Изменения

Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - — соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a > < b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (англ. ''ascent'') данной перестановки.

Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\ldots \pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером <tex>n </tex> в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\ldots \theta_p, n, \theta_q...\ldots \theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:

# Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <texdpi=190>\langle{n- 1\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><texdpi=190> \langle{n- 1\atop m}\rangle </tex> раз).# Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><texdpi=190>\langle{n- 1\atop m- 1}\rangle</tex>.

:<texdpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle </tex> <tex> = (m + 1)</tex> <tex dpi=190>\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle </tex> <tex> + (n - m)</tex> <tex dpi=180>\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex>

:<texdpi=190>\left\langle{0\atop m}\right\rangle </tex> <tex> = [m = 0]</tex>,Запись [выражение] означает [<ref>http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотацию нотация Айверсона]</ref>.

Рассмотрим все перестановки порядка <tex>4</tex>, в которых есть ровно <tex>2 </tex> подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд)::<texdpi=190> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> = 11:

Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '<tex>4' </tex> в следующие позиции всех перестановок порядка <tex>3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:

:<texdpi=190>\left\langle{3\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> = 1:[123] => \Rightarrow (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3

Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex>3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex>4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок подъемов на <tex>1</tex>:

:<texdpi=190> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle </tex> <tex> = 4:</tex>

:<tex>[13]2 => \Rightarrow [13(4)]2, [13][2(4)];</tex>

:<tex>2[13] => \Rightarrow [2(4)][13], 2[13(4)];</tex>

:<tex>[23]1 => \Rightarrow [23(4)]1, [23][1(4)];</tex>

:<tex>3[12] => \Rightarrow [3(4)][12], 3[12(4)];</tex>

:<texdpi=190> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> = (2 + 1) </tex> <tex dpi=190>\left\langle{3\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> + (4 - 2)</tex> <tex dpi=190>\left\langle{3\atop 1}\right\rangle </tex> <tex> = 11;</tex>

===Явная формулаЯвные формулы===Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта формулы. Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>m</tex>-той строки равен 1, а второй --- <tex>2^{m} - (m + 1)</tex>. Третий выражается как:<tex>3^{m}-(m + 1)2^m + \frac{(m+1)m}{2};</tex> и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме::<tex>\left\langle{m\atop 1}\right\rangle dpi= {{m + 1} \choose {0}}1^{m}</tex>:<tex190>\left\langle{mn\atop 2}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}2^{m} + {{m + 1} \choose {1}}1^{m}</tex>:<tex>\left\langle{m\atop 3}\right\rangle = {{m + 1} \choose {0}}3^{m} - {{m + 1} \choose {1}}2^{m} + {{m + 1} \choose {2}}1^{m}</tex> Тогда нетрудно проверить, что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как::<tex>\left\langle{m\atop n}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{nm+1} (-1)^{nm-j+1} {mn+1\choose nm-j+1}j^{mn}</tex> Существует также иная широко используемая явная формула::<tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle </tex> <tex> = \sum\limits_{kj=0}^{m} (-1)^j {n+1\choose kj} (m+1-kj)^n(-1)^k</tex>

Число <tex>\fracdfrac{1}{n!}</tex> <tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;.

Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - — вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... \ldots w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:

<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \fracdfrac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex>

Где *<tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le leqslant z \}</tex> — полупространство;*<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;*<tex>[n] := \{1,2\ldots n\}</tex>;*<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> — подмножество <tex>\{1,2\ldots n\}</tex>, {{- полупространство--}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны <tex>1</tex>, а остальные {{---}} нули;*Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ := (\max{\{r, 0\}})^n</tex>.

<tex>I^n := [0,1]^n</tex>; <tex>[n] := \{1,2...n\}</tex>; <tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - множество, изоморфное подмножеству <tex>\mathbb{N}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули;  Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ := (\max{\{r, 0\}})^n</tex>. |proof=С доказательством можно ознакомиться по [ссылке <ref>http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf этой] ссылке</ref>.

Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> (все координаты которого равны единицы) появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...\ldots +x_n = m | m+1</tex>){{---}} это вектор нормали к <tex>\mathrm{G}</tex>. Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице(вектор <tex>w_i</tex> тут {{---}} единичный вектор <tex>1_{[n]}</tex>, то есть рассматривается произведение всех его координат {{---}} единиц). Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} скалярное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>.

:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \fracdfrac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex>

Положим <tex>W_n^m</tex> - — фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>. :<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le leqslant x \cdot 1_{[n]} \le leqslant m+1 \} \cap I^{n}</tex>

:<tex>= \fracdfrac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex>:<tex> = \fracdfrac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex>:<tex> = \fracdfrac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex> (элемент суммы с номером <tex>j=m+1</tex> обращается в ноль):<tex> = </tex> <tex>\dfrac{1}{n!}</tex> <tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>(вторая явная формула)

#:<texdpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle</tex><tex>,\ n \ge geqslant 1,\ 0 \le leqslant k \le leqslant n-1. \, </tex>

#:<tex>\sum\limits_{km=0}^{n} </tex><tex dpi=190> \left\langle{n\atop m}\right\rangle </tex> <tex> = n!,\ n \ge geqslant 0, \,</tex>

#:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m </tex><tex dpi=190>{\left\langle{n\atop m}\right\rangle}</tex> <tex>{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex># Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\fracdfrac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.

'''''Числа Эйлера II рода''''' (англ. ''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..\ldots n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "140190"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex>

Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует <tex>15 </tex> перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, <tex>8 </tex> штук имеют всего <tex>1 </tex> подъем, и <tex>6 </tex> перестановок имеют <tex>2 </tex> подъема:

|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..\ldots n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем

|neat proof = Докажем лемму методом математической индукции. *'''База'''. Для <tex>n=1</tex> очевидно, что существует только одна такая перестановка.*'''Переход'''. Рассмотрим какую-нибудь перестановку длины <tex>2n</tex>. Таких перестановок <tex>(2n-1)!!</tex>. Теперь докажем, что перестановок длины <tex>2(n+1)</tex> будет <tex>(2(n+1)-1)!!</tex>. Попробуем вставить два числа <tex>n + 1</tex>. Очевидно, что их нельзя вставить не на соседние места, так как в таком случае между ними точно будут меньшие элементы. Но их можно вставить в любые два соседних места, так как они больше всех чисел в перестановке, а значит они не нарушат свойства для других элементов. Таким образом два новых элемента можно вставить в <tex>2n+1</tex> место. В итоге перестановок длины <tex>2(n+1)</tex> будет <tex>(2n-1)!!\cdot (2n+1)=(2n+1)!!=(2(n+1)-1)!!</tex>.

:<texdpi=190> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex> <tex> = (2n-m-1) </tex> <tex dpi=180>\left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex> <tex> + (m+1) </tex> <tex dpi=190>\left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex>

:<texdpi=190> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex> <tex> = [m=0]. </tex>

Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le leqslant n \le leqslant m \le leqslant 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.

==СсылкиСм. также ==* [[Комбинаторные_объекты#.D0.9F.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.BE.D0.B2.D0.BA.D0.B8|Перестановки]]* [[Числа_Стирлинга_первого_рода|Числа Стирлинга первого рода]]* [[Числа_Стирлинга_второго_рода|Числа Стирлинга второго рода]]* [[Числа_Каталана|Числа Каталана]] ==Примечания==<references/> ==Источники информации==