1632
правки
Изменения
м
# 1. Пусть <tex>[a; b] \subset [c; d]</tex> и <tex>f \in \mathcal{R}(c;d)</tex>. Тогда <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex># 2. Пусть <tex>a < b < c</tex> и <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, <tex>f \in \mathcal{R}(b, c)</tex>. Тогда <tex>f \in \mathcal{R}(a, c)</tex> и
rollbackEdits.php mass rollback
== Критерий интегрируемости ==
Пусть <tex>\omega(f, \tau) = \overline{s}(\tau) - \underline{s}(\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (M_k - m_k)\Delta x_k \leq geq 0</tex>
<tex>\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) \to = 0 \RightarrowLeftrightarrow</tex>
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : \ \operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow \omega(f, \tau) < \varepsilon</tex>
Пусть <tex>f</tex> определена на <tex>[c; d]</tex> и ограничена на нём.
Тогда колебанием ограниченной функции на отрезке <tex>[c;d]</tex> назовём
<tex>\omega(f, [c; d]) = \sup\limits_{x'x_1, x'' x_2 \in [c; d]} |f(x''x_2) - f(x'x_1)|</tex>
}}
}}
== Интегрирование сложной функции ==
{{Теорема
<tex>\tau : a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n < b</tex>
<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |(F(f(\overlinebar{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))| ) \Delta x_k </tex>,(где <tex>\overlinebar{x}_k, \tilde{x}_k \in [x_k; x_{k + 1}]</tex>)
<tex> \leq </tex>(из свойств модуля непрерывности)
<tex> \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega(F, |f(\overlinebar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)|) \Delta x_k</tex>
<tex>\leq</tex>(по теореме о выпуклой мажоранте)
<tex>(b-a)\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega^*(F, |f(\overlinebar{x}_k ) - f(\tilde{x}_k))|) \frac{\Delta x_k}{b - a}</tex>
(так как <tex>\sum\limits_{k =0}^{n - 1} \frac{\Delta x_k}{b - a} = 1</tex>, а <tex>\omega^*</tex> выпукла вверх)
<tex>\leq (b - a) \omega^*(F, \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\overlinebar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x_k}{b - a})</tex> <tex>\leq </tex>(по теореме о выкуклой мажоранте) <tex>2(b - a) \omega(F, \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\overlinebar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x_k}{b - a})</tex> По только что доказанному,
По определению <tex>\omega(f, \tau)</tex>,<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\overlinebar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x}{b - a} \leq \frac{1}{b - a} \omega(f, \tau)</tex>
Отсюда, по монотонности модуля непрерывности,
<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |F(f(\overlinebar{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))| \Delta x_k</tex>
<tex>\leq 2(b - a)\omega(F, \frac1{b - a}\omega(f, \tau))</tex>
Промежуточных точек не имеется, поэтому, переходя к <tex>\sup</tex> по <tex>\overlinebar{x}_k</tex> и <tex>\tilde{x}_k</tex>,
приходим к неравенству
Аддитивность интеграла
|statement=
<tex>\int\limits_a^c f = \int\limits_a^b f + \int\limits_b^c f</tex>. Это свойство называется аддитивностью интеграла
|proof=
}}
== Существование неопределённого определённого интеграла непрерывной или возрастающей функции ==
{{Утверждение
1. непрерывна на <tex>[a; b]</tex>
или
2. возрастает на <tex>[a; b]</tex>,
