Изменения

== Пример == В простейших случаях легко убедиться в существовании [[Определение интеграла Римана, простейшие свойства|определённого интеграла]]. Например, для <tex>f(x) = m</tex>: <tex>\sigma(f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} m\Delta x_k = m(b - a)</tex> Значит, <tex>\int\limits_a^b m dx = m(b - a)</tex> == Функция Дирихле ==  Рассмотрим функцию Дирихле: <tex>d(x) = \left\{ \begin{aligned} 1,\ & x \notin \mathbb{Q} \\ 0,\ & x \in \mathbb{Q} \\ \end{aligned}\right.</tex> Тогда можно составить две различных системы точек:* <tex>X_Q = \{a | a \in \mathbb{Q} \}</tex>* <tex>X_R = \{a | a \notin \mathbb{Q} \}</tex> В одном случае получаем, что <tex>\int\limits_0^1 d(x) dx = 0</tex>, а в другом {{---}} <tex>\int\limits_0^1 d(x) dx = 1</tex>. Но он, по определению, не должен зависеть от выбранного набора точек. Значит, функция Дирихле {{---}} не интегрируема. == Суммы Дарбу == Возникает вполне логичный вопрос: <<Какова должна быть функция <tex>f</tex>, чтобы быть интегрируемой?>>.Напишем ответ на классическом языке(Дарбу). В силу того, что ограниченность функции необходима для интегрируемости, далее это не оговаривается. Пусть задана ограниченная функция <tex>f \colon [a; b] \to \mathbb{R}</tex> и задан набор точек<tex>\tau : a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b</tex> Определим <tex>m_k(f) = m_k = \inf\limits_{x \in [x_k; x_{k+1}]} f(x)</tex><br><tex>M_k(f) = M_k = \sup\limits_{x \in [x_k; x_{k+1}]} f(x)</tex><br><tex>\underline{s} (f, \tau) = \underline{s} (\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} m_k \Delta x_k</tex> {{---}} нижняя сумма Дарбу<br><tex>\overline{s} (f, \tau) = \overline{s} (\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} M_k \Delta x_k</tex> {{---}}верхняя сумма Дарбу<br> Тогда, очевидно, <tex>\underline{s}(\tau) \leq \sigma(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex>. {{Определение|definition=Если <tex>\tau_1 \subset \tau_2</tex>, то говорят, что <tex>\tau_2</tex> мельче, чем <tex>\tau_1</tex>, или же <tex>\tau_2 \leq \tau_1</tex>}} {{Утверждение|statement=Сумма Дарбу обладает следующими свойствами:# <tex>\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex># <tex>\tau_1 \subset \tau_2 \Rightarrow \left\{\begin{aligned} \underline{s}(\tau_1) & \leq & \underline{s}(\tau_2) \\ \overline{s}(\tau_1) & \geq & \overline{s}(\tau_2) \\\end{aligned}\right.</tex># <tex>\forall \tau_1, \tau_2 \ \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>|proof=Первое свойство очевидно(из определения сумм Дарбу). Докажем второе свойство. Ясно, что достаточно рассмотреть случай, когда в <tex>\tau_1</tex> добавлена только одна точка. <tex>a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b</tex> {{---}} <tex>\tau_1</tex> <tex>a = x_0 < x'_0 < x_1 < \ldots x_n = b</tex> {{---}} <tex>\tau_2</tex> Докажем неравенство для нижних сумм. Обозначим <tex>m_0</tex>, <tex>m'_0</tex> и <tex>m''_0</tex> <tex>m_0 = \inf\limits_{x \in [x_0; x_1]} f(x)</tex>, <tex>m'_0 = \inf\limits_{x \in [x_0; x'_0]} f(x)</tex>, <tex>m''_0 = \inf\limits_{x \in [x'_0; x_1]} f(x)</tex>. Тогда, очевидно, <tex>m_0 \leq m'_0, m''_0</tex> <tex>m_0(x_1 - x_0) = m_0(x'_0 - x_0) + m_0(x_1 - x'_0) \leq m'_0(x'_0 - x_0) + m''_0(x_1 - x'_0)</tex> Далее все слагаемые будут одинаковы. Значит, неравенство выполнено. ==== Третье свойство ==== Положим <tex>\tau_3 = \tau_1 \cup \tau_2</tex>. Тогда <tex>\tau_3 \leq \tau_1, \tau_2</tex>. Значит, в силу пунктов 1 и 2, получим: <tex>\underline{s}(\tau_1) \leq \underline{s}(\tau_3) \leq \overline{s}(\tau_3) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>}} == Критерий интегрируемости == Пусть <tex>\omega(f, \tau) = \overline{s}(\tau) - \underline{s}(\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (M_k - m_k)\Delta x_k \geq 0</tex> <tex>\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0 \Leftrightarrow</tex><tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : \ \operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow \omega(f, \tau) < \varepsilon</tex> Определим <tex>\underline{I} = \sup\limits_{\{\tau\}} \underline{s}(\tau)</tex>,<tex>\overline{I} = \inf\limits_{\{\tau\}} \overline{s}(\tau)</tex> <tex>I = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma(\tau)</tex> {{Теорема|about=Критерий интегрируемости|statement=<tex>f \in \mathcal{R}(a; b) \iff \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0</tex>|proof=1. <tex>f \in \mathcal{R}(a; b)</tex> <tex>\exists I = \lim \sigma(\tau)</tex> <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta \geq 0 : \ \operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow I - \varepsilon \leq \sigma(\tau) \leq I + \varepsilon</tex> Это верно для любой системы промежуточных точек.  В интегральной сумме <tex>\Delta x_k > 0</tex>. Отсюда следует, что если варьировать промежуточные точки,и по ним перейти к <tex>\inf</tex> и <tex>\sup</tex>, то <tex>\inf = \underline{s}</tex>, <tex>\sup = \overline{s}</tex>. Так как написанное неравенство выполняется для любой системы точек, то в силу определения граней, мы можем получить, что <tex>I - \varepsilon \leq \underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau) \leq I + \varepsilon \Rightarrow</tex><tex>\omega(f, \tau) \leq 2\varepsilon</tex> <tex>\varepsilon \to 0 \Rightarrow \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0</tex> 2. <tex>\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0</tex> Воспользуемся неравенствами, написанными перед теоремой вместе с числами <tex>\overline{I}</tex> и <tex>\underline{I}</tex>.(что хотели сказать фразой <<вместе с числами \_I и \^I>>?)  <tex>0 \leq \overline{I} - \underline{I} \leq \omega(f, \tau)</tex> Но, так как <tex>\omega(f, \tau) \to 0</tex>, то <tex>\overline{I} = \underline{I} = I</tex> <tex>\underline{s}(\tau) \leq I,\ \sigma(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex> <tex>|\sigma(\tau) - I| \leq \omega(f, \tau) \to 0</tex> Тогда, по принципу сжатой переменной, <tex>I = \sigma(\tau)</tex> Значит, искомый интеграл <tex>\int\limits_a^b f(x) = I</tex> существует.}} == Функция Римана ==  Приведём важный пример применения этой теоремы. Вернёмся к функции Дирихле.  <tex>d(x) = \left\{ \begin{aligned} 1,\ & x \notin \mathbb{Q} \\ 0,\ & x \in \mathbb{Q} \\ \end{aligned}\right.</tex> Эта функция не интегрируема. Плохая она в том смысле, что она разрывна в каждой точке. Сейчас мы эту функцию немного изменим. Точек разрыва у новой функции будет всё ещё бесконечно много,но доминировать уже будут точки непрерывности на любом отрезке. Это приведёт к тому, что функция станет интегрируемой, хотя на любом её конечном отрезке множество её точек разрыва будет всюду плотным, и её графиквсё ещё будет не нарисовать. <tex>r(x) = \left\{ \begin{aligned} 1,\ & x \notin \mathbb{Q} \\ 1 - \frac1n,\ & x \in \mathbb{Q}, x = \frac{m}{n}\\ \end{aligned}\right.</tex>  {{Утверждение|statement= <tex>\int\limits_0^1 r(x) = 1</tex>|proof=Очевидно, что в любом конечном отрезке имеется лишь конечное число несократимых дробей с наперёд заданным знаменателем. Отсюда следует, что функция Римана в каждой (какое-то мутное место)иррациональной точке непрерывна, а в каждой рациональной {{---}} разрывна (/мутное место).Покажем, что существует <tex>\int\limits_0^1 r(x)</tex>. Для этого выпишем <tex>\omega</tex>. <tex>\omega(r, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}(M_k - m_k) \Delta x</tex>. Нужно показать, что это стремится к нулю. Если мы докажем, что эта функция интегрируема (что как раз равносильно стремлению последнего к нулю), то вопрос её вычисления станет тривиальным, ибо если у интеграционной суммы есть предел, то он не зависит от <tex>\tau</tex>. Это позволяет выбирать промежуточные точки таким образом, чтобы предел сумм считался легко.Будем составлять интегральные суммы, выбирая в качестве промежуточных точек иррациональные числа.Тогда соответствующая интегральная сумма окажется равной <tex>\int\limits_0^1 r(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} x_{k + 1} - x_k = 1</tex> Поэтому, вся трудность заключается в доказательстве существования интеграла. Обычно существование интеграла через <tex>\omega</tex> доказывается следующим образом: интересующая сумма разбивается на две, таким образом, чтобы в первой сумме <tex>M_k - m_k</tex> было мало,но <tex>\sum \Delta x_k \approx b - a</tex>. Во второй сумме надо, чтобы <tex>\sum \Delta x</tex> было достаточно малым(эти <tex>\Delta x</tex> {{---}} плохие). Тогда сумма обеих сумм окажется малой, и задача будет решена.  Пусть <tex>\varepsilon > 0</tex>. Тогда <tex>\exists N_\varepsilon:\ \frac1{N_\varepsilon} \leq \varepsilon</tex> <tex>[x_k; x_{k + 1}],\ M_k = 1</tex>(так как на отрезке есть иррациональные числа). Разберёмся с <tex>m_k</tex>. Его поиск связан с перебором чисел вида <tex>1 - \frac1n</tex> и поиском минимума из них, при этом, <tex>\frac{m}{n} \in [x_k; x_{k + 1}]</tex>. <tex>m_k = 1 - \frac1{P_k}</tex>, где <tex>P_k</tex> {{---}} наименьший из тех знаменателей, для которых соответствующая рациональная дробь содержится в текущем отрезке. Тогда <tex>M_k - m_k = \frac1{P_k}</tex>. В отрезке <tex>[0; 1]</tex> дробей со знаменателем меньшим <tex>N_\varepsilon</tex> конечное число. Тогда отсюда ясно, что если рассмотреть <tex>\tau</tex> достаточно малого ранга, то сумма длин тех отрезков, в которых содержатся несократимые дроби <tex>\frac{m}{N_\varepsilon}</tex> будет достаточно малым и при <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>сумма будет становиться мегьше и меньше. Что касается других промежуточных отрезков, то в силу формулы <tex>M_k - m_k = \frac1{P_k}</tex>, <tex>P_k > N_\varepsilon</tex>, <tex>M_k - m_k < \frac1{N_\varepsilon} \leq \varepsilon</tex>.  Но сумма этих отрезков не превзойдёт единицы. Оценим сверху <tex>I</tex>: <tex>\omega(r, \tau) \leq \varepsilon + N_\varepsilon^2 \operatorname{rang} \tau</tex>. Тогда при <tex>\delta = \frac\varepsilon{N_\varepsilon^2}</tex>: <tex>\omega(r,\tau) \leq \varepsilon + \varepsilon</tex> <tex>\forall\varepsilon</tex> мы нашли <tex>\delta</tex> такое, что <tex>\operatorname{rang} \tau \delta \Rightarrow \omega(r, \tau) \leq 2\varepsilon</tex> }}  Для того, чтобы с помощью этой теоремы можно было строить так называемые классы интегрируемых функций и получать дополнительные свойства интегралов, определим понятие <<колебание функции>>на отрезке и выведем для этой величины одно важное свойство. == Колебания ==  {{Определение|definition=Пусть <tex>f</tex> определена на <tex>[c; d]</tex> и ограничена на нём. Тогда колебанием ограниченной функции на отрезке <tex>[c;d]</tex> назовём <tex>\omega(f, [c; d]) = \sup\limits_{x_1, x_2 \in [c; d]} |f(x_2) - f(x_1)|</tex>}} == Интегрируемость непрерывного преобразования интегрируемой функции =={{Утверждение|statement=Пусть <tex>m = \inf\limits_{x \in [c; d]} f(x)</tex> и <tex>M = \sup\limits_{x \in [c; d]}</tex> Тогда <tex>\omega(f, [c; d]) = M - m</tex>|proof=В силу <tex>m \leq f(x')</tex>, <tex>f(x'') \leq M</tex>,  <tex>|f(x'') - f(x')| \leq M - m</tex>, значит, <tex>\omega(f, [c; d]) \leq M - m</tex> Докажем обратное неравенство, используя определение граней. <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists x', x'' \in [c; d]: \ f(x') < m + \varepsilon,\ M - \varepsilon < f(x'')</tex> Отсюда, очевидно, следует, что тогда  <tex>M - m - 2\varepsilon < f(x'') - f(x') \leq |f(x'') - f(x')| \leq \omega(f, [c; d])</tex> <tex>M - m - 2\varepsilon \leq \omega(f, [c; d])</tex> Устремим <tex>\varepsilon \to 0</tex>. Тогда <tex>M - m \leq \omega(f, [c; d])</tex>, что и требовалось}}  == Интегрирование сложной функции == {{Теорема|statement=Пусть на <tex>[a; b]</tex> задана интегрируемая функция <tex>f, f(x) \in \mathcal {R}, f(x) \in [A; B]</tex>. На отрезке <tex>[A; B]</tex> задана непрерывная функция <tex>F : [A;B] \to \mathbb{R}</tex>.  Тогда <tex>F \circ f \in \mathcal{R}(a; b)</tex>|proof=В силу условия теоремы сложная функция корректно определена, так как элементы внутренней функции лежат в области, определённой внешней. Тогда нам нужно доказать, что <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0 \Rightarrow \omega(F \circ f, \tau) \to 0</tex> <tex>\tau : a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n < b</tex> <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (F(f(\bar{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))) \Delta x_k </tex>,(где <tex>\bar{x}_k, \tilde{x}_k \in [x_k; x_{k + 1}]</tex>)<tex> \leq </tex>(из свойств модуля непрерывности)<tex> \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega(F, |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)|) \Delta x_k</tex> <tex>\leq</tex>(по теореме о выпуклой мажоранте)<tex>(b-a)\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega^*(F, |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)|) \frac{\Delta x_k}{b - a}</tex> (так как <tex>\sum\limits_{k =0}^{n - 1} \frac{\Delta x_k}{b - a} = 1</tex>, а <tex>\omega^*</tex> выпукла вверх)<tex>\leq (b - a) \omega^*(F, \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x_k}{b - a})</tex><tex>\leq</tex>(по теореме о выкуклой мажоранте) <tex>2(b - a) \omega(F, \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x_k}{b - a})</tex> По определению <tex>\omega(f, \tau)</tex>,<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x}{b - a} \leq \frac{1}{b - a} \omega(f, \tau)</tex> Отсюда, по монотонности модуля непрерывности,  <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |F(f(\bar{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))| \Delta x_k</tex><tex>\leq 2(b - a)\omega(F, \frac1{b - a}\omega(f, \tau))</tex> Промежуточных точек не имеется, поэтому, переходя к <tex>\sup</tex> по <tex>\bar{x}_k</tex> и <tex>\tilde{x}_k</tex>, приходим к неравенству <tex>\omega(F \circ f, \tau) \leq 2(b - a)\omega(f, \frac1{b - a} \omega(f, \tau))</tex> По условию, <tex>f \in \mathcal{R}(a, b) \Rightarrow \omega(f, \tau) \to 0</tex> при <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex> Тогда, по непрерывности в нуле <tex>\omega</tex>, <tex>\omega(F, \frac1{b - a}\omega(f, \tau)) \to 0</tex> Тогда <tex>\omega(F \circ f, \tau) \to 0 \Rightarrow F \circ f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>}} === Следствие ===  {{Утверждение|statement=Пусть <tex>f, g \in \mathcal{R}(a, b)</tex>. Тогда* <tex>|f| \in \mathcal{R}(a, b)</tex>* <tex>f^2 \in \mathcal{R}(a, b)</tex>* <tex>fg \in \mathcal{R}(a, b)</tex>|proof=Первый и второй пункты получаются из теоремы, если вспомнить, что <tex>|x|</tex> и <tex>x^2</tex> {{---}} непрерывны. Докажем третий пункт. <tex>fg = \frac14(f + g)^2 - \frac14(f - g)^2</tex>.  Это интегрируется по линейности интеграла и второму пункту.}} == Аддитивность интеграла ==  Установим одно из самых важных свойств интеграла {{---}} его аддитивность. {{Теорема|about=Аддитивность интеграла|statement=1. Пусть <tex>[a; b] \subset [c; d]</tex> и <tex>f \in \mathcal{R}(c;d)</tex>. Тогда <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>2. Пусть <tex>a < b < c</tex> и <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, <tex>f \in \mathcal{R}(b, c)</tex>. Тогда <tex>f \in \mathcal{R}(a, c)</tex> и <tex>\int\limits_a^c f = \int\limits_a^b f + \int\limits_b^c f</tex>. Это свойство называется аддитивностью интеграла|proof=Пусть <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение <tex>[a; b]</tex>, <tex>[a; b] \subset [c; d]</tex>. Поделим отрезки <tex>[c; a]</tex> и <tex>[b; d]</tex> таким образом, чтобы ранги их разбиений были не больше рангов разбиений <tex>[a; b]</tex> и <tex>[c; d]</tex>.Получаем разбиение <tex>\tau^*</tex>, <tex>\operatorname{rang} \tau^* \leq \operatorname{rang} \tau</tex> Тогда <tex>\omega(f, \tau) \leq w(f, \tau^*)</tex> Устремим <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>. Тогда <tex>\operatorname{rang} \tau^* \to 0</tex> <tex>(\omega(f, \tau^*) \to 0) \Rightarrow (\omega(f, \tau) \to 0)</tex> Аналогично устанавливается пункт второй, часть интегрируемости. Что касается <tex>\int\limits_a^c f</tex>, то, раз все интегралы существуют, выстроить интегральные суммы специального вида,например, деля отрезки <tex>[a; b]</tex> и <tex>[b; c]</tex> на равные части, получаем разбиение отрезка <tex>[a; c]</tex>.Тогда <tex>\sigma(f, [a; c]) = \sigma(f, [a; b]) + \sigma(f, [b; c])</tex> Устремляя ранг этого разбиения к нулю, в пределе получаем искомую формулу.}} == Существование определённого интеграла непрерывной или возрастающей функции ==  {{Утверждение|statement=Если <tex>f</tex> {{---}}  1. непрерывна на <tex>[a; b]</tex>или 2. возрастает на <tex>[a; b]</tex>, то <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>|proof=1. Если <tex>f</tex> непрерывна на <tex>[a;b]</tex>, то, по теореме Кантора о равномерной непрерывности на отрезке, она равномерно непрерывна на нём. Тогда  <tex>\forall \varepsilon \ \exists \delta: \quad |x'' - x'| < \delta \Rightarrow |f(x'') - f(x')| < \varepsilon</tex> Возьмём разбиение <tex>\tau</tex>, такое, что <tex>\operatorname{rang} \tau < \delta</tex>. Тогда для любой пары соседних промежуточных точек<tex>|f(x'') - f(x')| < \varepsilon</tex>. Тогда, по лемме о колебаниях, <tex>M_k - m_k < \varepsilon</tex>. Получаем:<tex>\omega(f, \tau) \leq \varepsilon \sum\limits_{k = 0}^{n -1} \Delta x_k = (b - a)\varepsilon</tex>, если <tex>\operatorname{rang} \tau < \delta</tex>.Устремляя <tex>\varepsilon</tex> к нулю, получаем, что функция интегрируема. 2. <tex>f</tex> возрастает. Так как <tex>m_k</tex> {{---}} минимум на отрезке, а <tex>M_k</tex> {{---}} максимум, то <tex>m_k = f(x_k)</tex>, <tex>M_k = f(x_{k + 1})</tex> <tex>\omega(f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (f(x_{k + 1}) - f(x_k)) \Delta x_k \leq </tex><tex>\operatorname{rang} \tau \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f(x_{k + 1} - f(x_k)) = </tex><tex>(f(b) - f(a)) \operatorname{rang} \tau</tex> Так как <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>, <tex>\omega(f, \tau) \to 0</tex> <tex>\Rightarrow f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>}} == Обобщение формулы аддитивности ==  {{Определение|definition=При <tex>a > b</tex>, <tex>\int\limits_a^b f = -\int\limits_b^a</tex>}} Легко проверить, что формулу аддитивности можно обобщить для немонотонной последовательности чисел <tex>a_1, a_2, \ldots a_n</tex>: <tex>\int\limits_{a_1}^{a_n} = \int\limits_{a_1}^{a_2} + \int\limits_{a_2}^{a_3} + \cdots + \int\limits_{a_{n - 1}}^{a_n}</tex>  [[Категория:Математический анализ 1 курс]]