Матрица инцидентности графа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 6 промежуточных версий 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
== Инцидентность ребра и вершины ==
+
== Определения для ориентированного и неориентированного графов ==
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
−
'''Инцидентность''' {{---}} отношение между ребром и его концевыми вершинами, т. е. если в графе <tex>G = (V,E), u \in V, v \in V</tex> {{---}} вершины, а <tex>e \in E, e = (u,v)</tex> {{---}} соединяющее их ребро, то вершина <tex>u</tex> и ребро <tex>e</tex> инцидентны, вершина <tex>v</tex> и ребро <tex>e</tex> также инцидентны.
+
'''Матрицей инцидентности''' (инциденций) ''(англ. Incidence matrix)'' неориентированного графа называется матрица <tex>I (|V| \times |E|)</tex>, для которой <tex>I_{i,j} = 1</tex>, если вершина <tex>v_i</tex> инцидентна ребру <tex>e_j</tex>, в противном случае <tex>I_{i,j} = 0</tex>.
 
}}
 
}}
−
 
−
== Определения для ориентированного и неориентированного графов ==
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
−
'''Матрицей инцидентности''' (инциденций) неориентированного графа называется матрица <tex>I (|V| \times |E|)</tex>, для которой <tex>I_{i,j} = 1</tex>, если вершина <tex>v_i</tex> инцидентна ребру <tex>e_j</tex>, в противном случае <tex>I_{i,j} = 0</tex>.
+
'''Матрицей инцидентности''' (инциденций) ''(англ. Incidence matrix)'' ориентированного графа называется матрица <tex>I (|V| \times |E|)</tex>, для которой <tex>I_{i,j} = 1</tex>, если вершина <tex>v_i</tex> является началом дуги <tex>e_j</tex>, <tex>I_{i,j} = -1</tex>, если <tex>v_i</tex> является концом дуги <tex>e_j</tex>, в остальных случаях <tex>I_{i,j} = 0</tex>.
 
}}
 
}}
  
−
{{Определение
+
== Свойства ==
−
|definition=
+
{{Утверждение
−
'''Матрицей инцидентности''' (инциденций) ориентированного графа называется матрица <tex>I (|V| \times |E|)</tex>, для которой <tex>I_{i,j} = 1</tex>, если вершина <tex>v_i</tex> является началом дуги <tex>e_j</tex>, <tex>I_{i,j} = -1</tex>, если <tex>v_i</tex> является концом дуги <tex>e_j</tex>, в остальных случаях <tex>I_{i,j} = 0</tex>.
+
|statement=Для неориентированных графов без петель и кратных рёбер матрица инцидентности бинарна (состоит из нулей и единиц).
 +
}}
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=Для ориентированных графов без петель и кратных рёбер матрица инцидентности состоит из нулей, единиц и <tex>-1</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|about=о сумме элементов строки матрицы инцидентности для неориентированного графа
 +
|statement=Сумма элементов <tex>i</tex>-й строки равна <tex>deg \; v_i</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|about=о сумме элементов строки матрицы инцидентности для ориентированного графа
 +
|statement=Сумма элементов <tex>i</tex>-й строки равна <tex>deg^+ v_i - deg^- v_i</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 25: Строка 37:
 
!style="background:#f2f2f2"|Матрица инцидентности
 
!style="background:#f2f2f2"|Матрица инцидентности
 
|-
 
|-
−
|style="background:#f9f9f9"|[[Файл:Граф.JPG|140px]]
+
|style="background:#f9f9f9"|[[Файл:incidence_matrix_undirected_graph.png|200px]]
 
|style="background:#f9f9f9"|<tex>\begin{pmatrix}
 
|style="background:#f9f9f9"|<tex>\begin{pmatrix}
 
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\
 
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\
Строка 33: Строка 45:
 
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\
 
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\
 
\end{pmatrix}</tex>
 
\end{pmatrix}</tex>
−
|style="background:#f9f9f9"|[[Файл:орграф.jpg|140px]]
+
|style="background:#f9f9f9"|[[Файл:incidence_matrix_directed_graph.png|200px]]
 
|style="background:#f9f9f9"|<tex>\begin{pmatrix}
 
|style="background:#f9f9f9"|<tex>\begin{pmatrix}
 
-1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0\\
 
-1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0\\
Строка 42: Строка 54:
 
\end{pmatrix}</tex>
 
\end{pmatrix}</tex>
 
|}
 
|}
 +
 +
== См. также ==
 +
* [[Матрица смежности графа]]
  
 
==Источники==
 
==Источники==
−
 
+
* Харари Фрэнк :'''Теория графов'''. Под ред. Л. Б. Штейнпресс. Изд. 2-е. — М.: Мир, 1973. — 180 с. — ISBN 5-354-00301-6
−
Асанов М., Баранский В., Расин В. {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы {{---}} Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 288 стр.
+
* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В.: '''Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы''' — НИЦ РХД, 2001. — 288 с. — ISBN 5-93972-076-5
 +
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Incidence_matrix Википедия {{---}} Incidence matrix]
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Основные определения теории графов]]
 
[[Категория: Основные определения теории графов]]

Текущая версия на 19:36, 4 сентября 2022

Определения для ориентированного и неориентированного графов

Определение:
Матрицей инцидентности (инциденций) (англ. Incidence matrix) неориентированного графа называется матрица [math]I (|V| \times |E|)[/math], для которой [math]I_{i,j} = 1[/math], если вершина [math]v_i[/math] инцидентна ребру [math]e_j[/math], в противном случае [math]I_{i,j} = 0[/math].


Определение:
Матрицей инцидентности (инциденций) (англ. Incidence matrix) ориентированного графа называется матрица [math]I (|V| \times |E|)[/math], для которой [math]I_{i,j} = 1[/math], если вершина [math]v_i[/math] является началом дуги [math]e_j[/math], [math]I_{i,j} = -1[/math], если [math]v_i[/math] является концом дуги [math]e_j[/math], в остальных случаях [math]I_{i,j} = 0[/math].


Свойства

Утверждение:
Для неориентированных графов без петель и кратных рёбер матрица инцидентности бинарна (состоит из нулей и единиц).
Утверждение:
Для ориентированных графов без петель и кратных рёбер матрица инцидентности состоит из нулей, единиц и [math]-1[/math].
Утверждение (о сумме элементов строки матрицы инцидентности для неориентированного графа):
Сумма элементов [math]i[/math]-й строки равна [math]deg \; v_i[/math].
Утверждение (о сумме элементов строки матрицы инцидентности для ориентированного графа):
Сумма элементов [math]i[/math]-й строки равна [math]deg^+ v_i - deg^- v_i[/math].

Пример

Граф Матрица инцидентности Ориентированный граф Матрица инцидентности
Incidence matrix undirected graph.png [math]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}[/math] Incidence matrix directed graph.png [math]\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}[/math]

См. также

Источники

  • Харари Фрэнк :Теория графов. Под ред. Л. Б. Штейнпресс. Изд. 2-е. — М.: Мир, 1973. — 180 с. — ISBN 5-354-00301-6
  • Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В.: Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы — НИЦ РХД, 2001. — 288 с. — ISBN 5-93972-076-5
  • Википедия — Incidence matrix
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Матрица_инцидентности_графа&oldid=85620»