1632
правки
Изменения
м
'''Задача о вершинном покрытии(Языком COVER)''' состоит в нахождении вершинного покрытия размера называется множество пар <tex>\langle G,k \rangle</tex>, где <math>kG</math>- неориентированный граф, где <math>k</math> - некоторое натуральное число.Слово принадлежит языку COVER, если ли граф <math>G</math> содержит вершинное покрытие размера <math>k</math>. Задача о вершинном покрытии является [[Понятие NP-трудной и NP-полной задачи|NP-полной]].
rollbackEdits.php mass rollback
==Формулировка==
==Доказательство NP-полноты==
Для доказательства NP-полноты задачи о вершинном покрытии покажем, что она является NP-трудной и принадлежит классу NP.
===Задача о вершинном покрытии является NP-трудной===
Для доказательства [[Сведение по Карпу|сведем по Карпу ]] [[Задача о независимом множестве|задачу о независимом множестве]] к нашей.
<math>IND \le_{k} COVER</math>
Докажем сначала, что вершинное покрытие и независимое множество являются дополнениями друг друга. Пусть в графе <math>G</math> выбрано независимое множество вершин <math>V</math>. Тогда у любого ребра из <math>G</math> хотя бы одна из вершин не лежит в <math>V</math>, так как иначе какие-то две вершины в <math>V</math> были бы соединены ребром. Значит дополнение <math>V</math> - вершинное покрытие. Пусть теперь в графе <math>G</math> выбрано вершинное покрытие <math>V</math>. Любому ребру в <math>G</math> инциндентна хотя бы одна вершина из <math>V</math>, значит никакое ребро не может соединять две вершины из дополнения <math>V</math>, поэтому дополнение <math>V</math> - независимое множество.
Пусть в графе <math>G</math> c <math>n</math> вершинами необходимо найти независимое множество размера <math>k</math>. По доказанному выше оно существует тогда и только тогда, когда в <math>G</math> есть вершинное покрытие размера <math>n-k</math>. Данное сведение можно выполнить за полиномиальное время
===Задача о вершинном покрытии принадлежит классу NP===
В качестве сертификата возьмем набор из <math>k</math> вершин. Если в графе <math>e</math> реберрёбер, то за время <math>O(ek)</math> можно проверить, что для каждого ребра одна из инциндентных ему вершин лежит в данном наборе. [[Категория:NP]]
