Изменения

[[Дерево отрезков. Построение|Дерево отрезков]] можно обобщить в естественным образом обобщается на двумерный и, вообще говоря, многомерный случай для решения таких задач. Такая структура данных может вычислять значение некоторой [[Ассоциативная_операция|ассоциативной функции]] на гиперпрямоугольнике. Например, как поиск суммы на прямоугольнике (или гиперпрямоугольной области)она позволяет решать следующую задачу.{{Задача|definition=Рассматривается задача регионального поиска. Задано множество точек в Дан <tex>p</tex>-мерном евклидовом пространствемерный массив, где индекс каждого измерения массива может принимать значения от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>. Образцом для поиска является гиперпрямоугольная область. Найти Необходимо уметь изменять значение элемента массива, а также находить суммуна <tex>p</минимум/максимумtex>-мерной области.}} Каждую из этих операций многомерное дерево отрезков выполняет за <tex>O(\log^{p}}n)</tex>.

К примерам задач, решаемых с помощью многомерного дерева отрезков, также можно отнести задачи, которые решаются с помощью одномерного [[Дерево отрезков. Построение|дерева отрезков]], только теперь в многомерном случае, а еще ,например, задачу поиска числа точек в заданном прямоугольнике, которую иначе можно решать при помощи [[Перечисление точек в произвольном прямоугольнике за n * log ^(d - 1) n (range tree)|range tree]], и другие. ==ПостроениеПринцип работы==[[Файл:SegmentTreeWorking.png|thumb|600px|right|Пример некоторой стадии работы алгоритма (поиск элементов, подходящих некоторой области)]]<tex>n</tex>-мерное дерево отрезков {{---}} обычное дерево отрезков, элементами которого являются деревья отрезков размерности на единицу меньше. Основная идея заключается в рекурсивном переходе к деревьям меньшей размерности. Рассмотрим работу этого принципа на следующем примере. Пусть задано <tex>p</tex>-мерное пространство с координатными осями <tex>x_1, x_2, x_3\ldots x_p</tex>. Необходимо найти значение некоторой ассоциативной функции на гиперпрямоугольнике. Функция, вычисляющая ответ, должна работать следующим образом.На вход она принимает <tex>i</tex>-мерное дерево отрезков, которое соответствует рассматриваемой области (где <tex>i</tex> {{---}} количество координатных осей, которые не были рассмотрены), а также <tex>i</tex>-мерную область, для которой следует вычислить функцию.x_pВначале она находит <tex>i-1</tex>-мерные деревья отрезков, которые соответствуют отрезку по <tex>p-i+1</tex>координате, и рекурсивно запускается от них (если текущее дерево одномерное, то функция просто возвращает ответ из соответствующего листа). После этого считает итоговый результат, используя полученные после рекурсивных вызовов значения. Для того, чтобы определить, от каких именно деревьев отрезков следует запускаться рекурсивно, действовать необходимо так же, как и в одномерном случае. Т.е. если текущий отрезок не пересекается с необходимым, то возвращаем нейтральный элемент, если он полностью лежит в необходимом отрезке, то рекурсивно переходим кследующей координате, иначе разобьем текущий отрезок пополам, и рассмотри отдельно каждую из частей. при построении одномерного  На рисунке справа показан пример обработки очередной координаты (поиск соответствующих отрезку элементов {{---}} деревьев на <tex>1</tex> меньшей мерности). Таким образом, алгоритм совершит <tex>p</tex> вхождений в рекурсию, каждая итерация которой работает за <tex>O(\log n)</tex> и получим необходимую асимптотику. ==Хранение==[[Файл:SegmentTree2DExample.png|thumb|350px|right|Пример двумерного дереваотрезков для 16 элементов]]Пусть необходимо хранить дерево отрезков для <tex>p</tex>-мерной области, индексы размеры которой <tex>n_1 \times n_2 \times \ldots \times n_p</tex>. Удобнее всего это делать с помощью <tex>p</tex>-мерного массива разбиваются на отрезки. Однако его размеры по каждой координате, так же как и в одномерном случае, тогда при построении многомерного дерева координаты будут обрабатываться сначала по должны превышать размеры соответствующего отрезка в 4 раза. На самом деле нам нужно хранить <tex>x_1 2n</tex>чисел, затем по но, если мы хотим, чтобы правый и левый сын некоторой вершины <tex>i</tex> находились на <tex>x_22i + 1</tex> и так далее<tex>2i + 2</tex> месте, то, если длина отрезка не является степенью двойки, некоторые элементы массива могут быть не задействованы, поэтому в худшем случае, может понадобиться массив, размер которого в 4 раза превышает количество элементов. Т.е.потребуется массив размером <tex>4 n_1 \times 4 n_2 \times \ldots \times 4 n_p</tex>. Далее Так двумерное дерево строится рекурсивно: далее координаты по отрезков удобно хранить в виде массива, размером <tex>x_14N \times 4M</tex> обрабатываем . Каждая строчка такого массива соответствует некоторому отрезку по первой координате. Сама же строчка является деревом отрезков по координатам второй координате. На рисунке справа показан пример дерева отрезков для суммы на массиве 4 на 4, заполненного числами от 1 от 16. Например, в элементе <tex>x_2a[2][0] = 100</tex>хранится сумма элементов, соответствующих отрезку <tex>x_3[2..3]</tex> (по всем возможным координатам) первой координате и далее <tex>[0..3]</tex> по аналогиивторой в исходном массиве.А в ячейке <tex>a[0][0] = 136</tex> хранится сумма всех элементов. Интересно, что если построить дерево вначале по второй координате, а потом по первой, то получившийся массив будет таким же. То есть получаетсяТ. е. данный двумерный массив можно рассматривать как массив деревьев отрезков, где каждое дерево соответствует некоторому отрезку по второй координате, а в нем хранятся суммы по первой. Заметим, что основная идея построения многомерного в общем случае для хранения <tex>p</tex>-мерного дерева отрезков требуется <tex>4^p n</tex> памяти, где <tex>n</tex> {{--- вкладывание деревьев отрезка друг }} общее количество элементов. ==Запрос==Рассмотрим отличия реализации многомерного и одномерного случаев. На самом деле, отличаются реализации только в двух местах. Во-первых, если рассматриваемый отрезок совпадает с необходимым, то в одномерном случае функция просто возвращает число, которое находится в текущем элементе массива. В многомерном случае, если рассматриваемая координата не последняя, следует вместо этого узнать значение, рекурсивно перейдя к следующей координате, и вернуть его.  Еще один момент, в которых отличается реализация {{---}} передаваемые в функцию параметры. В многомерном случае кроме всего прочего следует также передать рассматриваемое <tex>p-i+1</tex>-мерное дерево (или кортеж из чисел, указывающих на соответствующие элементы массива), а также область, которую следует рассматривать (или <tex>p-i+1</tex> пар чисел, обозначающих отрезки на соответствующих координатных осях). Все остальные детали реализации остаются такими же как и в другаодномерном дереве отрезков. В каждом нижеприведенном псевдокоде будут встречены обозначения:* индекс <tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} размерность массива из условия задачи,* <tex>\mathtt{\odot}</tex> {{---}} та операция, которую мы считаем на данном многомерном дереве отрезков. В нижеприведенном псевдокоде будет встречен <tex>\varepsilon</tex> {{---}} нейтральный элемент.  Псевдокод:<code> '''void''' query('''int''' area[], '''int''' x1, '''int''' x2, ..., '''int''' xP, '''int''' leftBorder, '''int''' rightBorder, '''int''' queryLeft, '''int''' queryRight, '''int''' node) '''if''' queryLeft > queryRight '''return''' <tex>\varepsilon</tex> '''if''' leftBorder == queryLeft '''and''' rightBorder == queryRight '''if''' последняя координата '''return''' t[x1][x2]...[xP][node] '''else''' '''return''' query(area[], x1, x2, ..., xP, node, 0, m - 1, area[P + 2].left, area[P + 2].right, 0) med = (leftBorder + rightBorder) / 2 '''return''' query(area[], x1, x2, ..., xP, leftBorder, med, queryLeft, min(queryRight, med), node * 2 + 1) <tex>\odot</tex> query(area[], x1, x2, ..., xP, med + 1, rightBorder, max(queryLeft, med + 1), queryRight, node * 2 + 2)</code>

Пример задачи, в которой удобно использовать многомерное дерево отрезков==Пример двумерного дереваОбновление==Рассмотрим процесс построения предельного случая Как и в одномерном случае, обновить в массиве необходимо не один элемент, а все, которые отвечают за области, в которых он присутствует. Таким образом, при <tex>p = 2</tex>.обработке отрезка по некоторой координате (если она не последняя) следует выполнить следующие действия:* Если рассматриваемый отрезок содержит больше одного элемента, разобьем его на две части и рекурсивно перейдем в ту, где находится необходимый элемент* Перейдем к следующей координатеПусть задан массив элементов размера Заметим, что "переходов к следующей координаты" при рассмотрении некоторой координатной оси будет совершено <tex>\log n \times m</tex>. Упорядочим массив по первой координате и построим на нем дерево отрезков. После этого для каждого узла дерева строим еще одно дерево отрезков по координате , а итоговая сложность составит <tex>yO(\log^{p} n)</tex>, которые находятся на том же отрезке.

К примеруОтдельно следует рассмотреть,двумерное что происходит, когда текущее дерево размером <tex>4 \times 4 является одномерным (мы рассмотрели все координаты, кроме текущей):</tex>* Если рассматриваемый отрезок содержит больше одного элемента, разобьем его на две части и рекурсивно перейдем в ту, где находится необходимый элемент* Найдем первую координату, в которой рассматривается больше одного элемента. Обновим значение элемента массива с помощью уже вычисленных значений для разбитого надвое отрезка по этой координате.* Если мы рассматриваем область, состоящую из одного элемента, обновим значение массива.

Псевдокод:<code> '''void''' update('''int''' newElem, '''int''' x1, '''int''' x2, ..., '''int''' xP, '''int''' x1Left, '''int''' x1Right, '''int''' x2Left, '''int''' x2Right, ..., '''int''' xPLeft, '''int''' xPRight, '''int''' leftBorder, '''int''' rightBorder, '''int''' node) '''if''' leftBorder != rightBorder med = (leftBorder + rightBorder) / 2 '''if''' med >= newElem.x(P+1) update(newElem, x1, x2, ..., xP, x1Left, x1Right, x2Left, x2Right, ..., xPLeft, xPRight, leftBorder, med, node * 2 + 1) '''else''' update(newElem, x1, x2, ..., xP, x1Left, x1Right, x2Left, x2Right, ..., xPLeft, xPRight, med + 1, rightBorder, node * 2 + 2) '''if''' последняя координата '''for''' I = 1..n '''if''' xILeft != xIRigth t[x1][x2]...[Файл:Многомерное доxP][node] = t[x1][x2]...[xI * 2 + 1]...[node] <tex>\odot</tex> t[x1][x2]...[xI * 2 + 2]...[node] '''return''' t[x1][x2]...jpg[xP][node]= newElem.value '''else''' '''if''' leftBorder != rightBorder update(newElem, x1, x2, ..., xP, node, x1Left, x1Rigth, x2Left, x2Right, ..., leftBorder, rightBorder, 0, m - 1, 0)</code>

==Анализ и оценка структурыПостроение==Строится такое дерево за линейное времяПостроение многомерного дерева отрезков практически ничем не отличается от его обновления.Структура использует <tex>O(n^p)</tex> памяти, и отвечает на запрос за <tex>O(log^Единственное различие {{p---} n)</tex>} если рассматриваемый отрезок состоит из более чем одного элемента, где <tex>p</tex>-размерность деревато необходимо рекурсивно вызываться из обеих частей.

Ответ на запрос в таком дереве будет производиться так же,как и построениеПсевдокод: сначала по координате <tex>x_1</texcode> '''void''' build('''int''' x1, '''int''' x2, ..., '''int''' xP, '''int''' x1Left, '''int''' x1Right, затем'''int''' x2Left, когда дошли до какой-либо вершины по первой координате'''int''' x2Right, вызвать запрос от этого же дерева по <tex>x_2</tex> и так далее. Получается.., '''int''' xPLeft, '''int''' xPRight, '''int''' leftBorder, что для <tex>n-< '''int''' rightBorder, '''int''' node) '''if''' leftBorder != rightBorder med = (leftBorder + rightBorder) /tex>мерного дерева запрос выполняется за <tex>O2 update(log (s_{x_1}newElem, x1, x2, ..., xP, x1Left, x1Right, x2Left, x2Right, ..., xPLeft, xPRight, leftBorder, med, node * 2 + 1)\cdot log update(s_{x_2}newElem, x1, x2, ..., xP, x1Left, x1Right, x2Left, x2Right, ..., xPLeft, xPRight, med + 1, rightBorder, node * 2 + 2) '''if''' последняя координата '''for''' I = 1..n '''if''' xILeft != xIRight t[x1][x2]...log (s_{x_n}))[xP][node] = t[x1][x2]...[xI * 2 + 1]...[node] </tex> (для рассмотренного двумерного дерева будет \odot</tex>log (n) \cdot log t[x1][x2]...[xI * 2 + 2]...[node] '''return''' t[x1][x2]...[xP][node] = data[x1Left][x2Left]...[xPLeft][node] '''else''' '''if''' leftBorder != rightBorder update(newElem, x1, x2, ..., xP, node, x1Left, x1Rigth, x2Left, x2Right, ..., leftBorder, rightBorder, 0, m- 1, 0) </texcode> )

==Источники==*e-maxx.ru: [http:Заметим, что построение дерева требует <tex>O(n)<//e-maxx.ru/algo/segment_tree Дерево отрезков] tex> времени, где <tex>n<br/tex>*F. P. Preparata, M.I. Shamos {{--- Вычислительная геометрия [http://pogorskiy.narod.ru/rectq}} общее число элементов в массиве.htm Главы о региональном поиске]

*[[Дерево отрезков. Построение]] <br/>*[[Сжатое многомерное дерево отрезков]] <br/>*[[Многомерное дерево Фенвика]] <br ==Источники информации==* [http://e-maxx.ru/algo/segment_tree MAXimal :: algo :: Дерево отрезков]* [http://habrahabr.ru/post/131072/)/>Habrahabr {{---}} Двумерное дерево отрезков]  [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Дерево отрезков]][[Категория: Модификации структур данных]]