

6. О компактности А*, сепарабельность R(A)

Теорема о компактности сопряженного оператора

7. Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве

Def: Система векторов [math]\{e_n\}[/math] топологического векторного пространства [math]E[/math] называется базисом Шаудера, если каждый элемент [math]f \in E[/math] разлагается в единственный, сходящийся к [math]f[/math] ряд по [math]\{e_n\}[/math]: , где [math]f_i[/math] — числа, называемые коэффициентами разложения вектора [math]f[/math] по базису [math]\{e_n\}[/math].

8. Почти конечномерность компактного оператора

Теперь походим вокруг альтернативы Фредгольма-Шаудера.

9. О размерности Ker(I-A) компактного А

Утв. Пусть [math] A [/math] - компактный оператор, [math] H = I - A [/math]. Тогда, [math] dim (Ker H)\lt +\infty [/math]

Следствие Множество решений операторного уравнения конечномерно.

10. Условие замкнутости R(A) на языке решений операторного уравнения

Утв. Пусть [math] A \in L(E, F) [/math] и . Тогда, [math] R(A) [/math] - замкнуто.

11. О замкнутости R(I-A) компактного А

Утв. Пусть оператор [math] A [/math] - компактный. Тогда, [math] R(I - A) [/math] - замкнуто.

12. Лемма о Ker(I-A)*n компактного А

Утв. Пусть оператор [math]A[/math] - компактный. Тогда [math] \exists k \in \mathbb{N}[/math]:

13. Об условии справедливости равенства R(I-A)=Е

Утв. Пусть [math] A [/math] - компактный оператор. Тогда,

14. Альтернатива Фредгольма-Шаудера

Th. (Альтернатива Фредгольма-Шаудера)

Пусть [math] A : E \rightarrow E [/math] - компактный оператор, [math]E - B[/math]-пространство.

Тогда, [math] \forall \lambda \neq 0[/math] возможны только 2 случая:

(уравнение [math](\lambda I - A)x = y[/math] разрешимо относительно

15. О спектре компактного оператора

Теперь это называется Теорией Гильберта-Шмидта

16. О вещественности спектра ограниченного самосопряженного оператора

Утв. Пусть [math] A [/math] - ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда,

17. О характеризации спектра и резольвентного множества ограниченного самосопряженного оператора

Th. Пусть [math] A [/math] - ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда,

, т.ч.

18. О числах m- и m+

Def.

Def. Если для некоторого оператора , то [math]L[/math] называется неотрицательным.

Th. Пусть [math]A[/math] - ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда, , и

19. Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора

Th. Пусть [math]A[/math] - ограниченный, самосопряженный оператор. Тогда,

20. Теорема Гильберта-Шмидта

21. О диагонализации компактного самосопряженного оператора и разложении его резольвенты

Элементы нелинейного функционального анализа.

22. Теорема Банаха о сжимающем отображении

Def: Пусть на замкнутом шаре [math]\overline{V} \subset X[/math], где [math]X[/math] - метрическое пространство, определён оператор . Он называется сжатием на [math]\overline{V}[/math], если [math]\exists\alpha\in(0; 1)[/math] такой, что для [math]{\forall}x,y \in M[/math] выполняется .

Th.(Банаха о неподвижной точке) Пусть и является сжатием, тогда в этом шаре у оператора [math]T[/math] [math]\exists ![/math] неподвижная точка.

Теорема Банаха о неподвижной точке

23. Дифференциал Фреше

Рассмотрим [math]T : V_r(x_0) \to Y[/math], где [math]V_r(x_0) \subset X[/math] и, кроме того, [math]X, Y[/math] - нормированные пространства.

Пусть [math]\|\delta x \| \lt r[/math]. Тогда, очевидно, [math]x + \delta x \in V_r(x_0)[/math].

Обозначим .

Def. Отображение [math]T[/math] называется дифференцируемым по Фреше в точке [math]x_0[/math], если существует оператор [math]A_{x_0} \in L(X,Y)[/math] такой, что , где [math]o(\delta x)[/math] несёт следующий смысл: .

Обычно, в случае дифференцируемого отображения используют следующее обозначение: [math]T_{x_0}' = A_{x_0}[/math]. Подчеркнем, что [math]T_{x_0}': X \to Y[/math]. Аргументом является "отклонение" некоторой точки [math]x'[/math] от [math]x_0[/math]: [math]x - x_0[/math]. А результат применения оператора: [math]T(x') - T(x_0)[/math] с точностью до [math]o(\delta x = x' - x)[/math].

Lm. Рассмотрим оператор , действующий на [math]x(t) \in C[0,1][/math], и где , [math] z \in \mathbb R[/math], и существует непрерывная по [math]v, y, z[/math] производная . Тогда в любой точке пространства [math]C[0,1][/math] это отображение дифференцируемо и его производная Фреше задается интегральным линейным по [math]\delta x[/math]оператором: .

24. Неравенство Лагранжа

Lm. (Неравенство Лагранжа) Пусть [math]X, Y[/math] -- нормированные пространства, [math]V[/math] -- некоторый шар в [math]X[/math] и дан оператор [math]T : V \to Y[/math] и на всем этом шаре [math]\exists T'(x)[/math]. Тогда для любых , где .

25. Локальная теорема о неявном отображении

Th.(о неявном отображении)

Пусть [math]V[/math] - шар в [math] X, V \subset X[/math], а [math]W \subset Y[/math] - шар в [math]Y[/math], и задан оператор .

Пусть .

Пусть - дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных [math]x[/math] и [math]y[/math].

Пусть также [math]T^{'}_{y}(x_0, y_0)[/math] - непрерывно обратим.

Тогда задача о неявном отображении для [math]T(x, y) = 0[/math] c начальным решением [math]T(x_0, y_0) = 0[/math] разрешима в некоторых окрестностях точек [math]x_0, y_0[/math], а именно: для любого [math]x' \in V_{\delta_1}(x_0)[/math] существует единственное .

26. Теорема о локальной обратимости отображения

Следствие локальной теоремы о неявном отображении

Дано отображение . [math]T(x_0) = y_0[/math]. Если существует непрерывно-обратимое отображение [math]T_x '(x_0)[/math] и отображение [math]T_x '(x)[/math]существует на всем шаре, то для любого [math]y \in V_{\delta_2}(y_0)[/math] существует единственный .

27. Локальная теорема о простой итерации

Th.(о простой итерации) [math]T: V \subset X \to X[/math] и существует . Кроме того, пусть . Тогда и [math]x_{n + 1} = T(x_n)[/math] выполнено [math]lim(x_n) = \overline{x}[/math].

28. Локальная теорема о методе Ньютона-Канторовича

Th.(о методе Ньютона-Канторовича) . Кроме этого, пусть на [math] V[/math] [math] \exists F'(x)[/math], непрерывная на нем. Тогда существует окрестность точки [math]\overline{x}[/math], в которой метод Ньютона-Канторовича осуществим. Т.е. и тогда: [math] lim(x_n) = \overline{x} [/math].

29. О проекторах Шаудера

Lm.(о проекторах Шаудера) Пусть [math]T: D \subset X \to X[/math], где [math]X[/math] -- нормированное пространство. Тогда существует последовательность компактных операторов на D, и при этом [math]\forall T_n[/math] лежит в конечномерном подпространстве [math]X[/math].

30. Теорема Шаудера о неподвижной точке

Th.(Шаудера) Если [math]D[/math] -- ограниченное выпуклое замкнутое множество в Банаховом пространстве [math]X[/math] и оператор [math]T : D \to D[/math], то у этого оператора на [math]D[/math] существует неподвижная точка.

@@ Строка 477: / Строка 477: @@
 {{Лемма
 |statement=
-<tex>A</tex> - компактный <tex>\Rightarrow dim(Ker (I - A)) < +\infty</tex>
+<tex>A</tex> - компактный <tex>\Rightarrow \dim(Ker (I - A)) < +\infty</tex>
 }}