Укладка дерева

Дерево — планарный граф. Его планарность можно подтвердить, предъявив способ укладки для произвольного дерева. По формуле Эйлера: [math]V - E + F = 2, V - (V - 1) + F = 2 [/math] [math] \Leftrightarrow[/math][math] F = 1 [/math]. Значит дерево можно уложить на плоскость и у него будет только одна грань. Для произвольных графов есть гамма-алгоритм, который проверяет произвольный граф на планарность.

Укладка дерева

Рисунок 1. Пример поуровневой укладки дерева.

Существуют несколько способов укладки дерева на плоскости.

Поуровневая укладка

Простой способ построения нисходящего плоского изображения дерева заключается в использовании его поуровневого расположения (англ. layered drawing), при котором вершины глубины [math]a[/math] имеют координату [math]y = – a[/math], а координаты по горизонтальной оси распределяются так, чтобы никакие левые поддеревья не пересекались с правыми (см. рисунок 1). Возможна реализация за линейное время, позволяющая получить оптимальное по ширине плоское дерево в области размера [math]O(N^2)[/math] (где [math]N[/math] — число вершин дерева).

Радиальная поуровневая укладка

Рисунок 2. Граф из рисунка 1, но уложенный радиально.

Радиальная поуровневая укладка (англ. radial drawing) дерева отличается тем, что его уровни имеют вид концентрических окружностей (см. рисунок 2).

Вершины глубины [math]a[/math] располагаются на окружностях с радиусом [math]r = a[/math], при этом каждое поддерево находится внутри некоторого сектора (то есть между двумя лучами исходящими из центра). Определим способ выбора угла этого сектора для некоторого поддерева вершины [math]p[/math] находящейся на уровне [math]i[/math]. Пусть угол сектора для дерева с корнем [math]p[/math] равен [math]\beta_p[/math]. Пусть корень поддерева(непосредственный ребенок [math]p[/math]) — вершина [math]q[/math], обозначим количество вершин в дереве с корнем [math]q[/math] как [math]l(q)[/math]. Тогда [math]\beta_q = \min\left(\dfrac{l(q)}{l(p)}\beta_p, \tau\right)[/math], где [math]\tau[/math] — это угол области [math]F_p[/math], определяемой пересечением касательной в точке [math]p[/math] к окружности уровня [math]i[/math] и окружностью уровня [math]i+1[/math]. Угол [math]\tau[/math] необходим для того, чтобы отрезок [math]pq[/math] не пересек окружность уровня [math]i[/math].

Радиальное изображение дерева часто используют для представления свободных деревьев, причем в качестве вершины, размещаемой в центре, берется одна из его центральных вершин.

Рисунок 3. Пример укладки двоичного дереве в виде hv-изображения.

hv-изображения

Бинарные деревья можно изобразить при помощи hv-изображений (англ. horizontal-vertical drawing) (см. рисунок 3). При этом для каждой вершины [math]p[/math] выполняются следующие свойства: сын вершины [math]p[/math] ставится в ряд за [math]p[/math]: либо по горизонтали справа, либо по вертикали вниз; два прямоугольника, ограничивающие левое и правое поддерево вершины [math]p[/math], не пересекаются.

См. также

• Укладка графа на плоскости
• Укладка графа с планарными компонентами реберной двусвязности
• Гамма-алгоритм

Источники информации

• Tree Drawing Algorithms and Tree Visualisation Methods (PDF)