1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
==Внешняя степень оператора==
{{Определение
|definition = Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to X</tex> {{---}} автоморфизм. Внешней степенью линейного оператора называется отображение <tex>\mathcal{A}^{\wedge_p } \colon \wedge_p \to \wedge_p </tex> по формуле <tex> \mathcal{A}^{\wedge_p}(e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}e_{i_1} \wedge \mathcal{A}e_{i_2} \wedge ... \wedge \mathcal{A}e_{i_n}</tex> и на остальные поливектора распределяется по линейности.
}}
{{Теорема
|statement= Для <tex>\forall (x_1 \wedge x_2 \wedge ... \wedge x_p) </tex>, верно что <tex>\mathcal{A}^{\wedge_p}(e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}x_1 \wedge \mathcal{A}x_2 \wedge ... \wedge \mathcal{A}x_p </tex>|proof = Рассмотрим : <br> <tex>\mathcal{A}^{\wedge_p}(x_i \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}^{\wedge_p}((\sum_{i=1}^{n}\xi^ie_{i_1}) \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_p}) = \sum_{i=1}^{n}\xi^i\mathcal{A}^{\wedge_p}(e_{i_1}\wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}(\sum_{i=1}^{n}\xi^ie_i)\wedge \mathcal{A}e_{i_2} \wedge ... \wedge \mathcal{A}e_{i_n} = \mathcal{A}x \wedge \mathcal{A}e_{i_2}\ \wedge ... \wedge \mathcal{A}e_{i_p}</tex>.
}}
{{Теорема
|statement = Пусть <tex>\forall z \in \bigwedge_n (n = dimX) </tex> верно <tex> \mathcal{A}^{\wedge_n}z = detA z</tex>
|proof = Пусть <tex> z = e_1 \wedge e_2 \wedge ... \wedge e_n = F_{1, 2, ..., n} </tex>, то есть <tex>\mathcal{A}^{\wedge_{n}^{*}}z = \mathcal{A}^{\wedge_{n}^{*}}e_1 \wedge e_2 \wedge ... \wedge e_n = detAe_1 \wedge e_2 \wedge ... \wedge e_n </tex>.
}}
{{Лемма
|statement = <tex> detA </tex> не зависит от базиса. <tex>det\mathcal{A} = detA </tex> {{---}} [[Инвариантные_подпространства|инвариант линейного оператора]]
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
[[Категория: Тензорная алгебра]]
