Изменения

=={{Определение|definition =='''Префикс-функцией цепочки <tex>S</tex> называется функция <tex>\pi''' ''(kангл. prefix-function) = max \'' от строки {{ j ---}} массив длин наибольших [[Период_и_бордер,_их_связь#Определения| j \leq kбордеров]] для каждой позиции этой строки}}Здесь и далее считаем, что символы в строках нумеруются с </tex> <tex>\&0</tex> <tex>s[0..j - 1] = s[k - j + 1..k] \}</tex>

Определим префикс-функцию от строки <tex>s</tex> в позиции <tex>i</tex> следующим образом: <tex>\pi(s, i) = \max\limits_{k = 1 \ldots i} \{k : </tex> <tex>s[0 \ldots k - 1] = s[i - k + 1 \ldots i] \}</tex>. Если мы не нашли такого <tex>k</tex>, то <tex>\pi(s, i)=0</tex>.  ==Алгоритм вычисленияНаивный алгоритм==Наивный алгоритм вычисляет префикс-функцию непосредственно по определению, сравнивая префиксы и суффиксы строк. Обозначим длину строки за <tex> n = |S|</tex>. Будем считать, что префикс-функция хранится в массиве <tex> p </tex>.  ===Псевдокод=== '''int'''[] prefixFunction('''string''' s): '''int'''[] p = '''int'''[s.length]* fill(p, 0) '''for''' i = 0 '''Псевдокодto'''s.length - 1 '''for''' k = 0'''to''' i - 1 '''if''' s[0..k] == s[i - k..i] p[i] = k '''return''' p  ===Пример===Рассмотрим строку <tex>\piabcabcd</tex>(, для которой значение префикс-функции равно <tex>[0,0,0,1,2,3,0) ]</tex>.{| class= "wikitable"! Шаг || Строка || Значение функции|-| <tex>1</tex> || a || 0 for |-| <tex>2</tex> || ab || 0|-| <tex>3</tex> || abc || 0|-| <tex>4</tex> || abca || 1|-| <tex>5</tex> || abcab || 2|-| <tex>6</tex> || abcabc || 3|-| <tex>7</tex> || abcabcd || 0|} ===Время работы===Всего <tex>O(n^2)</tex> итераций цикла, на каждой из который происходит сравнение строк за <tex>O(n)</tex>, что дает в итоге <tex>O(n^3)</tex>. ==Эффективный алгоритм==Вносятся несколько важных замечаний:* Заметим, что <tex>p[i = + 1] \leqslant p[i] + 1 </tex>.. (n Чтобы показать это, рассмотрим суффикс,оканчивающийся на позиции <tex>i + 1</tex> и имеющий длину <tex>p[i + 1]</tex>, удалив из него последний символ, мы получим суффикс, оканчивающийся на позиции <tex>i</tex> и имеющий длину <tex>p[i + 1] - 1)) {</tex>, следовательно неравенство <tex>p[i + 1] > p[i] + 1</tex> неверно. while (k * Избавимся от явных сравнений строк. Пусть мы вычислили <tex>p[i]</tex>, тогда, если <tex> 0 && s[i+ 1] = s[p[i]] </tex>, то <tex>p[i + 1] = p[i] + 1</tex>. Если окажется, что <tex>s[i + 1] \nes[p[i]]</tex>, то нужно попытаться попробовать подстроку меньшей длины. Хотелось бы сразу перейти к такому [[Период_и_бордер,_их_связь#Определения|бордеру]] наибольшей длины, для этого подберем такое <tex>k</tex>, что <tex>k = p[i] - 1</tex>. Делаем это следующим образом. За исходное <tex>k</tex> необходимо взять <tex>p[i - 1]</tex>, что следует из первого пункта. В случае, когда символы <tex>s[k]</tex> и <tex> s[i]</tex> не совпадают, <tex>p[k- 1]) </tex> {{---}} следующее потенциальное наибольшее значение <tex>k</tex>, что видно из рисунка. Последнее утверждение верно, пока <tex>k>0</tex>, что позволит всегда найти его следующее значение. Если <tex>k = 0</tex>, то <tex>\pip[i]=1</tex> при <tex>s[i] = s[1]</tex> , иначе <tex>p[i]=0</tex>. [[Файл:mprfx.jpg|800px]] ===Псевдокод=== '''int'''[] prefixFunction('''string''' s): p[0] = 0 '''for''' i = 1 '''to''' s.length - 1 k = p[i - 1)] if ( '''while''' k > 0 '''and''' s[i] =!= s[k]) k = p[k + - 1] <tex>\pi</tex>( '''if''' s[i) ] == s[k] k++ } p[i] = k* '''Время работыreturn'''p Сперва отметим очевидный из определения факт: ===Время работы===Время работы алгоритма составит <tex>O(n)</tex>. Для доказательства этого нужно заметить, что итоговое количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> определяет асимптотику алгоритма. Теперь стоит отметить, что <tex>k</tex> увеличивается на каждом шаге не более чем на единицу, значит максимально возможное значение <tex>k = n - 1</tex>. Поскольку внутри цикла <tex>\pi(mathrm{while}</tex> значение <tex>k</tex> лишь уменьшается, получается, что <tex>k + </tex> не может суммарно уменьшиться больше, чем <tex>n-1</tex> раз. Значит цикл <tex>\mathrm{while}</tex> в итоге выполнится не более <tex>n</tex> раз, что дает итоговую оценку времени алгоритма <tex>O(n) </tex>. == Построение префикс-функции по Z-функции===== Постановка задачи ===Дан массив с корректной [[Z- \piфункция | Z-функцией]] для строки <tex>s</tex>, получить за <tex>O(kn) </tex> массив с префикс-функцией для строки <tex>s</tex>. === Описание алгоритма ===Пусть Z-функция хранится в массиве <tex>z[0 \leq ldots n-1]</tex> . Префикс-функцию будем записывать в массив <tex>p[0 \ldots n-1]</tex>.Заметим, что если <tex>z[i] > 0, </tex> то для любого всех элементов с индексом <tex>ki + j</tex>. В самом деле, в противном случае где <tex>0 \pi(k)leqslant j < z[i] </tex>, значение <tex>p[i + j] </tex> будет не максимальноменьше, чем длина подстроки с <tex> i </tex> по <tex> i + j</tex>, что равно <tex>j + 1</tex> (как изображено на рисунке).Теперь рассмотрим произвольную итерацию внешнего цикла Также заметим, что если мы уже установили в какую-то позицию значение <tex> j </tex> с позиции <tex> i </tex>, а потом пытаемся установить значение <tex> j' </tex> c позиции <tex> i' </tex>, причём <tex> i < i' </tex> и <tex> i + j = i' + j' </tex>, то изменение с позиции <tex> i' </tex> только уменьшит значение <tex>forp[i + j]</tex>. Возможно одно из трёх:# Действительно, значение после первого присвоения <tex>sp[i+ j] = sj > j' = p[ki' + j']</tex>. Тогда В итоге получаем алгоритм: идем слева направо по массиву <tex>z</tex> и, находясь на позиции <tex>i</tex>, пытаемся записать в <tex>p</tex> от позиции <tex>i + z[i] - 1 </tex> до <tex>i</tex> значение <tex>kj + 1,</tex> где <tex>j</tex> пробегает все значения <tex> 0 \dots z[i] - 1</tex> увеличивается , пока не наткнемся на 1уже инициализированный элемент. Слева от него все значения тоже нет смысла обновлять, поэтому прерываем эту итерацию.  Убедимся, что алгоритм работает за линейное время (см. псевдокод). Каждый элемент устанавливается ровно один раз. Дальше на нем может случиться только <tex>\mathrm{break}</tex>. Поэтому в итоге внутренний цикл суммарно отработает за количество установленных значений и количество <tex>\mathrm{break}</tex>. Количество установленных значений {{---}} <tex> n</tex>while. А число <tex>\mathrm{break}</tex> тоже будет не итерируется# больше <tex>k = 0n</tex> , так как каждый <tex>\&mathrm{break}</tex> переводит внешний цикл на следующую итерацию, откуда получаем итоговую асимптотику <tex>O(n)</tex>s.  [[Файл:ZP4.jpg|800px]] === Псевдокод === '''int'''[] buildPrefixFunctionFromZFunction('''int'''[] z): '''int'''[] p = '''int'''[z.length] fill(p, 0) '''for''' i = 1 '''to''' z.length - 1 '''for''' j = z[i] - 1 '''downto''' 0 '''if''' p[i + j] > 0 '''break''' '''else''' p[i+ j] \ne = j + 1 '''return''' p ==Построение строки по префикс-функции=====Постановка задачи=== Восстановить строку по префикс-функции за <tex>O(n)</tex>, считая алфавит неограниченным. ===Описание алгоритма===Пусть в массиве <tex>p</tex> хранятся значения префикс-функции, в <tex>s</tex> будет записан ответ. Пойдем по массиву <tex>p</tex> слева направо. Пусть мы хотим узнать значение <tex>s[ki]</tex>. Тогда Для этого посмотрим на значение <tex>kp[i]</tex>: если <tex>p[i] =0</tex> не изменяется, цикл тогда в <tex>whiles[i]</tex> не итерируется# запишем новый символ, иначе <tex>whiles[i] = s[p[i] - 1]</tex> итерируется хотя бы раз. При каждой итерации Обратим внимание, что <tex>whiles[p[i] - 1]</tex> значение нам уже известно, так как <tex>kp[i] - 1 < i</tex> . === Реализация === '''string''' buildFromPrefix('''int'''[] p): s = "" '''for''' i = 0 '''to''' p.length - 1 '''if''' p[i] == 0 s += new character '''else''' s += s[p[i] - 1] '''return''' s ===Доказательство корректности алгоритма===Докажем, что если нам дали корректную префикс-функцию, то наш алгоритм построит строку с такой же префикс-функцией. Также заметим, что строк с такой префикс-функцией можетбыть много, очевиднои алгоритм строит только одну из них. Пусть <tex>p</tex> {{---}} данная префикс-функция, лишь уменьшатьсястроку <tex>s</tex> построил наш алгоритм, при этом<tex> q </tex> {{---}} массив значений префикс-функции для <tex>s</tex>. Докажем корректность индукцией по длине массива префикс-функции полученной строки. Для начала заметим, в силу отмеченного выше очевидного наблюдениячто на предыдущие значения массива <tex> q </tex> прибавление нового символа не влияет, общее число итераций так как при подсчёте префикс-функции на <tex> i </tex>-ой позиции рассматриваются символы на позициях не больше <tex>whilei </tex> . Поэтому достаточно показать, что очередное значение префикс-функции будет вычислено правильно.* База очевидна для всех итераций строки длины <tex>for1</tex> не превышает .* Переход: пусть до <tex>n</tex>-ой позиции мы построили строку, что <tex>p[0 \ldots n - 1] = q[0 \ldots n - 1]</tex>. Возможны два случая:Таким образом** <tex>p[n] = 0</tex>. Тогда мы добавляем новый символ, поэтому <tex>q[n]</tex> тоже будет равно <tex>0</tex>. ** <tex>p[n] > 0</tex>. Бордер строки <tex> s[0 \ldots n - 1] </tex> имеет длину <tex> p[n-1] = q[n-1] </tex>. Поэтому если дописать к строке <tex> s </tex> символ <tex> s[q[n] - 1] </tex>, то бордер нашей новой строки <tex> s[0 \ldots n] </tex> станет равен <tex> p[n] </tex>, общее время работы как можно увидеть на [[Префикс-функция#Эффективный алгоритм | рисунке]]. == Критерий корректности значений префикс-функции =={{Задача|definition = Дан массив значений префикс- функции некоторой строки <tex>s</tex>, необходимо проверить, корректен ли он за <tex>O(n|s|)</tex>.Так же узнать размер минимального алфавита, при котором он корректен.}} === Решение ===Если выполняется неравенство <tex>0 \leqslant p[i + 1] \leqslant p[i] + 1</tex>, то мы можем построить строку из алгоритма выше, значит префикс-функция корректна. Найдем минимальный алфавит, при котором префикс-функция корректна. Если значение префикс-функции в текущей ячейке больше нуля, буква известна и алфавит не нуждается в добавлении новой буквы. Иначе, необходимо исключить все ранее известные буквы, возвращаясь и проверяя для меньших префиксов. Если все уже известные буквы использованы, понятно что, необходимо добавить новую букву. === Доказательство корректности ===Докажем, что найденнный выше алфавит минимален от противного. Допустим, существует строка, использующая алфавит меньшей мощности. Рассмотрим первое вхождение буквы, которая есть в нашем алфавите, а в их отсутствует. Понятно, что для этого символа префикс-функция равна 0, т.к. мы добавили новую букву. Пройдемся циклом <tex>\mathrm{while}</tex> по подпрефиксам. Т.к. в меньшем решении буква не новая, то она увеличит подпрефикс и префикс-функция в новой строке будет отличаться от нуля в этом символе, а должна равняться нулю. Противоречие, следовательно не существует алфаивта меньшей мощности, чем найденный алгоритмом выше. === Псевдокод === '''bool''' is_correct('''int'''[] p): '''for''' i = 0 '''to''' p.length - 1 '''if''' i > 0 && p[i] > p[i - 1] + 1 || p[i] < 0 '''return''' '''false''' '''return''' '''true'''  '''int''' minimal_alphabet('''int'''[] p): c = 1 s[0] = 0 '''for''' i = 1 '''to''' p.length - 1 '''if''' p[i] == 0 '''fill'''(used, false) k = p[i - 1] '''while''' k > 0 used[s[k]] = '''true''' k = p[k - 1] s[i] = -1 '''for''' j = 1 '''to''' c '''if''' !used[j] s[i] = j; '''break''' '''if''' s[i] == -1 s[i] = c++ '''else''' s[i] = s[p[i] - 1] '''return''' c == См. также ==*[[Z-функция|Z-функция]]*[[Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта|Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта]]== Источники информации ==*[[wikipedia:ru:Префикс-функция | Википедия {{---}} Префикс-функция]]*[http://e-maxx.ru/algo/prefix_function MAXimal :: algo :: Префикс-функция]* Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. {{---}} 2-е изд. {{---}} М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. {{---}} С. 1296 ISBN 978-5-8459-0857-5  [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Поиск подстроки в строке]][[Категория:Точный поиск]]