1632
правки
Изменения
м
|proof=
Пусть задано [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие#Основные определения | вероятностное пространство]] с четырьмя равновероятными элементарными исходами. Возьмем на этом пространстве следующую [[Дискретная случайная величина | случайную величину]]: <tex> \eta </tex>
<tex> \eta(w_{1}) = -2 </tex>
<tex>\eta(w_{2} ) = -1</tex>
<tex>\eta(w_{3} ) = 1 </tex>
<tex>\eta(w_{4} ) = 2 </tex>
Тогда пусть случайная величная <tex> \xi(w) = \eta ^ {2} (w)</tex>. Эти две величины не являются [[Независимые случайные величины#Определения | независимыми]] (достаточно проверить это при <tex> a = 1 , b = 1 </tex>). Найдем их ковариацию:
<tex>
\mathrm{Cov}(\eta, \xi) = E(\eta\cdot\xi) - E\eta \cdot E\xi = </tex> <tex>\sum \limits_{i=1}^{4} (\eta(w_{i})\cdot \xi(w_{i}) \cdot p(w_{i})) - (\sum \limits_{j=1}^{4} \eta(w_{i}) \cdot p(w_{i})) \cdot (\sum \limits_{k=1}^{4} \xi(w_{i})\cdot p(w_{i}) ) = </tex>
<tex>= \frac{1}{4} \cdot ( (-2)\cdot4 + (-1)\cdot1 + 1\cdot1 + 2\cdot4 ) - \frac{1}{8}\cdot( (-2) + (-1) + 1 + 2 )(4 + 1 + 1 + 4) = 0 </tex>
Как видно <tex> \mathrm{Cov}(\eta, \xi) = 0 </tex>, но <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> не являются независимыми случайными величинами.
rollbackEdits.php mass rollback
|definition=
Пусть <tex>\eta,\xi</tex> {{---}} две [[Дискретная случайная величина|случайные величины]], определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда <b>ковариацией случайных величин</b> (англ. ''covariance'') <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> называется выражение следующего вида:
: <tex>\mathrm{Cov}(\eta,\xi)=E\big((\eta-E\eta)\cdot(\xi-E\xi)\big)</tex>.
}}
В силу линейности математического ожидания, ковариация может быть записана как:
:<tex>\mathrm{Cov}(\eta, \xi) = E\big((\xi - E\xi)\cdot(\eta - E\eta)\big) = E(\xi\cdot \eta - \eta \cdot E\xi + E\xi \cdot E\eta - \xi \cdot E\eta) = </tex>:<tex>= E(\xi\cdot \eta) - E\xi \cdot E\eta - E\xi \cdot E\eta + E\xi \cdot E\eta = E(\xi\cdot \eta) - E\xi \cdot E\eta </tex>
Итого, <tex>\mathrm{Cov}(\eta, \xi) = E(\xi\cdot \eta) - E\xi \cdot E\eta </tex>
== Свойства ковариации ==
* Ковариация симметрична:
: <tex>\mathrm{Cov}(\eta,\xi) = \mathrm{Cov}(\xi,\eta)</tex>.
* Пусть <tex>\eta_1,\ldots, \eta_n</tex> случайные величины, а <tex>\xi_1 = \sum\limits_{i=1}^n a_i \cdot \eta_i,\; \xi_2 = \sum\limits_{j=1}^m b_j \cdot \eta_j</tex> их две произвольные линейные комбинации. Тогда: <tex>\mathrm{Cov}(\xi_1,\xi_2) = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_i \cdot b_j \cdot \mathrm{Cov}(\eta_i,\eta_j)</tex>.
* Ковариация случайной величины с собой равна её дисперсии:
: <tex>\mathrm{Cov}(\eta,\eta) = E(\eta^2) - (E(\eta))^2 = D(\eta)</tex>.
{{Утверждение
|statement=Если <tex>\eta,\xi</tex> [[Независимые событияслучайные величины|независимые случайные величины]], то
: <tex>\mathrm{Cov}(\eta,\xi) = 0</tex>.
|proof=
:<tex>\mathrm{Cov}(\xi, \eta) = E(\xi\cdot \eta) - E\xi \cdot E\eta </tex>, а так как <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{---}} независимые, то [[Математическое ожидание случайной величины#.D0.A1.D0.B2.D0.BE.D0.B9.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B0_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.BE.D0.B6.D0.B8.D0.B4.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F|математическое ожидание их произведения]], равно произведению их математических ожиданий::<tex>E(\xi\cdot \eta) = E\xi\cdot E\eta</tex>, а значит
:<tex> \mathrm{Cov}(\xi, \eta) = 0 </tex>
}}
|statement=
Если <tex>\mathrm{Cov}(\eta, \xi) = 0</tex>, то <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> не обязательно являются [[Независимые случайные величины#Определения | независимыми]]
}}
== Неравенство Коши — {{---}} Буняковского ==
{{Теорема
| about =
неравенство Коши — {{---}} Буняковского
| statement =
Если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию <tex>\langle \eta, \xi \rangle = \mathrm{Cov} (\eta, \xi)</tex>, то квадрат нормы случайной величины будет равен дисперсии <tex> ||\eta||^2 = D [ \eta ], </tex> и <b>неравенство Коши-Буняковского</b> запишется в виде:
|proof= Для этого предположим, что <tex> t </tex> {{---}} некоторое вещественное число, и рассмотрим очевидное неравенство
<tex> E((V+tWt \cdot W)^2) \geqslant 0 </tex>, где <tex> V = \eta - E\eta </tex> и <tex> W = \xi - E\xi </tex>.
Используя линейность математического ожидания, мы получаем такое неравенство:
<tex> E(V^2)+2tE2 \cdot t \cdot E(VWV \cdot W)+t^2E2 \cdot E(W^2) \geqslant 0 </tex>
Обратим внимание, что левая часть является квадратным трехчленом, зависимым от <tex> t </tex>.
Мы имеем:
<tex> E(V^2)=\sigma_\eta ^2</tex>, <tex> E(W^2)=\sigma_\xi ^2</tex> и <tex> E(VWV \cdot W)=\mathrm{Cov}(\eta,\xi); </tex>
Итак, наш квадратный трехчлен выглядит следующим образом:
<tex>\sigma_\xi ^2t2 \cdot t^2+2\cdot \mathrm{Cov}(\eta,\xi)\cdot t+\sigma_\eta ^2 \geqslant 0</tex>
Для того, чтобы неравенство выполнялось для всех значений <tex>t</tex>, дискриминант должен быть неположительным, то есть:
<tex> 4\cdot \mathrm{Cov}^2(\eta,\xi)-4\cdot \sigma_\eta ^2\cdot \sigma_\xi ^2 \leqslant 0</tex>
<tex>\mathrm{Cov}^2(\eta,\xi) \leqslant \sigma_\eta ^2\cdot \sigma_\xi ^2</tex>
<tex>\mathrm{Cov}^2(\eta,\xi) \leqslant \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi]</tex>
}}
== Матрица ковариаций ==
<b>Матрица ковариаций</b> (англ. ''covariance matrix'') {{---}} это матрица, элементы которой являются попарными ковариациями элементов одного или двух случайных векторов.
Ковариационная матрица случайного вектора {{---}} квадратная симметрическая неотрицательно определенная матрица, на диагонали которой располагаются дисперсии компонент вектора, а внедиагональные элементы {{---}} ковариации между компонентами.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\xi, \eta</tex> {{---}} случайные вектора размерности <tex>n</tex> и <tex>m</tex> соответственно. <tex>\xi_i, \eta_j</tex> {{---}} случайные величины. Тогда матрицей ковариаций векторов <tex>\xi, \eta</tex> называется
: <tex>\Sigma = \mathrm{Cov}(\xi, \eta) = E((\xi - E\xi) \cdot (\eta - E\eta)^{\top})</tex>
}}
Например, ковариационная матрица для случайного вектора <tex>\xi</tex> выглядит следующим образом:
<tex>
\Sigma
= \begin{bmatrix}
\mathrm{E}((\xi_1 - E\xi_1) \cdot (\xi_1 - E\xi_1)) & \mathrm{E}((\xi_1 - E\xi_1) \cdot (\xi_2 - E\xi_2)) & \cdots & \mathrm{E}((\xi_1 - E\xi_1) \cdot (\xi_n - E\xi_n)) \\ \\
\mathrm{E}((\xi_2 - E\xi_2) \cdot (\xi_1 - E\xi_1)) & \mathrm{E}((\xi_2 - E\xi_2) \cdot (\xi_2 - E\xi_2)) & \cdots & \mathrm{E}((\xi_2 - E\xi_2) \cdot(\xi_n - E\xi_n)) \\ \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
\mathrm{E}((\xi_n - E\xi_n) \cdot (\xi_1 - E\xi_1)) & \mathrm{E}((\xi_n - E\xi_n) \cdot (\xi_2 - E\xi_2)) & \cdots & \mathrm{E}((\xi_n - E\xi_n) \cdot (\xi_n - E\xi_n))
\end{bmatrix}.
</tex>
<b> Замечание </b>
*Если <tex>\xi = \eta</tex>, то <tex>\Sigma</tex> называется матрицей ковариации вектора <tex>\xi</tex> и обозначается как <tex>\mathrm{Var}(\xi)</tex> {{---}} вариация (дисперсия) случайного вектора.
<b> Свойства </b>
*Матрица ковариации случайного вектора неотрицательно определена: <tex>\mathrm{Cov}(\xi) \geqslant 0 </tex>
*Перестановка аргументов: <tex> \mathrm{Cov}(\xi, \eta) = \mathrm{Cov}(\eta, \xi)^{\top} </tex>
*Матрица ковариации аддитивна по каждому аргументу:
: <tex>\mathrm{Cov}(\xi_1 + \xi_2, \eta) = \mathrm{Cov}(\xi_1, \eta) + \mathrm{Cov}(\xi_2, \eta) </tex>
: <tex>\mathrm{Cov}(\xi, \eta_1 + \eta_2) = \mathrm{Cov}(\xi, \eta_1) + \mathrm{Cov}(\xi, \eta_2) </tex>
* Если <tex>\mathrm{Cov}(\xi, \eta) = 0</tex>, то <tex> \mathrm{Cov}(\xi + \eta) = \mathrm{Cov}(\xi) + \mathrm{Cov}(\eta) </tex>
== Расстояние Махаланобиса ==
<b>Расстояние Махаланобиса</b> (англ. ''Mahalanobis distance'') {{---}} мера расстояния между векторами случайных величин, обобщающая понятие евклидова расстояния.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\xi = (\xi_1, \xi_2, \xi_3, \ldots, \xi_n)^{\top}</tex> {{---}} многомерный вектор, <tex>\Sigma</tex> {{---}} матрица ковариации, тогда <b>расстояние Махаланобиса</b> от <tex>\xi</tex> до множества со средним значением <tex>\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3, \ldots, \mu_n)^{\top}</tex> определяется как <tex> D_M (\xi) = \sqrt{(\xi - \mu) \cdot \Sigma (\xi - \mu)^{\top}}</tex>
}}
Расстояние Махаланобиса двух случайных векторов <tex>\xi, \eta</tex> с матрицей ковариации <tex>\Sigma</tex> {{---}} это мера различия между ними.
<b>Замечание</b>
: Если матрица ковариации равняется единичной матрице, то расстояние Махалонобиса равняется расстоянию Евклида.
== См. также ==
*[http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node48.html НГУ {{---}} Ковариация двух случайных величин]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F Википедия {{---}} Ковариация]
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0 Википедия {{---}} Матрица ковариации]*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%81%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9C%D0%B0%D1%85%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B1%D0%B8%D1%81%D0%B0 Википедия {{---}} Расстояние Махалонобиса]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F#.D0.9F.D0.B0.D1.80.D0.B0.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B5_.D0.BF.D0.BE.D0.BA.D0.B0.D0.B7.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BB.D0.B8_.D0.BA.D0.BE.D1.80.D1.80.D0.B5.D0.BB.D1.8F.D1.86.D0.B8.D0.B8 Википедия {{---}} неравенство Коши — {{---}} Буняковского (доказательство)]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория вероятности ]]
