Алгебра — различия между версиями
(→Изоморфные алгебры) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 8 промежуточных версий 6 участников) | |||
Строка 26: | Строка 26: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
− | |definition=Линейное пространство <tex>X</tex> над <tex>F</tex> называется '''алгеброй''', если в нём задана вторая бинарная операция <tex> | + | |definition=Линейное пространство <tex>X</tex> над <tex>F</tex> называется '''алгеброй''', если в нём задана вторая бинарная операция <tex>\cdot</tex>, и при этом <br> |
<tex>\forall x,y,z \in X </tex> и <tex>\forall \alpha \in F \colon</tex><br> | <tex>\forall x,y,z \in X </tex> и <tex>\forall \alpha \in F \colon</tex><br> | ||
1) <tex>(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)</tex><br> | 1) <tex>(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)</tex><br> | ||
Строка 37: | Строка 37: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
− | |statement=Пусть <tex>X = F_n^n = \{ A_{[n \times n]} = ||\alpha_k^i||, \ \alpha_k^i \in F \}</tex>, тогда <tex>X</tex> - алгебра над <tex>F</tex>. | + | |statement=Пусть <tex>X = F_n^n = \{ A_{[n \times n]} = ||\alpha_k^i||, \ \alpha_k^i \in F \}</tex>, тогда <tex>X</tex> - алгебра над <tex>F</tex>. (не абелева) |
}} | }} | ||
Строка 47: | Строка 47: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
− | |definition=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> - алгебры над <tex>F</tex>. Тогда назовём <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> '''изоморфными''', если <tex>\exists \Leftrightarrow</tex> - | + | |definition=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> - алгебры над <tex>F</tex>. Тогда назовём <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> '''изоморфными''', если <tex>\exists \Leftrightarrow</tex> - линейный оператор между алгебрами, такой что <br> |
− | 1) <tex> \Leftrightarrow </tex> - | + | 1) <tex> \Leftrightarrow </tex> - взаимооднозначный л.о., т.е.<br> |
− | Для <tex>x \in X, y \in Y \colon \ x \ | + | Для <tex>x \in X, y \in Y \colon \ x \leftrightarrow y</tex><br> |
2) <tex> \Leftrightarrow </tex> сохраняет линейную и мультипликативную структуру<br> | 2) <tex> \Leftrightarrow </tex> сохраняет линейную и мультипликативную структуру<br> | ||
− | 1. <tex>x_1 + x_2 \ \ | + | 1. <tex>x_1 + x_2 \ \leftrightarrow \ y_1 + y_2</tex><br> |
− | 2. <tex>\alpha x_1 \ \ | + | 2. <tex>\alpha x_1 \ \leftrightarrow \ \alpha y_1</tex><br> |
− | 3. <tex>x_1x_2 \ \ | + | 3. <tex>x_1x_2 \ \leftrightarrow \ x_1x_2</tex> |
− | |||
}} | }} | ||
Строка 60: | Строка 59: | ||
|statement=Алгебры <tex>F_n^n</tex> и <tex>X \times X</tex> - изоморфны. | |statement=Алгебры <tex>F_n^n</tex> и <tex>X \times X</tex> - изоморфны. | ||
}} | }} | ||
+ | |||
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]] | [[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]] |
Текущая версия на 19:33, 4 сентября 2022
Умножение линейных операторов
Определение: |
Пусть Тогда отображение называется называется произведением линейных операторов и , если | и , причём , и .
Лемма: |
Если , то - линейный оператор, т.е. |
Доказательство: |
УПРАЖНЕНИЕ |
Теорема: |
Пусть - базис , - базис , - базис и пусть - матрица , - матрица , - матрица , где .Тогда . |
Доказательство: |
1. |
Алгебра
Определение: |
Линейное пространство
| над называется алгеброй, если в нём задана вторая бинарная операция , и при этом
N.B.: |
Если | , то называется коммутативной (абелевой) алгеброй.
Теорема: |
Пусть , тогда - алгебра над . (не абелева) |
Теорема: |
- алгебра над , где . |
Изоморфные алгебры
Определение: |
Пусть 1) 1.3. | и - алгебры над . Тогда назовём и изоморфными, если - линейный оператор между алгебрами, такой что
Теорема: |
Алгебры и - изоморфны. |