1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition=
Последовательность <tex> a_n = f(n) </tex> '''ограничена сверху'''('''снизу)'''), если <tex> f(N) </tex> ограничено сверху(снизу).
}}
|definition=
Последовательность <tex> a_n </tex> '''возрастает''' (пишут: <tex> a_n \!\! \uparrow </tex>), если: <tex> \forall n : a_n \le a_{n+1} </tex>.
Аналогично, если <tex> \forall n : a_n \ge a_{n+1} </tex>, то говорят, что последовательность <tex> a_n </tex> '''убывает''' (<tex> a_n \!\! \downarrow </tex>).
}}
}}
{{Определение|definition=Если последовательность имеет предел, то она '''сходится''': <tex> a_n \rightarrow a </tex>.}}
В определении предела последовательности <tex> \forall n > n_0: |a_n - a| < \varepsilon </tex>, строгие знаки неравенства можно заменять на нестрогие.
Однако, ограничение <tex> 0 < \varepsilon </tex> обязательно.
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = -\infty \Leftrightarrow iff
\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0 : a_n < -\varepsilon </tex>
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = +\infty \Leftrightarrow iff
\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0 : a_n > \varepsilon </tex>
<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = \infty \Leftrightarrow iff
\forall \varepsilon > 0: \exists n_0 \in \mathbb N: \forall n > n_0 : |a_n| > \varepsilon </tex>
\Rightarrow \lim b_n = d </tex>
}}
Использовать при доказательстве этого принципа предыдущее утверждение, записав двойное неравенство, нельзя, так как в условии принципа сжатой переменной не гарантируется существование <tex>\lim b_n</tex>.
== Примеры ==
1) <tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: \forall n > N: \alpha_n < \frac {\varepsilon}2 , \beta_n < \frac {\varepsilon}2 </tex>
<tex> |\alpha_n + \beta_n| \le |\alpha_n| + |\beta_n| < \frac {\varepsilon}2 + \frac {\varepsilon}2 = \varepsilon </tex> - для всех <tex>n</tex>, начиная с <tex>N</tex>.
2) <tex> \forall \varepsilon > 0, \exists N: \forall n > N: \alpha_n < \varepsilon , \beta_n < 1 </tex>
<tex> |\alpha_n \cdot \beta_n| = |\alpha_n||\beta_n| < \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon </tex> {{---}} для всех <tex>n</tex>, начиная с <tex>N</tex>.
}}
# <tex> (a_n \pm b_n) \rightarrow a \pm b </tex>
# <tex> (a_n \cdot b_n) \rightarrow a \cdot b </tex>
# Если <tex> \lim b_n \nrightarrow ne 0 </tex>, то <tex> ( \frac {a_n}{b_n} ) \rightarrow \frac ab </tex>
|proof=
