Изменения

'''Алгоритм Кинг''' {{---}} метод проверкиалгоритм, является ли предложенный Валери Кинг (''англ. Valerie King''), позволяющий свести проверку минимальности [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения | остовное деревоостовного дерева]] неориентированного взвешенного графа к случаю полного ветвящегося дерева. Данное вспомогательное дерево может быть использовано в частном случае [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения Алгоритм Комлоса|минимальнымалгоритма Комлоса]], для которого также была предложена эффективная реализация, позволяющая выполнить проверку минимальности за линейное время. Алгоритм имеет линейную сложность, что является преимуществом по сравнению с ранними подходами<ref name="tarjan">Tarjan, R.E., 1979. Applications of path compression on balanced trees. Journal of the ACM (JACM), 26(4), pp.690-715.</ref><ref name="drt">B. Dixon, M. Rauch, and R. Tarjan, Verification and sensitivity analysis of minimum spanning trees in linear time,SIAM J. Comput.,21(6) (1992), 1184–1192.</ref><ref name="komlos">Komlós, J. Linear verification for spanning trees. Combinatorica 5, 57–65 (1985). https://doi.org/10.1007/BF02579443</ref>.

Пусть <math>T = (V_T, E_T)</math> {{---}} остовное дерево неориентированного взвешенного графа <math>G = (V_G, E_G)</math>. Обозначим как <math>\{u, v\}</math> ребро, которое соединяет вершины <math>u</math> и <math>v</math>.Описываемый метод Проверка минимальности остовного дерева заключается в проверке [[Критерий Тарьяна минимальности остовного дерева|критерия Тарьяна]]:

Остовное дерево является минимальным тогда и только тогда, когда вес любого ребра графа , соединяющего вершины <math>\{u, </math> и <math>v\}</math>, не входящего в остовное дерево, больше либо равен весу ребра, имеющего максимальный вес среди ребер входящих в путь между <math>u</math> и <math>v</math> в остовном дереве.

Алгоритм строит вспомогательное дерево <math>B = (V_B, E_B)</math>, являющееся подвешенным и полным ветвящимся (такое дерево, у вершин которого либо 0, либо 2 и более потомкапотомков, и в котором все листья находятся на одном уровне), для которого будет выполняться следующее: <math>w(Heavy(B, u, v)) = w(Heavy(T, u, v))</math> для любой пары вершин <math>u, v \in V_T</math>. Построение дерева <math>B</math> основано на [[Алгоритм Борувки|алгоритме Борувки]]. При инициализации алгоритма для каждой вершины <math>v \in T</math> создается лист <math>f(v)</math> в <math>B</math>. Пусть на некотором шаге алгоритма Борувки алгоритм объединяет множество деревьев <math>A</math> в одно дерево, обозначаемое <math>t</math>. При этом алгоритм выбирает некоторые рёбра с наименьшим весом, прилегающие к деревьям из множества <math>A</math>. Обозначим такое ребро для некоторого дерева <math>a \in A</math> как <math>adj(a)</math>. Тогда алгоритм создает новую вершину <math>f(t)</math> в <math>V_B</math> и добавляет новые рёбра в <math>E_B</math> как <math>\{\{f(t), f(a)\} | a \in A\}</math>. Каждому ребру <math>\{f(t), f(a)\}</math> присваивается вес выбранного алгоритмом Борувки ребра, т.е. <math>w(\{f(t), f(a)\}) := w(adj(a))</math>.

Алгоритм вычисляет вес для каждой части пути следующим образом. Пусть <math>A(v, l)</math> {{---}} ребро максимального веса на пути из корня в некоторый лист <math>l</math>, проходящий через <math>v</math>, ограниченном на отрезке <math>[v, l]</math> (т.е. удалены все вершины от корня до предка v). Обозначим <math>A(v) = \{A(v, l) | l \text{ содержится в поддереве с корнем } v\}</math>.Предположим, что <math>s</math> {{---}} вершина-потомок <math>v</math>, и известно множество <math>A(s) = \{A(s, l_1), A(s, l_1),\dots\}</math>. Рассмотрим случай одного листа <math>l_i</math>. Очевидно, что все пути из корня в <math>l_i</math>, проходящие через <math>s</math>, также проходят через <math>v</math>. Так как ребро <math>\{v, s\}</math> связывает <math>v</math> и <math>s</math>, получим, что <math>A(v, l_i) Использование вспомогательного дерева == \arg\max\{w(A(s, l_i)), w(\{v, s\})\}</math>. Следовательно, для того, чтобы найти <math>A(v)</math>, достаточно сравнить веса рёбер из <math>A(s)</math> с весом ребра <math>\{v, s\}</math>. Данное сравнение можно эффективно выполнить с помощью двоичного поиска. Итоговое множество <math>A(v)</math> получается путем объединением множеств рёбер, полученных для каждого потомка.  Комлос показалПостроенное вспомогательное дерево позволяет свести задачу проверки минимального остовного дерева к случаю полного ветвящегося дерева, что <math>\sum\limits_{v\in T} \log |A(v)| = O\left(|V_T|\log\left(\frac{|E_T|+|V_T|}{|V_Tявляется частным случаем [[Алгоритм Комлоса#Случай полного ветвящегося дерева|}\right)\right)</math><ref name="komlos">Komlós, J. Linear verification for spanning trees. Combinatorica 5, 57–65 (1985). https://doi.org/10.1007/BF02579443</ref>, что дает верхнюю границу для количества операций сравнений, используемых алгоритмом. == Особенности реализации алгоритма ===== Используемые структуры данных ===Реализация алгоритма требует операций над битовыми словами размера порядка <math>O(\log|V_T|)</math>. Было показано, что рассматриваемые операции возможно предпосчитать за время <math>O(|V_T|)</math> и сохранить в таблице, обращение к которой занимает <math>O(1)</math> операцийКомлоса]] верификации минимального остовного дерева. Кинг была предложена [[Алгоритм пользуется структурами данных, описанными ниже. Вершины во вспомогательном дереве нумеруются битовыми словами следующим образом:Комлоса# Каждый лист помечается порядковым номером 0, 1, 2... в двоичном представлении в порядке встречи листов Эффективная реализация при [[Обход_в_глубину,_цвета_вершинпомощи битового сжатия|обходе в глубинуэффективная реализация]].# Каждый не-лист помечается номером своего потомка, содержащим наибольшее количество ведущих нулей.Рёбра в дереве получают тег, который формируется следующим образом. Рассмотрим ребро <math>e = \{u, v\}</math>, где <math>v</math> находится дальше от корня. Пусть <math>d(v)</math> обозначает расстояние от вершины <math>v</math> до корня, а <math>i(v)</math> {{---}} номер младшей единицы в номере вершины <math>v</math>. Тогда тег ребра <math>e</math> {{---}} строка размера <math>\lceil\lg\lg |V_T|\rceil</math>, записанная как <math><d(v), i(v)></math>. В оригинальной работе было показано, что имея тег ребра и номер вершины, можно обнаружить ребро в графе за константное время. Для каждой вершины <math>v</math> создается вектор длины <math>\lceil\lg|V_T|\rceil</math>, обозначаемый как <math>LCA(v)</math>, чей бит с номером i равен 1, когда существует путь из листа в поддереве данного случая с корнем <math>v</math> в лист в другом поддереве, наивысшая по уровню вершина которого (иначе говоря, наименьший общий предок двух листьев) находится на расстоянии <math>i</math> от <math>v</math>. Далее, вершины делятся на два класса. Если <math>|A(v)|>\frac{\lceil\lg|V_T|\rceil}{\lceil\lg\lg |V_T|\rceil}</math>, то вершина <math>v</math> считается ''большой''; в противном случае вершина считается ''малой''. Для больших вершин создаются списки <math>bigList</math>, для малых {{---}} <math>smallList</math>. <math>BigList</math> содержит теги рёбер из <math>A(v)</math> в порядке неубывания длин путей из корня в листья, соответствующих рёбрам. Для хранения такого списка требуется <math>\frac{|A(v)|\lceil\lg\lg |V_T|\rceil}{\lceil\lg|V_T|\rceil}=O(\log\log |V_T|)</math> памяти. Для малой вершины <math>v</math> обозначим за <math>a</math> ближайшего большого предка. Список <math>smallList</math> содержит либо теги рёбер из <math>A(v)</math>, либо, если ребро <math>e</math> из <math>A(v)</math> содержится в интервале от корня до <math>a</math>, указатель на <math>bigList</math> вершины <math>a</math>, содержащий тег для <math>e</math>. Для каждой малой вершины запоминается номер первого элемента в <math>smallList</math>, являющимся тегом. Элементы списка, идущие после первого тега, тоже являются тегами. Для хранения <math>smallList</math> требуется одно битовое слово. Построение и использование структуры данных подробно описано в оригинальной статье.  === Анализ сложности ===Было показано, что сложность построения данных для одной вершины <math>v</math> возможно за <math>O\left(\log |A(v)|\right)</math> операций. Суммируя по всем вершинамиспользованием битового сжатия, итоговая сложность алгоритма составляет позволяющая проверить минимальность остовного дерева со сложностью <math>O\left(|V_T|\log\left(\frac{|E_T|+|V_T|}{|V_T|}\right)\right)</math> операций, что и было показано Комлосом. Дополнительно алгоритм тратит <math>O(|V_T|+|E_T|)</math> операций для построения списков <math>LCA(v)</math>, <math>O(n)</math> операций для обработки таблиц с предвычисленными значениями и <math>O(m)</math> операций сравнения для нахождения ребра с максимальным весом из двух половин. В завершении алгоритма, требуется сравнить веса рёбер графа, которые не входят в остовное дерево, с найденными в дереве <math>B</math> рёбрами наибольшего веса, что потребует дополнительных <math>O(m)</math> операций сравнения.