Изменения

'''Двоичная куча''' или '''пирамида''' (англ. ''Binary heap'') — такое двоичное [[Дерево, эквивалентные определения|подвешенное дерево]], для которого выполнены следующие три условия:

* Значение в любой вершине не меньше, больше (если куча для максимумаминимума), чем значения её потомков.

 [[Файл:HeapMin_heap.pngpng‎|thumb|325px|Пример кучи для максимумаминимума]][[Файл:Min_heap_array.png‎|thumb|325px|Хранение кучи в массиве, красная стрелка {{---}} левый сын, зеленая {{---}} правый]]Удобнее всего двоичную кучу хранить в виде массива <tex>Aa[0..n-1]</tex>, у которого нулевой элемент, <tex>Aa[0]</tex> — элемент в корне, а потомками элемента <tex>Aa[i]</tex> являются <tex>Aa[2i+1]</tex> и <tex>Aa[2i+2]</tex>. Высота кучи определяется как высота двоичного дерева. То есть она равна количеству рёбер в самом длинном простом пути, соединяющем корень кучи с одним из её листьев. Высота кучи есть <tex>O(\log{Nn})</tex>, где <tex>Nn</tex> — количество узлов дерева.

Двоичные кучи используют, например, для того, чтобы извлекать минимум из набора чисел за <tex>O(\log{Nn})</tex>. Они являются частным случаем приоритетных очередей.

Процедура выполняется за время <tex>O(\log{Nn})</tex>. <codestyle="display:inline-block">

'''ifwhile''' 2 * i + 1 <= Aa.heap_size heapSize <font color = "green">// <tex>heap</tex>_<tex>size </tex> heapSize {{---}} количество элементов в куче</font> left = A[2 * i + 1] <font color = "green">// left {{---}} левый сын</font> '''else''' left = inf '''if''' 2 * i + 2 <= A.heap_size right = A[2 * i + 2] <font color = "green">// right {{---}} правый сын</font> '''else''' right j = infleft '''if''' left == right == inf < a.heapSize '''return''' '''ifand''' a[right ] <a[left] j = left right '''andif''' right < Aa[i] swap(A<= a[2 * i + 2j], A[i]) siftDown(2 * i + 2) '''ifbreak''' (left < A[i]) swap(Aa[2 * i + 1], Aa[ij]) siftDown(2 * i + 1) = j

для этого отца. Иными словами, слишком большой маленький элемент всплывает наверх.Процедура выполняется за время <tex>O(\log{Nn})</tex>. <codestyle="display:inline-block">

'''ifwhile''' a[i] < a[(i == 0 '''return''' - 1) / 2] <font color = "green">// i <tex>==</tex> 0 {{---}} мы в корне</font> '''if''' A[i] < A[i / 2] swap(Aa[i], Aa[(i - 1) / 2]) siftUp i = (i - 1) / 2)

Выполняет извлечение минимального элемента из кучи за время <tex>O(\log{Nn})</tex>.

<code> '''Tint''' extractMin(): '''Tint''' min = Aa[0] A a[0] = Aa[Aa.heap_size heapSize - 1] A a.heap_size heapSize = Aa.heap_size heapSize - 1 siftDown(0) '''return''' min</code>

Выполняет добавление элемента в кучу за время <tex>O(\log{Nn})</tex>.

<codestyle="display:inline-block"> '''function''' insert(key : '''Tint'''): A a.heap_size heapSize = Aa.heap_size heapSize + 1 A a[Aa.heap_size heapSize - 1] = key siftUp(Aa.heap_size heapSize - 1)

===Построение кучи за O(Nn) ===

'''<tex>D</tex>-куча''' {{---}} это куча, в которой у каждого элемента, кроме, возможно, элементов на последнем уровне, ровно <tex>Dd</tex> потомков.

Дан массив <tex>Aa[0.. N n - 1].</tex> Требуется построить <tex>Dd</tex>-кучу с минимумом в корне. Наиболее очевидный способ построить такую кучу из неупорядоченного массива {{- --}} сделать нулевой элемент массива корнем, а дальше по очереди добавить все его элементы (сделать в конец кучи и запускать от каждого добавленного элемента <texmath> \mathrm {siftDownsiftUp} </texmath> для каждого). Временная оценка такого алгоритма <tex> O(Nn\log{Nn})</tex>. Однако можно построить кучу еще быстрее — за <tex> O(Nn) </tex>.  Представим, что в массиве хранится дерево (<tex>Aa[0] - </tex> корень, а потомками элемента <tex>Aa[i]</tex> являются <tex>Aa[2idi+1]...Aa[2idi+Dd]</tex>). Сделаем <tex> \mathrm {siftDown} </tex> для вершин, имеющих хотя бы одного потомка, начиная с конца(: от <texdpi=140> \dfrac{n - 1}{d}</tex> до <tex>0</tex>) (,{{---}} так как поддеревья, состоящие из одной вершины без потомков, уже упорядочены).

|proof= При вызове До вызова <tex> \mathrm {siftDown} </tex> для вершины, ее поддерево является кучей, после поддеревья являются кучами. После выполнения <tex> \mathrm {siftDown} </tex> поддерево эта вершина с этой вершиной будет ее поддеревьями будут также являться кучей. Значит , после выполнения всех <tex> \mathrm {siftDown} </tex> получится куча.

|statement= Время работы этого алгоритма <tex> O(Nn) </tex>.|proof= Число вершин на высоте <tex>h</tex> в куче из <tex>Nn</tex> элементов не превосходит <tex dpi = "120160"> \left \lceil \frac{Nn}{Dd^h} \right \rceil </tex>. Высота кучи не превосходит <tex> \log_{Dd}N n </tex>. Обозначим за <tex> H </tex> высоту дерева, тогда время построения не превосходит

<tex dpi = "160"> \sum_{h = 1}^H \limits\frac{Nn}{Dd^h} \cdot D d </tex> <tex dpi = "150"> \cdot h </tex> <tex dpi = "160"> = N n \cdot D d \cdot {\sum_{h = 1}^H \limits}\frac{h}{Dd^h}. </tex>

|statement= <tex dpi = "160"> {\sum_{h = 1}^\infty \limits}\frac{h}{Dd^h} = \frac{Dd}{(D d - 1)^2} . </tex>

Обозначим за <tex>Ss</tex> сумму ряда. Заметим, что<tex dpi = "160"> \frac{n}{Dd^n} = \frac{1}{Dd} \cdot \frac{n - 1}{D d ^{n - 1}} + \frac{1}{Dd^n}. </tex>

\frac{\frac{1}{Dd}}{1 - \frac{1}{Dd}} = \frac{1}{D d - 1}. </tex>

Получаем <tex>Ss</tex> <tex dpi = "160" >=\frac{1}{Dd}</tex> <tex>\cdot S s +</tex> <tex dpi = "160" > \frac{1}{D d - 1}. </tex> Откуда <tex>Ss</tex> <tex dpi = "160"> = \frac{Dd}{(D d - 1)^2}. </tex>

Подставляя в нашу формулу результат леммы, получаем <tex >Nn</tex> <tex dpi = "160">\cdot (\frac {Dd}{D d - 1})^2 </tex> <tex> < \leqslant 5 4 \cdot N n </tex> <tex>=O(Nn).</tex>

Псевдокод алгоритма:<code style="display:inline-block"> '''function''' buldHeap(): '''for''' i = a.heapSize / 2 '''downto''' 0 siftDown(i)</code> ===Слияние двух куч===Даны две кучи <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, размерами <tex>n</tex> и <tex>m</tex>, требуется объединить эти две кучи. ====Наивная реализация====Поочередно добавим все элементы из <tex>b</tex> в <tex>a</tex>. Время работы {{---}} <tex>O(m \log(n+m))</tex>.<code style="display:inline-block"> '''function''' merge(a, b : '''Heap'''): '''while''' b.heapSize > 0 a.insert(b.extractMin())</code> ====Реализация с помощью построения кучи====Добавим все элементы кучи <tex>b</tex> в конец массива <tex>a</tex>, после чего вызовем функцию построения кучи. Процедура выполняется за время <tex>O(n + m)</tex>.  <code style="display:inline-block"> '''function''' merge(a, b : '''Heap'''): '''for''' i = 0 '''to''' b.heapSize - 1 a.heapSize = a.heapSize + 1 a[a.heapSize - 1] = b[i] a.heapify()</code>  ===Поиск k-ого элемента (очень коряво расписано с неверными индексами)===Требуется найти <tex>k</tex>-ый по величине элемент в куче. # Создаем новую кучу, в которой будем хранить пару <tex>\langle \mathtt{value}, \mathtt{index} \rangle</tex>, где <tex>\mathtt{value}</tex> {{---}} значение элемента, а <tex>\mathtt{index}</tex> {{---}} индекс элемента в основном массиве, и добавляем в нее корень кучи. # Возьмем корень новой кучи и добавим её детей из основной кучи, после чего удалим корень. Проделаем этот шаг <tex>k - 1</tex> раз.# В корне новой кучи будет находиться ответ. Время работы алгоритма {{---}} <tex>O(k \log k)</tex>. При <tex>n \lessapprox k \log k </tex> выгоднее запускать [[поиск k-ой порядковой статистики]].[[Файл:Min_heap_kth.png‎|thumb|center|650px|Пример при <tex>k = 5</tex>, красные {{---}} уже удаленные из кучи элементы, зеленые находятся в куче, а голубые {{---}} еще не рассмотрены.]] == См. также ==* [[Биномиальная куча]]* [[Фибоначчиева куча]]* [[Левосторонняя куча]] == Источники информации ==