Изменения

Тройка Кортеж <tex>\langle G,\cdot: G \times G \to G, \varepsilon \in G \rangle</tex> называется [[моноид|моноидом]], если она он удовлетворяет следующим аксиомам:* Операция Бинарная операция <tex> \cdot \colon G \times G \rightarrow G </tex> — определена везде и [[Ассоциативная операция | ''ассоциативна'']].* Существует нейтральный элемент <tex> \varepsilon </tex> называется нейтральным элементом относительно <tex>\in G cdot</tex> относительно бинарной операции такой, чтото есть для него выполняется:: <tex> \forall x\in G : \varepsilon\cdot x=x \cdot \varepsilon = x</tex>. Иногда его обозначают <tex> \varepsilon_G </tex>, или <tex>e_G </tex>.

Другими словами, моноид {{---}} это [[Полугруппа|полугруппа]], в которую добавлен нейтральный элемент. Например,  == Примеры == * множество натуральных чисел <tex> \mathbb{N} </tex> с операцией сложения не является моноидом<tex>\langle \mathbb{N}, +, 0 \rangle</tex>* множество положительных целых <tex> \mathbb{Z}_+ </tex> с операцией умножения является моноидом <tex>\langle\mathbb{Z}_+, \cdot, а 1 \rangle</tex>* множество натуральных числел с операцией умножения является моноидом <tex>\langle \mathbb{N}, \cdot, 1 \rangle</tex> с нейтральным элементом <tex>1</tex> (наличие нуля не мешает этой структуре быть моноидом: <tex>1 \cdot 0 = 0</tex>, как того и требует аксиома нейтрального элемента), но тройка <tex>\langle \mathbb{N}, \cdot, 0 \rangle</tex> моноидом уже не является. == Свойства ==

'''Свободным моноидом''' (англ. ''free monoid'') <tex> M </tex> '''над множеством ''' <tex> S </tex> <tex>(</tex>обозначается как <tex> M_S )</tex> называется моноид над множеством <tex> S^* </tex> {{---}} набором всевозможных последовательностей (или цепочексписков) конечной длины (или даже в том числе и нулевой) , образованных из элементов множества <tex> S </tex>{{---}} с ассоциативной операцией [[Основные определения: алфавит, слово, язык, конкатенация, свободный моноид слов; операции над языками#defconcat|конкатенации]] <tex>\texttt{++}</tex> этих последовательностей.

'''Гомоморфизмом моноидов''' (англ. ''monoid homomorphism'') Моноид <tex>M</tex> и <tex>N</tex> называется отображение <tex>\varphi \colon M \rightarrow N</tex> совместимое с операциями из <tex> M </tex> и <tex> N </tex> такое, что <tex> \forall m, m' \in M \colon \varphi(m\cdot m') = \varphi(m) \cdot \varphi(n)</tex>'свободным''', а также <tex>\varphi(\varepsilon_M) = \varepsilon_N</tex>если он [[Изоморфизм групп | изоморфен]] некоторому свободному моноиду над каким-то множеством.

'''Свободным моноидомМоноидом с порождающими соотношениями''' (англ. ''equational presentation of monoid'' над множеством <tex> S </tex> ) называется моноид <tex> M </tex> вместе с отображением <tex> i\colon S \rightarrow M </tex> при условии, что для любого моноида <tex> N </tex> и для любых отображений <tex> f \colon S \rightarrow N </tex> существует единственный гомоморфизм моноидов <tex> \overline{f} \colon Mна котором введены дополнительные правила (Sто есть бинарные отношения на строках) \rightarrow N </tex> такой, что <tex> \overline{f} \circ i = f </tex>отождествляющие некоторые элементы моноида.

Примером такого моноида является множество <tex> G </tex> всевозможных строк над алфавитом <tex> \Sigma = \{a, b\} </tex>, <tex dpi = 130> G = \Sigma^{*}_{/ab = ba} </tex>, что обозначает равенство строк <tex> ab </tex> и <tex> ba </tex> в моноиде. И хотя такой моноид образован всевозможными последовательностями, он не является свободным. Покажем это. {{Теорема |statement= Моноид <tex dpi = 130> G = \Sigma^{*}_{/ab = ba} </tex> не является свободным|proof=Для начала покажем, что каждый элемент такого моноида можно представить в виде <tex> a^i b^j, i \geqslant 0, j \geqslant 0 </tex>. Докажем это конструктивно. Возьмём произвольную строку и будем в ней заменять все подстроки вида <tex> ba </tex> на подстроки <tex> ab </tex>. Если таких подстрок нет, то наша строка имеет вид <tex> a^i b^j </tex>, а если есть, то строка за конечное число шагов приведётся к указанному виду. '''Замечание''': конкатенация двух последовательностей <tex> a^i b^j </tex> и <tex> a^k b^t </tex> аналогична операции конкатенации строк, только после её применения строку надо привести к виду <tex> a^{i + k} b^{j + t} </tex>, поэтому результат операции равен не конкретной строке, а целому [[Отношение эквивалентности#Классы эквивалентности | классу эквивалентности]]. Предположим, что данный моноид свободный. Это наглядно показано следующей картинкойзначит, что он изоморфен какому-то свободному моноиду над множеством <tex> M_S </tex>, то есть существует биективное отображение <tex> f \colon G \to M_S </tex>. Оно сохраняет ассоциативность операций, поэтому  <tex> f(ab) = f(a) ~\texttt{++}~ f(b) </tex> <tex> f(ba) = f(b) ~\texttt{++}~ f(a) </tex> Следовательно, так как <tex> ab = ba </tex> и отображение <tex> f </tex> является изоморфизмом, то <tex> f(ab) = f(a) ~\texttt{++}~ f(b) = f(b) ~\texttt{++}~ f(a) = f(ba) </tex>. Пусть <tex> |f(a)| = m, |f(b)| = n </tex>. Равенство этих последовательностей означает, что у последовательности <tex> f(a) ~\texttt{++}~ f(b) </tex> есть два [[Период и бордер, их связь | бордера]] длин <tex> m </tex> и <tex> n </tex> соответственно, значит, она периодическая и имеет период равный <tex>\gcd(n, m)</tex>. [[File:FreeMonoidConcatExample.png|300px]] Из этого следует, что последовательности <tex> f(a) </tex> и <tex> f(b) </tex> можно представить в виде конечного объединения некоторой подпоследовательности <tex> s </tex>, являющейся периодом и имеющей длину <tex>\gcd(n, m)</tex>. <tex> f(a) = \overbrace{s ~\texttt{++}~ s ~\texttt{++}~ ... ~\texttt{++}~ s}^{p} </tex> <tex> f(b) = \overbrace{s ~\texttt{++}~ s ~\texttt{++}~ ...~\texttt{++}~ s}^{q} , s \in M_S </tex> Пусть <tex>\mathrm{lcm}(p, q) = l</tex>, тогда

<tex dpi> \overbrace{f(a) ~\texttt{++}~ f(a) ~\texttt{++}~ ... ~\texttt{++}~ f(a)}^{l / p} = \overbrace{s ~\texttt{++}~ s ~\texttt{++}~ ... ~\texttt{++}~ s}^{l} </tex> <tex dpi> \overbrace{f(b) ~\texttt{++}~ f(b) ~\texttt{++}~ ... ~\texttt{++}~ f(b)}^{l / q} = \overbrace{s ~\texttt{++}~ s ~\texttt{++}~ ... ~\texttt{++}~ s}^{l} </tex>  Откуда следует, что <tex dpi = 140> a^{l / p} = b^{l / q} </tex>, то есть отображение <tex> f </tex> не является изоморфизмом. Значит, мы пришли к противоречию, предположив, что данный моноид <tex dpi = 130> G = \Sigma^{*}_{/ab = ba} </tex> является свободным. Равенство <tex> f(ab) = f(ba) </tex> может сохранять изоморфизм, если <tex> f(a) = [[Файл:FreeMonoidDefinition] </tex>, но тогда <tex> f(a) = f(aa) </tex>, что опять же приводит нас к противоречию.png]]}}

Если <tex> S </tex> является подмножеством <tex> M </tex>, то отображение <tex> i </tex> называют '''естественным вложением''' (англ. ''natural injection''), и пишут <tex> i \colon S \hookrightarrow M </tex>== См.также ==* [[Группа]]* [[Изоморфизм групп]]

== Ссылки Источники информации ==* [[wikipedia:Monoid | Wikipedia {{---}} Monoid ]]* [[wikipedia:ru:Моноид | Википедия {{---}} Моноид ]]* [[wikipedia:Free_monoid | Wikipedia {{---}} Free monoid ]]* [http://ncatlab.org/nlab/show/free+monoid nLab {{---}} Free Monoid]

[[Категория:АлгебраТеория групп]]