Изменения

{{В разработкеЗадача|definition=Для заданного взвешенного графа <tex>G = (V, E)</tex> найти кратчайшие пути из заданной вершины <tex> s </tex> до всех остальных вершин. Веса всех рёбер неотрицательны.}}

В [[Ориентированный граф|ориентированном взвешанном ]] взвешенном [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графе ]] <tex>G = (V, E)</tex>, вес [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|рёбер ]] которого неотрицателени определяется весовой функцией <tex>w : E \to \mathbb{R}</tex>, Алгоритм алгоритм Дейкстры находит длинну кратчайшего пути длины кратчайших [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|путей]] из одной заданной [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|вершины ]] <tex>s</tex> до всех остальных.<br>В алгоритме поддерживается множество вершин <tex>U</tex>, для которых уже вычислены длины кратчайших путей до них из <tex>s</tex>. На каждой итерации основного цикла выбирается вершина <tex> u \notin U</tex>, которой на текущий момент соответствует минимальная оценка кратчайшего пути. Вершина <tex>u</tex> добавляется в множество <tex>U</tex> и производится релаксация всех исходящих из неё рёбер. 

'''Dijkstrafunc'''dijkstra(s)''':''' '''for''' <tex>Gv \in V</tex>, <tex>w</tex>, <tex>s</tex>) d[v] = <tex>d \gets \infty</tex> used[v] = ''false'' <tex>d[s] \gets = 0</tex> '''for''' <tex>S i \gets \emptysetin V</tex> v = ''null'' '''for''' <tex>Q j \gets in V[G]</tex> <font color="green">// найдём вершину с минимальным расстоянием</font> '''if''' !used[j] '''and''' (v == ''null'' '''or''' d[j] < d[v]) v = j '''whileif''' d[v] == <tex>Q \neq \emptysetinfty</tex> '''break''' used[v] = ''true'' 'do''for' '' e : исходящие из ''v'' рёбра <texfont color="green">u \gets// произведём релаксацию по всем рёбрам, исходящим из ''v''</texfont> '''if'Extract_Min''d[v] + e.len < d[e.to] d[e.to] = d[v] + e.len == Обоснование корректности =={{Теорема|statement=Пусть <tex>G = (V, E)</tex>Q{{---}} ориентированный взвешенный граф, вес рёбер которого неотрицателен, <tex>s</tex>){{---}} стартовая вершина. Тогда после выполнения алгоритма Дейкстры <tex>d(u) = \rho(s , u)</tex> для всех <tex>u</tex>, где <tex>\gets S \cup \rho(s, u)</tex> {{---}} длина кратчайшего пути из вершины <tex>s</tex> в вершину <tex>u</tex>|proof=Докажем по индукции, что в момент посещения любой вершины <tex>u</tex>, <tex>d(u) = \}rho(s, u)</tex>. '''for''' * На первом шаге выбирается <tex>s</tex>, для неё выполнено: <tex>d(uvs) = \in Erho(s, s) = 0</tex> '''do''' ''Relax''* Пусть для <tex>n</tex> первых шагов алгоритм сработал верно и на <tex>n + 1</tex> шагу выбрана вершина <tex>u</tex>. Докажем, что в этот момент <tex>d(u) = \rho(s, u)</tex>. Для начала отметим, что для любой вершины <tex>v</tex>, всегда выполняется <tex>d(v) \geqslant \rho(s, v)</tex> (алгоритм не может найти путь короче, чем кратчайший из всех существующих). Пусть <tex>P</tex> — кратчайший путь из <tex>s</tex> в <tex>u</tex>, <tex>v</tex>{{---}} первая непосещённая вершина на <tex>P</tex>, <tex>z</tex> {{---}} предшествующая ей (следовательно, посещённая). Поскольку путь <tex>P</tex> кратчайший, его часть, ведущая из <tex>s</tex> через <tex>z</tex> в <tex>v</tex>, тоже кратчайшая, следовательно <tex>\rho(s, v) = \rho(s, z) + w(zv)</tex>. По предположению индукции, в момент посещения вершины <tex>z</tex> выполнялось <tex>d(z) = \rho(s, z)</tex>, следовательно, вершина <tex>v</tex> тогда получила метку не больше чем <tex>d(z) + w(zv) = \rho(s, z) + w(zv) = \rho(s, v)</tex>, следовательно, <tex>d(v)=\rho(s, v)</tex>. С другой стороны, поскольку сейчас мы выбрали вершину <tex>u</tex>, её метка минимальна среди непосещённых, то есть <tex>d(u) \leqslant d(v) = Обоснование корректности работы \rho(s, v) \leqslant \rho(s, u)</tex>, где второе неравенсто верно из-за ранее упомянутого определения вершины <tex>v</tex> в качестве первой непосещённой вершины на <tex>P</tex>, то есть вес пути до промежуточной вершины не превосходит веса пути до конечной вершины вследствие неотрицательности весовой функции. Комбинируя это с <tex>d(u) \geqslant \rho(s, u)</tex>, имеем <tex>d(u) =\rho(s, u)</tex>, что и требовалось доказать. *Поскольку алгоритм заканчивает работу, когда все вершины посещены, в этот момент <tex>d(u) =\rho(s, u)</tex> для всех <tex>u</tex>.}} 

В реализации алгоритма присутствует функция выбора вершины с минимальным значением <tex>d</tex> и релаксация по всем рёбрам для данной вершины. Асимптотика работы зависит от реализации. Пусть <tex>n</tex> {{---}} количество вершин в графе, <tex>m</tex> {{---}} количество рёбер в графе. {| class="wikitable"|-! rowspan="2" |! colspan="3" | Время работы! rowspan="2" | Описание|-! Поиск минимума! Релаксация! Общее|-| align="center" | Наивная реализация| align= литература "center" | <tex>O(n)</tex>| align="center" | <tex>O(1)</tex>| align="center" | <tex>O(n^2 + m)</tex>* ''Кормен Т| align="center" | <tex>n</tex> раз осуществляем поиск вершины с минимальной величиной <tex>d</tex> среди <tex>O(n)</tex> непомеченных вершин и <tex>m</tex> раз проводим релаксацию за <tex>O(1)</tex>. Для плотных графов (<tex>m \approx n^2</tex>) данная асимптотика является оптимальной. Х|-| align="center" | [[Двоичная куча]]| align="center" | <tex>O(\log{n})</tex>| align="center" | <tex>O(\log{n})</tex>| align="center" | <tex>O(m\log{n})</tex>| align="center" | Используя двоичную кучу можно выполнять операции извлечения минимума и обновления элемента за <tex>O(\log{n})</tex>., Лейзерсон ЧТогда время работы алгоритма Дейкстры составит <tex>O(n\log{n} + m\log{n}) = O(m\log{n})</tex>. И|-| align="center" | [[Фибоначчиевы кучи|Фибоначчиева куча]]| align="center" | <tex>O(\log{n})</tex>| align="center" | <tex>O(1)</tex>| align="center" | <tex>O(n\log{n} + m)</tex>| align="center" | Используя Фибоначчиевы кучи можно выполнять операции извлечения минимума за <tex>O(\log{n})</tex> и обновления элемента за <tex>O(1)</tex>.Таким образом, Ривест Р. Лвремя работы алгоритма составит <tex>O(n\log{n} + m)</tex>.|} На практике удобно использовать стандартные контейнеры (например, Штайн К.'' 'std::set''' или '''Алгоритмыstd:: построение и анализpriority_queue'''в C++). <br>При реализации необходимо хранить вершины, которые упорядочены по величине <tex>d</tex>, 2для этого в контейнер можно помещать пару {{---}} расстояние-е изданиевершина. В результате будут храниться пары, упорядоченные по расстоянию.  Изначально поместим в контейнер стартовую вершину <tex>s</tex>. Основной цикл будет выполняться, пока в контейнере есть хотя бы одна вершина. ПерНа каждой итерации извлекается вершина с наименьшим расстоянием <tex>d</tex> и выполняются релаксации по рёбрам из неё. При выполнении успешной релаксации нужно удалить из контейнера вершину, до которой обновляем расстояние, а затем добавить её же, но с англновым расстоянием.<br>В обычных кучах нет операции удаления произвольного элемента. — МПри релаксации можно не удалять старые пары, в результате чего в куче может находиться одновременно несколько пар расстояние-вершина для одной вершины (с разными расстояниями).Для корректной работы при извлечении из кучи будем проверять расстояние:Издательский дом "Вильямс"пары, в которых расстояние отлично от <tex>d[v]</tex> будем игнорировать. При этом асимптотика будет <tex>O(m\log{m})</tex> вместо <tex>O(m\log{n})</tex>. == Источники информации ==* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, 2010Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 1296 с2-е изд. — М.: ил«Вильямс», 2007. — Парал. титс. англ459. — ISBN 978-5-84598489-0857-5 (рус4* [http://e-maxx.ru/algo/dijkstra MAXimal :: algo :: Нахождение кратчайших путей от заданной вершины до всех остальных вершин алгоритмом Дейкстры]* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_Дейкстры Википедия — Алгоритм Дейкстры]* [https://en.wikipedia.)org/wiki/Dijkstra%27s_algorithm Wikipedia — Dijkstra's algorithm]