Изменения

'''Обход в глубину''' (поиск в глубину, англ. ''Depth-First Search'', ''DFS'') - — один из основных методов обхода [[Основные определения теории графов|графа]], часто используемый для [[Использование обхода в глубину для проверки связности|проверки связности]], поиска [[Использование обхода в глубину для поиска цикла в ориентированном графе|цикла]] и [[Использование обхода в глубину для поиска компонент сильной связности|компонент сильной связности]] и для [[Использование обхода в глубину для топологической сортировки|топологической сортировки]].

Общая идея алгоритма состоит в следующем: для каждой ''не пройденной'' [[Основные определения теории графов|вершины ]] необходимо найти все ''не пройденные'' [[Основные определения теории графов|смежные вершины ]] и повторить поиск для них.

#Выбираем любую вершину из еще ''не пройденных'', обозначим ее как <tex>u</tex>.#Запускаем процедуру DFS<tex>\mathrm{dfs(u)}</tex>#*Помечаем вершину <tex>u </tex> как ''пройденную''#*Для каждой ''не пройденной'' смежной с <tex>u </tex> вершиной (назовем ее <tex>v</tex>) запускаем DFS<tex>\mathrm{dfs(v)}</tex>#Повторяем шаги 1 и 2, пока все вершины не окажутся ''пройденными''.

vectorВ массиве <booltex> \mathrm{visited; []}<//вектор для хранения информации tex> хранится информация о ''пройденных'' и ''не пройденных'' вершинах.  '''function''' doDfs(G[n]: '''Graph'''):<font color=darkgreen> // функция принимает граф G с количеством вершин n и выполняет обход в глубину во всем графе </font> visited = array[n, ''false''] <font color=darkgreen> // создаём массив посещённых вершины длины n, заполненный ''false'' изначально</font> '''function''' dfs(u: '''int'''): visited[u] = ''true'' '''for''' v: (u, v) '''in''' G '''if''' '''not''' visited[v] dfs(v)

void dfs(int u) { visited[u] = true; //помечаем вершину как пройденную '''for (v таких, что (u, v) - ребро в G) //проходим по смежным с u вершинам if (!visited[v]) //проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине dfs(v); } int main() { ... //задание графа G с количеством вершин n. visited.assign(n, false); //в начале все вершины в графе ''не пройденные'' for (int i = 0; i < 1 '''to''' n; ++i) //проходим по всем вершинам графа... '''if (!''' '''not''' visited[i]) //...не забыв проверить, были мы уже в очередной вершине или нет dfs(i); return 0; }

Оценим время работы обхода в глубину. Процедура <tex>\mathrm{dfs}</tex> вызывается от каждой вершины не более одного раза, а внутри процедуры рассматриваются все такие [[Основные определения теории графов|ребра ]] <tex>\{e: \ |\ \mathrm{begin(e) } = u\}</tex>. Всего таких ребер для всех вершин в графе <tex>O(E)</tex>, следовательно, время работы алгоритма оценивается как <tex>O(V+E)</tex>.

Зачастую, простой информации "были/не были в вершине" не хватает для конкретных целей.<br />  Поэтому в процессе алгоритма вершинам задают некоторые цвета:<br />:*если вершина ''белая'', значит, мы в ней еще не были, вершина ''не пройдена'';<br />:*''серая'' - — вершина ''проходится'' в текущей процедуре DFS;<br tex>\mathrm{dfs}</tex>;:*''черная'' - — вершина ''пройдена'', все итерации DFS <tex>\mathrm{dfs}</tex> от нее завершены.<br />

Отличие реализации с цветами от предыдущей лишь в массиве <tex>\mathrm{visited[]}</tex>, который мы назовем теперь <tex>\mathrm{color[]}</tex>. В нем будет хранится информация о цветах вершин.  '''function''' doDfs(G[n]: '''Graph'''):<font color=darkgreen> // функция принимает граф G с количеством вершин n и выполняет обход в глубину во всем графе </font> color = array[n, ''white''] '''function''' dfs(u: '''int'''): color[u] = ''gray'' '''for''' v: (u, и дополнительной v) '''in''' G '''if''' color[v] == ''white'' dfs(v) color[u] = ''black'' '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' color[i] == ''чернойwhite'' dfs(i) === Пример ===Рассмотрим, как будут изменяться цвета вершин при обходе в глубину данного графа. {| style="background-color:#CCC;margin:0.5px;width:600px"!style="background-color:#EEE"| Описание шага!style="background-color:#EEE"| Состояние графа|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| В функции <tex>\mathrm{doDfs}</tex> присваиваем всем вершинам в массиве <tex>\mathrm{color[]}</tex> белый цвет. Затем проверяем, что первая вершина окрашена в белый цвет. Заходим в нее и раскрашиваем ее в серый цвет.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs1.png‎|150px|]]|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Пробуем пойти в вершину с номером 2. Проверяем, что она белая, и переходим в нее. Окрашиваем ее в серый цвет.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs2.png‎|150px|]]|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Пробуем пойти в вершину с номером 3. Проверяем, что она белая, и переходим в нее. Окрашиваем ее в серый цвет.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs3.png‎|150px|]]|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Проверяем, что из вершины с номером 3 не исходит ни одного ребра. Помечаем ее в черный цвет и возвращаемся в вершину с номером 2.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs4.png‎|150px|]]|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Пробуем пойти в вершину с номером 4. Проверяем, что она белая, и переходим в нее. Окрашиваем ее в серый цвет.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs5_6_7.png‎|150px|]]|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Пробуем пойти в вершину с номером 3. Видим, что она черного цвета, и остаемся на месте.|style="меткиbackground-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs5_6_7. При этом png‎|150px|]]|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Пробуем пойти в вершину с номером 1. Видим, что она серого цвета , и остаемся на месте.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs5_6_7.png‎|150px|]]|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Из вершины с номером 4 больше нет исходящих ребер. Помечаем ее в черный цвет и возвращаемся в вершину с номером 2.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs8.png‎|150px|]]|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Из вершины с номером 2 больше нет исходящих ребер. Помечаем ее в черный цвет и возвращаемся в вершину с номером 1.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs9.png‎|150px|]]|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Из вершины с номером 1 больше нет исходящих ребер. Помечаем ее в черный цвет и выходим в программу <tex>\mathrm{doDfs}</tex>. В ней проверяем, что все вершины окрашены в черный цвет. Выходим из функции <tex>\mathrm{doDfs}</tex>. Алгоритм завершен.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| [[Файл:dfs10.png‎|150px|]]|} == Дерево обхода в глубину ==[[Image: Colors.png|thumb|240px|Типы ребер, определяемые деревом обхода:<br>1) ребра дерева<br>2) <font color=#3771c8>обратные</font> ребра<br>3) <font color=#71c837>прямые</font> ребра<br>4) <font color=#ff2a2a>перекрестные</font> ребра]] Рассмотрим подграф предшествования обхода в глубину <tex>G_p = (V, E_p)</tex>, где <tex>E_p = \{(p[u], u) : u \in V,\ p[u] \neq NIL\}</tex>, где в свою очередь <tex>p[u]</tex> — вершина, от которой был вызван <tex>\mathrm{dfs(u)}\ </tex> (для вершин, от которых <tex>\mathrm{dfs}</tex> был вызван нерекурсивно это значение соответственно равно <tex>NIL</tex>). Подграф предшествования поиска в глубину образует ''лес обхода в глубину'', который состоит из нескольких ''деревьев обхода в глубину''. С помощью полученного леса можно классифицировать ребра графа <tex>G</tex>:* ''Ребрами дерева'' назовем те ребра из <tex>G</tex>, которые вошли в <tex>G_p</tex>. * Ребра <tex>(u, v)</tex>, соединяющие вершину <tex>u</tex> с её предком <tex>v</tex> в дереве обхода в глубину назовем ''обратными ребрами'' (для неориентированного графа предок должен быть ''не родителем'', так как иначе ребро будет являться ребром дерева). * Ребра <tex>(u, v)</tex>, не являющиеся ребрами дерева и соединяющие вершину <tex>u</tex> с её потомком <tex>v</tex> в дереве обхода в глубину назовем ''прямыми ребрами'' (в неориентированном графе нет разницы между прямыми и обратными ребрами, поэтому все такие ребра считаются обратными). * Все остальные ребра назовем ''перекрестными ребрами'' — такие ребра могут соединять вершины одного и того же дерева обхода в глубину, когда ни одна из вершин будут заданы следующим образомне является предком другой, или соединять вершины в разных деревьях.Алгоритм <tex>\mathrm{dfs}</tex> можно модифицировать так, что он будет классифицировать встречающиеся при работе ребра. Ключевая идея состоит в том, что каждое ребро <tex>(u, v)</tex> можно классифицировать при помощи цвета вершины <tex>v</tex> при первом его исследовании, а именно: * Белый цвет вершины <tex>v</tex> по определению <tex>\mathrm{dfs}</tex> говорит о том, что это ''белыйребро дерева'' .* Серый цвет в силу того, что серые вершины всегда образуют нисходящий путь в каком- 0либо из деревьев <tex>\mathrm{dfs}</tex> и встреченная вершина <tex>v</tex> лежит на нем выше вершины <tex>u</tex>, определяет ''серыйобратное ребро'' - 1(для неориентированного графа необходимо проверить условие <tex>v \neq p[u]</tex>).* Черный цвет, соответственно, указывает на ''черныйпрямое'' или ''перекрестное ребро'' - 2.

vector<int> color; //вектор для хранения информации о цвете вершин void dfs(int u) { color[u] = 1; //раскрашиваем вершину в ''серый'' цвет for (v таких, что (u, v) - ребро в G) //проходим по смежным с u вершинам if (!color[v]) //проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине, условие не требует изменений, dfs(v); //поскольку мы считаем вершину "не пройденной" только тогда, когда она ''белого'' цвета, т= См.е. когда color[v] также == 0 color* [u[Обход в ширину] = 2; //раскрашиваем вершину в ''черный'' цвет } int main() { ... //задание графа G с количеством вершин n. color.assign(n, 0); //в начале все вершины в графе ''не пройденные'', т.е. ''белые''. for (int i = 0; i < n; ++i) //проходим по всем вершинам графа... if (!color[i]) //...не забыв проверить, были мы уже в очередной вершине или нет dfs(i); return 0; }

== Источники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Поиск_в_глубину Обход Википедия {{---}} Поиск в глубину на ru]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Depth-first_search Wikipedia {{---}} Depth-first search]