Изменения

{{Задача|definition == Постановка задачи == Дана циклическая строка <tex>s</tex>. Требуется отсортировать все её суффиксы. Поскольку строка циклическая, то и подстроки мы будем рассматривать циклические: под подстрокой <tex>s[i0 ..jn - 1]</tex>, когда . Суффиксом циклической строки <tex>i > js</tex>, понимается подстрока называется строка <tex>s[i..n-1] + s[0..ji - 1], i < n </tex>(будем называть такую строку суффиксом под номером <tex>i</tex>). Кроме того, предварительно Требуется отсортировать все индексы берутся по модулю длины строкиеё суффиксы в порядке лексикографической сортировки.}}

Рассматриваемый алгоритм состоит из примерно <tex>\lceil\log n\rceil + 1</tex> фазитераций. На <tex>k</tex>-той фазе итерации (<tex>k=0..\lceil\log n\rceil </tex>) сортируются циклические подстроки длины <tex>2^k</tex>. На последней, <tex>\lceil\log n\rceil</tex>-ой фазеитерации, будут сортироваться подстроки длины <tex>2^{\lceil\log n\rceil} \ge geqslant n</tex>, что эквивалентно сортировке циклических сдвигов.

На каждой фазе алгоритм помимо итерации будем хранить массив перестановки <tex>p[0..n-1]</tex> индексов циклических подстрок будет поддерживать для каждой циклической подстроки длиной , где <tex>2^kp[i]</tex>— номер суффикса, начинающейся занимающего позицию <tex>i</tex> в позиции текущей перестановке. Также будем хранить массив классов эквивалентности <tex>ic[0 .. n - 1]</tex>, номер класса эквивалентности где <tex>c[i]</tex>— класс эквивалентности, которому эта подстрока принадлежитпрефикс длины <tex>2^k</tex> суффикса под номером <tex>p[i]</tex>. В самом деле, среди подстрок могут быть одинаковые, и алгоритму понадобится информация об При этом. Кроме тогоесли префикс суффикса под номером <tex>p[i]</tex> лексикографически меньше префикса суффикса под номером <tex>p[j]</tex>, номера классов эквивалентности то <tex>c[i] < c[j]</tex> будем давать таким образом. Если же префиксы равны, чтобы они сохраняли то и информацию о порядке: если один их классы эквивалентности одинаковы. Так как мы вставили в строку символ <tex>\$</tex>, то к концу алгоритма каждый суффикс меньше другогобудет иметь уникальный класс эквивалентности, значит, то и номер класса он должен получить меньшиймы установим порядок суффиксов.

На нулевой фазе мы должны отсортировать итерации отсортируем циклические подстроки длины <tex>1</tex>, т.е. отдельные первые символы строкистрок, и разделить разделим их на классы эквивалентности (одинаковые символы должны быть отнесены к одному классу эквивалентности). Это можно сделать сортировкой подсчётом. Для каждого символа посчитаем, сколько раз он встретился. Потом по этой информации восстановим При помощи [[Сортировка подсчетом|сортировки подсчетом]] построим массив <tex>p</tex>, содержащий номера суффиксов, отсортированных в лексикографическом порядке. После этого проходом по По этому массиву <tex>p</tex> и сравнением символов строится построим массив классов эквивалентности <tex>c</tex>.

Далее, пусть мы выполнили На <tex>k-1</tex>-ю фазу (т.е. вычислили значения массивов ом проходе имеем массивы <tex>p</tex> и <tex>c</tex> для неё), вычисленные на предыдущей итерации. Научимся за Приведем алгоритм, выполняющий <tex>O(n)k</tex> выполнять следующую, -ый проход за <tex>kO(n)</tex>-ю, фазу. Поскольку фаз итераций всего <tex>O(\log n)</tex>, это даст нам требуемый такой алгоритм с временем имеет асимптотику <tex>O(n \log n)</tex>.

Заметим, что циклическая подстрока длины <tex>2^k</tex> состоит из двух подстрок длины <tex>2^{k-1}</tex>, которые мы можем сравнивать между собой за <tex>O(1)</tex>, используя информацию с предыдущей фазы итерации — номера классов эквивалентности <tex>c</tex>. Таким образом, для подстроки длины <tex>2^k</tex>, начинающейся в позиции <tex>i</tex>, вся необходимая информация содержится в паре чисел <tex>(\langle c[i], c[i + 2^{k-1}])\rangle </tex>.

Это даёт нам весьма простое решение[[Файл: отсортировать подстроки Suff_array.png|350px|thumb|right|Циклическая подстрока длины <tex>2^k</tex> просто по этим парам чисел, это и даст нам требуемый порядок, т.е. массив <tex>p</tex>. Воспользуемся здесь приёмом, на котором основана цифровая сортировка: чтобы отсортировать пары, отсортируем их сначала по вторым элементам, а затем — по первым элементам (обязательно устойчивой сортировкой). Однако отдельно вторые элементы уже упорядочены — этот порядок задан в массиве от предыдущей фазы. Тогда, чтобы упорядочить пары по вторым элементам, надо просто от каждого элемента массива <tex>p</tex> отнять <tex>2^{k-1}</tex> — это даст нам порядок сортировки пар по вторым элементам (<tex>p</tex> даёт упорядочение подстрок длины <tex>2^{k-1}</tex>, и при переходе к строке вдвое большей длины эти подстроки становятся их вторыми половинками, поэтому от позиции второй половинки отнимается длина первой половинки)ее частей с прерыдущей итерации.]]

Таким образомОтсортируем подстроки длины <tex>2^k</tex> по данным парам и запишем порядок в массив <tex>p</tex>. Воспользуемся здесь приёмом, мы производим сортировку на котором основана [[Цифровая сортировка| цифровая сортировка]]: отсортируем пары сначала по вторым элементам , а затем по первым (устойчивой сортировкой). Однако вторые элементы уже упорядочены — этот порядок задан в массиве от предыдущей итерации. Тогда, чтобы получить порядок пар. Теперь надо произвести устойчивую сортировку по первым вторым элементам пар, её уже можно выполнить за надо от каждого элемента массива <tex>p</tex> отнять <tex>2^{k-1}</tex>O(n)<tex>p</tex> даёт упорядочение подстрок длины <tex>2^{k-1}</tex> с помощью сортировки подсчётом, и при переходе к строке вдвое большей длины эти подстроки становятся их вторыми половинками, поэтому от позиции второй половинки отнимается длина первой половинки).

Чтобы произвести устойчивую сортировку по первым элементам пар, воспользуемся сортировкой подсчетом, имеющую асимптотику <tex>O(n)</tex>. Осталось только пересчитать номера классов эквивалентности <tex>c</tex>, просто пройдя по полученной новой перестановке <tex>p</tex> и сравнивая соседние элементы (опять же, сравнивая как пары двух чисел).

<tex>s = abacaba\$\\i' = i + 2^{k-1} \\</tex>[[Файл{| class="wikitable" style="text-align:Suffixcenter;"! colspan="3" | 0 фаза! colspan="4" | 1 фаза! colspan="4" | 2 фаза! colspan="4" | 3 фаза|-| p| s| c| p| | | c| p| | | c| p| | | c|-| 7| $| 1| 7| $a| 1,2| 1| 7| $aba| 1,5| 1| 7| $abacaba| 1,8| 1|-| 0| a| 2| 6| a$| 2,1| 2| 6| a$ab| 2,3| 2| 6| a$abacab| 2,5| 2|-| 2| a| 2| 0| ab| 2,3| 3| 4| aba$| 3,2| 3| 4| aba$abac| 3,4| 3|-| 4| a| 2| 4| ab| 2,3| 3| 0| abac| 3,4| 4| 0| abacaba$| 4,3| 4|-array2.png‎]]| 6| a| 2| 2| ac| 2,4| 4| 2| acab| 4,3| 5| 2| acaba$ab| 5,2| 5|-| 1| b| 3| 1| ba| 3,1| 5| 5| ba$a| 5,1| 6| 5| ba$abaca| 6,7| 6|-| 5| b| 3| 5| ba| 3,1| 5| 1| baca| 5,6| 7| 1| bacaba$a| 7,6| 7|-| 3| c| 4| 3| ca| 4,1| 6| 3| caba| 6,5| 8| 3| caba$aba| 8,1| 8|}

<font color=darkgreen>/* преобразует масив count, так что теперь он содержит позиции в массиве suffs с которых необходимо вставлять подстроки, начинающиеся с соответствующих символов */</font> '''calc_positionsint[]'''calc_positions('''vectorint[]''' &count) //''преобразуем масив count''[0] = 0 '''for''' ('''int''' i = 1; i < 2 .. count.size(); ++i)length - 1 count[i] += count[i - 1]; '''rotatereturn'''(count <font color=darkgreen>/* принимает строку, 1);для которой требуется построить суффиксный массив возвращает суффиксный массив */</font> ''сдвигаем массив на 1 вправо для удобства работы с индексами'' countint[0] = 0; //''теперь он содержит позиции в массиве suffs с которых 'suff_array(' //''необходимо вставлять подстроки, начинающиеся с соответствующих символов'' '''suff_arraystring'''(string &sstr) s += '$'; int alpha_size = 255; <font color=darkgreen>//''На нулевом этапе сортируем подстроки длиной 1''нулевая итерация</font> count = '''vectorint''' count([max(alpha_size<tex>|\Sigma|</tex>, sstr.length())); //''count -- массив для сортировки подсчетом''] '''fill'''(count, 0); '''for''' (ch '''intin''' i = 0; i < s.length(); ++i)str ++count[ord(s[ich])];++ count = '''calc_positions'''(count); '''vector''' suffs(s.length()); <font color=darkgreen>//''suffs будет хранить индексы начал отсортированных подстрок текущей длины</font> suffs = '''int'''[str.length] '''for''' (ch '''intin''' i = 0; i < s.length(); ++i)str suffs[count[ord(s[i])ch]++] = i; //classes = ''подстроки длиной 1 отсортированы'int' //''разобьем их на классы эквивалентности'' '''vector''' classes(s[str.length());] '''int''' classes_count classesN = 0; '''char''' last_char = '$'; '''for''' (suf '''intin''' i = 0; i < suffs.size(); ++i) '''if''' s[suffs[isuf]] != <tex> \neq </tex> last_char last_char = s[suffssuf[i]]; classesN++classes_count; classes[suffs[i]suf] = classes_count;classesN <font color=darkgreen>//''нулевой этап завершен''нулевая итерация завершена //''на следующих этапах сортируем подстроки длиной 2 * cur_len = 2^k''</font> cur_len = 1 '''for''' ('''intwhile''' cur_len = 1; cur_len <= stex> \leqslant </tex> str.length(); cur_len *= 2) <font color=darkgreen>//''сортируем по второй половине подстроки''</font> sorted_by2 = '''vectorint''' sorted_by2(s[str.length());] '''for''' ('''int''' i = 0; i < suffs.size(); ++i). str.length - 1 '''if''' suffs[i] < cur_len sorted_by2[i] = (suffs[i] + sstr.length() - cur_len; ) '''elsemod'''str.length sorted_by2[i] <font color= suffs[i] - cur_len; darkgreen>//''теперь сортируем по первой половине'' //''сортировка устойчивая, значит получим целиком отсортированные подстроки''</font> '''fill'''(count, 0); '''for''' (by2 '''intin''' i = 0; i < sorted_by2.size() ++i) ++count[classes[sorted_by2[iby2]]];++ count = '''calc_positions'''(count); '''for''' ('''int''' i = 0; i < s.. str.length(); ++i)- 1 suffs[count[classes[sorted_by2[i]]]++] = sorted_by2[i]; //''Подстроки текущей длины отсортированы'' //''переcчитаем классы эквивалентности'' new_classes = '''vectorint''' new_classes(s[str.length()); new_classes[suffs[0]] = 0; classes_count classesN = 0; '''for''' ('''int''' i = 0 .. str.length - 1; i < new_classes.size(); ++i) '''int''' mid1 = (suffs[i] + cur_len) % suffs.size(); '''intmod''' str.length mid2 = (suffs[i-1] + cur_len) % suffs'''mod''' str.size();length '''if''' (classes[suffs[i]] != <tex> \neq </tex> classes[suffs[i-1]] || '''or''' classes[mid1] != <tex> \neq </tex> classes[mid2]) classesN++classes_count; new_classes[suffs[i]] = classes_count;classesN //''сохраняем новые классы в classes''= new_classes '''copy'''(new_classes, classes);cur_len *= 2 '''return''' suffs;

== Источники См. также ==

* [http://e-maxx.ru/algo/suffix_array e-maxx.ru[Построение суффиксного массива с помощью стандартных методов сортировки]]