Изменения

'''Порождённый подграфБонд''' (англ. ''induced subgraphbond'') — подграфграфа {{---}} это минимальный (по включению) непустой [[Разрез, порождённый множеством рёбер исходного _лемма_о_потоке_через_разрез | разрез графа. Содержит не обязательно все вершины графа, но эти вершины соединены такими же ребрами, как в графе]] <tex>G</tex>.

Если граф '''Минимальный (по включению)''' (англ. ''minimal by inclusion'') разрез графа <tex>G</tex> {{---}} разрез, из которого нельзя выделить разрезы с меньшим количеством ребер. }} {{Лемма|statement=Разрез <tex>E(V_1, V_2)</tex> связного графа <tex> G </tex> является '''бондом''', если и порожденные подграфы только если оба графа <tex> G[X] (V_1)</tex> и <tex> G[Y] (V_2)</tex> связны, то множество .|proof=Для удобства примем <tex> JE = E(XV_1, YV_2) </tex> называется '''бондом''' графа .  <tex>\Rightarrow</tex>. Пусть <tex>E</tex> {{---}} бонд. Докажем, что для любого ребра <tex>e \in E</tex> граф <tex> G - E + e</tex>связен. Подграфы Действительно, пусть этот граф несвязен и имеет, скажем, компоненты связности <tex> G[X] U_1</tex> и <tex>U_2</tex>. Тогда <tex>E \supsetneq E(U_1, U_2)</tex>, а из связности графа <tex> G[Y] </tex> называются '''торцевыми графами''' этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд <tex> JE(XU_1, U_2) \neq \varnothing</tex>. Противоречие с минимальностью <tex>E</tex>.  Теперь докажем, Yчто подграфы <tex>G(V_1) \text{ и } G(V_2) </tex> должен быть непустым множествомсвязны. Если граф Рассмотрим отдельно подграф <tex> G (V_1)</tex> несвязен, если он не связный, то его '''бонд''' определим имеет как бонд какой-либо его минимум <tex>2</tex> компонентысвязности, назовем их <tex>O_1 \text{ и } O_2</tex>. Заметим <tex>e \in E </tex> можно также представить как <tex>e = (u, v) \text{ при этом } u \in G(V_1), v \in G(V_2)</tex>, то есть <tex>u \in O_1 \mid u \in O_2</tex>, и граф <tex> G - E + e </tex> состоит из <tex>2</tex> компонент {{---}} <tex>(O_1 \cup G(V_2), O_2) \mid (O_2 \cup G(V_2), O_1)</tex>, что всякий перешеек противоречит условию связности. Так же доказывается связность <tex>G(V_2)</tex>. <tex>\Leftarrow</tex>. Если оба графа <tex>G(V_1)</tex> и <tex>G(V_2)</tex> — связны, то добавление любого ребра из <tex>E</tex> даст нам связный подграф графа образует однореберный бонд<tex>G</tex>, содержащий все его вершины. Значит, в этом случае разрез <tex>E</tex> минимален по включению. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бондаВ силу связности <tex>G</tex> этот разрез непуст, то есть, является бондом.

|aboutauthor=Гринберг

Так как торцевые графы являются деревьями, токоличество их вершин на единицу больше количества ребер:

Ясно такжеПосчитаем <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} </tex>, чтото есть количество всех исходящих ребер из <tex>X</tex>. По [[Лемма_о_рукопожатиях | лемме о рукопожатиях]] ребер, с обоих сторон прикрепленных к <tex>X</tex>, будет <tex>2|E(X)|</tex>. Количество ребер, прикрепленных и к <tex>X</tex>, и к <tex>Y</tex>, по определению бонда {{---}} количество ребер в бонде <tex>H</tex>, то есть <tex>|E(H)|</tex>. Отсюда:

ПоэтомуВычитаем дважды из формулы <tex>\textbf{(3)}</tex> формулу <tex>\textbf{(2)}</tex> и получаем:<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 ~~~ \textbf{(4)} </tex>. </center>Аналогичную формулу получаем Полученная формула в правой части не зависит от подграфа, поэтому вычитая вариант для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из '''<tex>\textbf{(4)'''}</tex>, приходим к '''<tex>\textbf{(1)'''}</tex>.

 * Сам Гринберг использовал свою теорему для того, чтобы искать негамильтоновы кубические (все вершины имеют степень <tex>3</tex>) полиэдральные графы<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%8D%D0%B4%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84 Википедия {{---}} Полиэдральный граф]</ref> с высокой циклической реберной связностью. Циклическая рёберная связность графа {{---}} это наименьшее число рёбер, которое можно удалить так, чтобы оставшийся граф содержал более чем одну циклическую компоненту. Например он нашел граф с <tex>46</tex> вершинами, <tex>25</tex> гранями и циклической рёберной связностью пять, показанный на рисунке <tex>1</tex>. {|align="center" |[[Файл: Гамильтонов граф.png|300px|center|thumb|Рис. 1]] |[[Файл: Новый гамильтонов_бонд.png|500x300px|thumb|Рис. 2]] |} * Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют степени, сравнимые с <tex>2 </tex> по модулю <tex>3</tex>. Тогда левая часть формулы '''<tex>\textbf{(1)''' }</tex> не делится на <tex>3 </tex> и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок '''1''' <tex>2</tex> иллюстрирует этот простой пример.* Чтобы планарный граф существовал и содержал гамильтонов цикл, необходимо выполнение теоремы Гринберга.<ref>Grinberg, È. Ja. (1968), "Plane homogeneous graphs of degree three without Hamiltonian circuits", Latvian Math. Yearbook 4 (in Russian), Riga: Izdat. “Zinatne”, pp. 51–58, MR 0238732. English translation by Dainis Zeps, [https://arxiv.org/abs/0908.2563v1 arXiv:0908.2563.]</ref>* Теорема Гринберга используется также для поиска планарных гипогамильтоновых графов<ref>[Файлhttps: Новый гамильтонов_бонд//ru.png|300px|thumb|center|Рисwikipedia. 1]org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84 Википедия {{---}} Гипогамильтонов граф]</ref> путём построения графа, в котором все грани имеют число рёбер, сравнимых с <tex>2</tex> по модулю <tex>3</tex>.