Действие группы на множестве

Пусть имеется множество [math]X[/math].

Определение:

Группа [math]G[/math] действует на [math]X[/math], если любых [math]g \in G[/math] и [math]x \in X[/math] определено действие элемента [math]g[/math] на элемент [math]x[/math] (обозначаемое [math]gx[/math]), обладающее следующими свойствами: [math]gx \in X[/math], Для любых [math]g_1, g_2 \in G, x \in X[/math] выполнено [math](g_1 g_2)x = g_1(g_2 x)[/math], Для любого [math]x \in X[/math] выполнено [math]e x = x[/math].

Примеры

• Действие группы на себя. Пусть [math]G[/math] — группа с операцией [math]\cdot[/math] и множество [math]X = G[/math]. Зададим отображение [math]F: G\times X\to X[/math], такое что [math]f(g,x) = g \cdot x[/math]. Тогда все свойства из определения выполнятся вследствие соответствующих свойств группы. Таким образом группа [math]G[/math] действует на [math]X[/math]. Такое действие называется "действие левыми сдвигами".
• Действие сопряжением. Пусть [math]G[/math] — группа с операцией [math]\cdot[/math] и множество [math]X = G[/math]. Зададим отображение [math]F: G\times X\to X[/math], такое что [math]f(g,x) = g \cdot x \cdot g^{-1}[/math]. Все свойства из определения выполнены, следовательно группа [math]G[/math] действует на [math]X[/math].

Орбита, Стабилизатор и Фиксатор

Определение:

Орбита [math]Orb(x)[/math] элемента [math]x \in X[/math] — это множество [math]\{gx \mid g \in G\}[/math].

Определение:

Стабилизатор [math]St(x)[/math] элемента [math]x \in X[/math] — это множество [math]\{g \in G \mid gx = x\}[/math].

Определение:

Фиксатор [math]Fix(g)[/math] элемента [math]g \in G[/math] — это множество [math]\{x \in X \mid gx = x\}[/math].

Свойства

Утверждение:

Стабилизатор любого элемента [math]x \in X[/math] является подгруппой [math]G[/math].

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]g_1, g_2 \in St(x)[/math]. Тогда [math]g_1 x = x[/math] и [math]g_2 x = x[/math]. Поэтому, [math](g_1 g_2) x = g_1 (g_2 x) = g_1 x = x[/math]. Следовательно, [math]g_1 g_2 \in St(x)[/math]. Пусть [math]g \in St(x)[/math]. Тогда [math]g x = x[/math], следовательно, [math]g^{-1} g x = g^{-1} x[/math]. Поэтому, [math]g^{-1} x = x[/math] и [math]g^{-1} \in St(x)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

[math] Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow Orb(x) = Orb(y) [/math]

[math]\triangleright[/math]

[math]Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow[/math] [math]\exists[/math] [math] g_1, g_2 \in G : g_1 x = g_2 y \Rightarrow x = g_1 ^ {-1} g_2 y \Rightarrow x \in Orb(y) \Rightarrow Orb(x) \subseteq Orb(y) [/math]. Аналогично доказываем, что [math]Orb(y) \subseteq Orb(x)[/math], откуда следует, что [math]Orb(x) = Orb(y)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Видно, что бинарное отношение [math]x \mathcal R y \Leftrightarrow Orb(x) = Orb(y)[/math] является отношением эквивалентности на [math]X[/math] и разбивает его на независимые классы эквивалентности − орбиты. Можно поставить задачу о нахождении количества орбит, которая решается с помощью леммы Бернсайда.