Обход в глубину, цвета вершин

Обход в глубину (поиск в глубину, англ. Depth-First Search, DFS) — один из основных методов обхода графа, часто используемый для проверки связности, поиска цикла и компонент сильной связности и для топологической сортировки.

Алгоритм

Общая идея

Общая идея алгоритма состоит в следующем: для каждой не пройденной вершины необходимо найти все не пройденные смежные вершины и повторить поиск для них.

Пошаговое представление

1. Выбираем любую вершину из еще не пройденных, обозначим ее как $u$.
2. Запускаем процедуру $\mathrm{dfs(u)}$
   • Помечаем вершину $u$ как пройденную
   • Для каждой не пройденной смежной с $u$ вершиной (назовем ее $v$) запускаем $\mathrm{dfs(v)}$
3. Повторяем шаги 1 и 2, пока все вершины не окажутся пройденными.

Реализация

В массиве $\mathrm{visited[]}$ хранится информация о пройденных и не пройденных вершинах.

function doDfs(G[n]: Graph): // функция принимает граф G с количеством вершин n и выполняет обход в глубину во всем графе 
   visited = array[n, false]  // создаём массив посещённых вершины длины n, заполненный false изначально
          
   function dfs(u: int):   
      visited[u] = true
      for v: (u, v) in G        
         if not visited[v]               
            dfs(v)

   for i = 1 to n             
      if not visited[i]                    
         dfs(i)

Время работы

Оценим время работы обхода в глубину. Процедура $\mathrm{dfs}$ вызывается от каждой вершины не более одного раза, а внутри процедуры рассматриваются все такие ребра $\{e\ |\ \mathrm{begin(e)} = u\}$. Всего таких ребер для всех вершин в графе $O(E)$, следовательно, время работы алгоритма оценивается как $O(V+E)$.

Цвета вершин

Зачастую, простой информации "были/не были в вершине" не хватает для конкретных целей.

Поэтому в процессе алгоритма вершинам задают некоторые цвета:

• если вершина белая, значит, мы в ней еще не были, вершина не пройдена;
• серая — вершина проходится в текущей процедуре $\mathrm{dfs}$;
• черная — вершина пройдена, все итерации $\mathrm{dfs}$ от нее завершены.

Такие "метки" в основном используются при поиске цикла.

Реализация

Отличие реализации с цветами от предыдущей лишь в массиве $\mathrm{visited[]}$, который мы назовем теперь $\mathrm{color[]}$. В нем будет хранится информация о цветах вершин.

function doDfs(G[n]: Graph): // функция принимает граф G с количеством вершин n и выполняет обход в глубину во всем графе 
   color = array[n, white]
                   
   function dfs(u: int):
      color[u] = gray           
      for v: (u, v) in G                   
         if color[v] == white
            dfs(v)
      color[u] = black   
                   	   
   for i = 1 to n             
      if color[i] == white                
         dfs(i)

Пример

Рассмотрим, как будут изменяться цвета вершин при обходе в глубину данного графа.

Описание шага	Состояние графа
В функции $\mathrm{doDfs}$ присваиваем всем вершинам в массиве $\mathrm{color[]}$ белый цвет. Затем проверяем, что первая вершина окрашена в белый цвет. Заходим в нее и раскрашиваем ее в серый цвет.
Пробуем пойти в вершину с номером 2. Проверяем, что она белая, и переходим в нее. Окрашиваем ее в серый цвет.
Пробуем пойти в вершину с номером 3. Проверяем, что она белая, и переходим в нее. Окрашиваем ее в серый цвет.
Проверяем, что из вершины с номером 3 не исходит ни одного ребра. Помечаем ее в черный цвет и возвращаемся в вершину с номером 2.
Пробуем пойти в вершину с номером 4. Проверяем, что она белая, и переходим в нее. Окрашиваем ее в серый цвет.
Пробуем пойти в вершину с номером 3. Видим, что она черного цвета, и остаемся на месте.
Пробуем пойти в вершину с номером 1. Видим, что она серого цвета, и остаемся на месте.
Из вершины с номером 4 больше нет исходящих ребер. Помечаем ее в черный цвет и возвращаемся в вершину с номером 2.
Из вершины с номером 2 больше нет исходящих ребер. Помечаем ее в черный цвет и возвращаемся в вершину с номером 1.
Из вершины с номером 1 больше нет исходящих ребер. Помечаем ее в черный цвет и выходим в программу $\mathrm{doDfs}$. В ней проверяем, что все вершины окрашены в черный цвет. Выходим из функции $\mathrm{doDfs}$. Алгоритм завершен.

Дерево обхода в глубину

Типы ребер, определяемые деревом обхода:
1) ребра дерева
2) обратные ребра
3) прямые ребра
4) перекрестные ребра

Рассмотрим подграф предшествования обхода в глубину $G_p = (V, E_p)$, где $E_p = \{(p[u], u) : u \in V,\ p[u] \neq NIL\}$, где в свою очередь $p[u]$ — вершина, от которой был вызван $\mathrm{dfs(u)}\ $ (для вершин, от которых $\mathrm{dfs}$ был вызван нерекурсивно это значение соответственно равно $NIL$). Подграф предшествования поиска в глубину образует лес обхода в глубину, который состоит из нескольких деревьев обхода в глубину. С помощью полученного леса можно классифицировать ребра графа $G$:

• Ребрами дерева назовем те ребра из $G$, которые вошли в $G_p$.
• Ребра $(u, v)$, соединяющие вершину $u$ с её предком $v$ в дереве обхода в глубину назовем обратными ребрами (для неориентированного графа предок должен быть не родителем, так как иначе ребро будет являться ребром дерева).
• Ребра $(u, v)$, не являющиеся ребрами дерева и соединяющие вершину $u$ с её потомком $v$ в дереве обхода в глубину назовем прямыми ребрами (в неориентированном графе нет разницы между прямыми и обратными ребрами, поэтому все такие ребра считаются обратными).
• Все остальные ребра назовем перекрестными ребрами — такие ребра могут соединять вершины одного и того же дерева обхода в глубину, когда ни одна из вершин не является предком другой, или соединять вершины в разных деревьях.

Алгоритм $\mathrm{dfs}$ можно модифицировать так, что он будет классифицировать встречающиеся при работе ребра. Ключевая идея состоит в том, что каждое ребро $(u, v)$ можно классифицировать при помощи цвета вершины $v$ при первом его исследовании, а именно:

• Белый цвет вершины $v$ по определению $\mathrm{dfs}$ говорит о том, что это ребро дерева.
• Серый цвет в силу того, что серые вершины всегда образуют нисходящий путь в каком-либо из деревьев $\mathrm{dfs}$ и встреченная вершина $v$ лежит на нем выше вершины $u$, определяет обратное ребро (для неориентированного графа необходимо проверить условие $v \neq p[u]$).
• Черный цвет, соответственно, указывает на прямое или перекрестное ребро.

См. также

• Обход в ширину

Источники информации

• Википедия — Поиск в глубину
• Wikipedia — Depth-first search
• Обход в глубину. Реализации.
• Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. Алгоритмы: построение и анализ, второе издание. Пер. с англ. — Издательский дом "Вильямс", 2007. — 1296 с. — Глава 22. Элементарные алгоритмы для работы с графами.