Изменения

== Общий алгоритм получения комбинаторного объекта по номеру в лексикографическом порядке Описание алгоритма ==Получим Получаем элементы объекта по порядку: сначала определим , какой элемент будет стоять на 1-м первом месте, 2-м потом на втором и ттак далее.д. Пусть Считаем, что мы нашли первые <tex>i </tex> элементов нашего объекта. Для всех вариантов элемента, который может стоять на (позиции с номером <tex>i+1)-ой позиции</tex>, посчитаем диапазон номеров, который будет соответствовать объектам с данным префиксом. Если искомый номер входит в один из диапазонов, то, очевидно, мы нашли элемент, который должени должен стоять на (месте с номером <tex>i+1)-ом месте</tex>. (Диапазоны номеров не пересекаются, значит, на это место больше нельзя поставить никакой другой элемент, соответственно, это единственный элемент, который может стоять на этой позиции).:<code> ''//В *в начале каждого шага <tex>\mathtt{numOfObject }</tex> {{---}} номер комбинаторного нужного объекта среди объектов с заданным префиксом. ''тех, у которых префикс до <tex>i</tex>-го элемента лексикографически равен префиксу нашего объекта, '''for''' i = 1 '''to''' *<tex>\mathtt{n}</tex> {{---}} количество мест в комбинаторном объекте (например, битовый вектор длины <tex>n '''do''' ''</tex>),*<tex>\mathtt{k}</n tex> {{---}} количество различных элементов , которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Например, для битового вектора <tex>k=2</tex>, поскольку возможны только <tex>0</tex> и <tex>1</tex>. Все элементы занумерованы в лексикографическом порядке, начиная с <tex>1</tex>.Комбинаторные объекты занумерованы с <tex>0</tex>. Переход к нумерации с единицы можно сделать с помощью одной операции декремента перед проходом алгоритма: '''function''' num2object(numOfObject: '''int'''): '''for''' j i = 1 '''to''' n '''for''do'j = 1 '' 'to'//перебираем елементы в лексикографическом порядке''k '''if''' j-й элемент j можно поставить на i-e место '''then if''' numOfObject > = (количество комбинаторных обектов объектов с данным префиксомobject[1..i-1] и элементом j на месте i)''' '''then''' numOfObject -= (количество комбинаторных обектов объектов с данным префиксомobject[1..i-1] и элементом j на месте i) '''else''' object[i] = j break '''thenreturn''' ansobjectСложность алгоритма {{---}} <tex>O(nk) </tex>. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается. Стоит отметить, что подсчет количества комбинаторных объектов с заданным префиксом зачастую является задачей с достаточно большой вычислительной сложностью. Приведем примеры получения некоторых [[iКомбинаторные объекты|комбинаторных объектов]]по номеру. == Битовые вектора =j ''=Рассмотрим алгоритм получения <tex>k</tex>-ого в лексикографическом порядке битового вектора размера <tex>n</поставим tex>.При построении битовых векторов можно не проверять условие возможности постановки какого-то объекта на i-e текущее место текущий элемент. На каждый позиции может стоять один из двух элементов, независимо от того, ткакие элементы находятся в префиксе.к. еще не все объекты с этим префиксом - меньше''Так как у нас всего два возможных элемента, упростим второй цикл до условия: перейти к выбору следующего элемента*<tex>\mathtt{bitvector[n]}</codetex>{{---}} искомый битовый вектор,Несложно понять*<tex>\mathtt{numOfBitvector}</tex> {{---}} номер искомого вектора среди всех битовых векторов, что корректность алгоритма следует из его построения.Сложность алгоритма *<tex>O\mathtt{pow(2, n)}</tex> {{---}} <tex>2^{2n}f</tex> количество битовых векторов длины <tex>n</tex>, '''vector<int>''' num2bitvector(numOfBitvector: '''int'''): '''for''' i = 1..'''to''' n '''if''' numOfBitvector >= pow(2, (n - i)) numOfBitvector -= pow(2, (n - i)) bitvector[i] = 1 '''else''' bitvector[i] = 0 '''return''' bitvector Данный алгоритм работает за <tex>O(n) </tex>, где так как в случае битовых векторов <tex>k</tex> не зависит от <tex>f(1..i)n</tex> - сложность вычисления количества комбинаторных объектов с данным префиксом. Основную сложность при построении алгоритмов генерации комбинаторных объектов составляет вычисление количества комбинаторных объектов с данным префиксом. Приведем примеры способов нахождения количества некоторых Алгоритм эквивалентен переводу числа из [[Комбинаторные объекты|комбинаторных объектов]]десятичной системы в двоичную.

Рассмотрим алгоритм получения i<tex>k</tex>-ой в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]] перестановки размера <tex>n</tex>.Заметим, что всем префиксом префиксам на каждом шаге будет соответствовать диапазон номеров одинакового размера, (т.к. так как количество перестановок не всевозможных суффиксов зависит только от префиксадлины) т.е. то есть можем просто посчитать "количество диапозоновдиапазонов, которые идут до нас" (количество цифр уже полностью занятых перестановками с меньшим номером) за <tex>O(1) </tex>: <tex>P_{n} </tex> ''{{---}} количество перестановок размера n permutation[n] ''{{---}} искомая перестановка'' was[n] ''{{---}} использовали ли мы уже эту цифру в перестановке'' '''for''' i = 1 '''to''' n '''do''' ''//n - количество цифр в перестановке'' alreadyWas = (numOfPermutation-1) div <tex>P_{n-i} </tex> ''// сколько цифр уже полностью заняты перестановками с меньшим номером'' numOfPermutation = ((numOfPermutation-1) mod <tex>P_{n-i} </tex>) + 1 ''//сейчас мы должны поставить ту цифру, которая еще полностью не занята, т.е. alreadyWas+1 - ую, которой еще нет в нашем префиксе, пусть это цифра j'' ans[i] = j (посчитаем за <tex>O(n) </tex>) теперь j-ый элемент занят (находится в нашем префиксе)

*<tex>\mathtt{k}</tex> {{---}} номер искомой последовательности,*<tex>\mathtt{n!}</tex> {{---}} количество перестановок размера <tex>n</tex>,*<tex>\mathtt{permutation[n]}</tex> {{---}} искомая перестановка,*<tex>\mathtt{was[n]}</tex> {{---}} использовали ли мы уже эту цифру в перестановке.На <tex>i</tex>-ом шаге:*<tex>\mathtt{alreadyWas}</tex> {{---}} сколько цифр уже полностью заняты перестановками с меньшим номером,*мы должны поставить ту цифру, которая еще полностью не занята, то есть цифру с номером <tex>alreadyWas + 1</tex>. Среди цифр, которых еще нет в нашем префиксе, считаем, что это цифра <tex>j</tex>.На <tex>j</tex>-ом шаге:*<tex>\mathtt{curFree}</tex> {{---}} если элемент с номером <tex>j</tex> свободен, то он имеет номер curFree среди всех свободных элементов с <tex>1</tex> по <tex>j</tex>. '''list<int>''' num2permutation(k: '''int'''): '''for''' i = 1 '''to''' n alreadyWas = k / (n - i)! k %= (n - i)! curFree = 0 '''for''' j = 1 '''to''' n '''if''' was[j] == ''false'' curFree++ '''if''' curFree == alreadyWas + 1 permutation[i] = j was[j] = true '''return''' permutation Данный алгоритм работает за <tex>O(n^2) </tex>, так как в случае перестановок <tex>n=k</tex>. Мы можем посчитать все <tex>P_\mathtt{n!} </tex> за <tex>O(n) </tex>. Асимптотику можно улучшить до <tex>O(n \log {n}) </tex>, если использовать структуры данных(например, [[Декартово дерево|декартово дерево]] по неявному ключу), которые позволяют искать <tex>i</tex>-ый й элемент множества и удалять элемент множества за <tex>O( \log {n}) </tex>. Например декартово дерево  == Сочетания ==На каждой итерации мы проверяем, входит ли число <tex>\mathtt{next}</tex> в искомое сочетание. Если мы хотим взять <tex>\mathtt{next}</tex>, то номер сочетания должен быть меньше, чем <tex dpi=140>\binom{n - 1}{k - 1}</tex>, так как потом надо будет выбрать <tex>k - 1</tex> элемент из <tex>n - 1</tex> доступных. Если нет, то будем считать, что <tex dpi=140>\binom{n - 1}{k - 1}</tex> сочетаний, начинающихся с <tex>\mathtt{next}</tex>, мы пропустили. В обоих случаях рассмотрение текущего числа <tex>next</tex> мы заканчиваем и переходим к следующему числу. *<tex>\mathtt{choose}</tex> {{---}} искомое сочетание,*<tex>\mathtt{C[n][k]}</tex> {{---}} количество сочетаний из <tex>n</tex> по неявному ключу<tex>k</tex>, <tex>\mathtt{C[n][0] = 1}</tex>,  '''list<int>''' num2choose(n, k, m: '''int'''): next = 1 '''while''' k > 0 '''if''' m < C[n - 1][k - 1] choose.push_back(next) k = k - 1 '''else''' m -= C[n - 1][k - 1] n = n - 1 next = next + 1 '''return''' chooseАсимптотика приведенного алгоритма {{---}} <tex>O(n)</tex>, предподсчет <tex>\mathtt{C[n][k]}</tex> {{---}} <tex>O(n^2)</tex>

*[[Получение номера по объекту|Получение номера по объекту]]*[[Получение_предыдущего_объекта#.D0.A1.D0.BF.D0.B5.D1.86.D0.B8.D0.B0.D0.BB.D0.B8.D0.B7.D0.B0.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D0.B0.D0.BB.D0.B3.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.BC.D0.B0_.D0.B4.D0.BB.D1.8F_.D0.B3.D0.B5.D0.BD.D0.B5.D1.80.D0.B0.D1.86.D0.B8.D0.B8_.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D1.8B.D0.B4.D1.83.D1.89.D0.B5.D0.B3.D0.BE_.D1.81.D0.BE.D1.87.D0.B5.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F|Получение предыдущего сочетания]]*[[Получение_следующего_объекта#.D0.A1.D0.BF.D0.B5.D1.86.D0.B8.D0.B0.D0.BB.D0.B8.D0.B7.D0.B0.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D0.B0.D0.BB.D0.B3.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.BC.D0.B0_.D0.B4.D0.BB.D1.8F_.D0.B3.D0.B5.D0.BD.D0.B5.D1.80.D0.B0.D1.86.D0.B8.D0.B8_.D1.81.D0.BB.D0.B5.D0.B4.D1.83.D1.8E.D1.89.D0.B5.D0.B3.D0.BE_.D1.81.D0.BE.D1.87.D0.B5.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F|Генерация следующего сочетания]]== Источники информации ==*Программирование в алгоритмах / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002. стр.31- ISBN 5-94774-010-9