Изменения

'''Транзитивным остовом''' (или '''транзитивным сокращением''', англ. ''transitive reduction'') [[Определение отношения|отношения]] <tex> R </tex> на множестве <tex> X </tex> называется минимальное отношение <tex> R' ^- </tex> на <tex> X </tex> такое, что [[транзитивное замыкание]] <tex> R' ^- </tex> равно транзитивному замыканию <tex> R </tex>.

__TOC__== Алгоритм для антисимметричных отношений =====Описание алгоритма===Пусть первоначально <tex>R^-=R</tex>. Чтобы сделать <tex>R^-</tex> минимальным отношением на <tex>X</tex>, таким, что транзитивное замыкание <tex>R^-</tex> будет равно транзитивному замыканию <tex>R</tex>, рассмотрим всевозможные комбинации из каждых трёх элементов <tex>a, b, c \in X</tex>. Если для этих элементов существует каждое из отношений: <tex>aRb</tex>, <tex>bRc</tex> и <tex>aRc</tex>, {{---}} то исключим отношение <tex>aRc</tex> из <tex>R^-</tex>. После проверки всех комбинаций и исключения ненужных отношений получаем искомое отношение <tex>R^-</tex>. === Псевдокод === '''function''' <tex>f</tex>(<tex>X</tex>: '''List<T>''', <tex>R</tex>: '''List<T>'''): <tex>R^- = R</tex> '''foreach''' <tex>a \in X</tex> '''foreach''' <tex>b \in X</tex> '''foreach''' <tex>c \in X</tex> '''if''' <tex>aRb</tex> '''and''' <tex>bRc</tex> '''and''' <tex>aRc</tex> <tex>R^- = R^-\setminus(a, c)</tex> ===Доказательство корректности===Для удобства представим отношение в виде [[Основные определения теории графов|графа]]: <tex> G = \left < V, E \right > </tex>. Его транзитивным остовом будет граф <tex> G^- = \left < V, E^- \right > </tex>. Введём несколько обозначений:* <tex> u \underset{G}{\to} v </tex> {{---}} в графе <tex> G </tex> есть ребро из вершины <tex> u </tex> в <tex> v </tex>,* <tex> u \underset{G}{\leadsto} v </tex> {{---}} в графе <tex> G </tex> есть путь (возможно, рёберно пустой) из вершины <tex> u </tex> в <tex> v </tex>,* <tex> u \underset{G}{\overset{+}{\leadsto}} v </tex> {{---}} в графе <tex> G </tex> есть рёберно непустой путь из вершины <tex> u </tex> в <tex> v </tex>. Также введём определение транзитивного замыкания в терминах теории графов: {{Определение|definition='''Транзитивным замыканием''' (англ. ''transitive closure'') графа <tex> G = \left < V, E \right > </tex> называется граф <tex> G^* = \left < V, E^* \right > </tex>, где <tex> E^* = \left \{ (i, j) \in V \times V \mid i \underset{G}{\leadsto} j \right \} </tex>.}}Так как отношение антисимметрично и транзитивно, то граф ацикличен, то есть в нём выполняется следующее: <tex> \forall i, j \in V: i \underset{G}{\overset{+}{\leadsto}} j \Longrightarrow i \neq j </tex>. Докажем теорему, из которой следует алгоритм. {{Теорема|statement=Пусть <tex> G^- = \left < V, E^- \right > </tex>. Тогда <tex> E^- = \left \{ k \underset{G}{\to} m \mid \forall l: [ k \underset{G}{\leadsto} l \wedge l \underset{G}{\to} m \Longrightarrow k = l ] \right \} </tex>|proof=Докажем, что <tex> E^- \subseteq \left \{ k \underset{G}{\to} m \mid \forall l: [ k \underset{G}{\leadsto} l \wedge l \underset{G}{\to} m \Longrightarrow k = l ] \right \}</tex>: :Пусть <tex> G^- </tex> уже построен. Пусть <tex> k \underset{G^-}{\to} m </tex>. Тогда <tex> k \neq m </tex> (так как иначе удаление ребра <tex> (k, m) </tex> из <tex> E^- </tex> приведёт к образованию меньшего графа с тем же транзитивным замыканием, что нарушает условие минимальности транзитивного остова). Поэтому по определению транзитивного остова <tex> k \underset{G}{\overset{+}{\leadsto}} m </tex>. :Пусть <tex> l </tex> — вершина, для которой выполняется <tex> k \underset{G}{\leadsto} l \wedge l \underset{G}{\to} m </tex>. Докажем, что <tex> k = l </tex>, от противного. Пусть <tex> k \neq l </tex>. <tex> G </tex> ацикличен, поэтому <tex> l \neq m </tex>. Поскольку <tex> G^* = (G^-)^* </tex>, верно <tex> k \underset{G^-}{\overset{+}{\leadsto}} l \wedge l \underset{G^-}{\overset{+}{\leadsto}} m </tex>. Поскольку <tex> G^- </tex> ацикличен, путь из <tex> k </tex> в <tex> l </tex> не может содержать ребра <tex> (k, m) </tex>, аналогично путь из <tex> l </tex> в <tex> m </tex> не может содержать <tex> (k, m) </tex>. Поэтому в <tex> G^- </tex> существует путь из <tex> k </tex> в <tex> m </tex>, не содержащий в себе ребро <tex> (k, m) </tex>, значит, удаление <tex> (k, m) </tex> из <tex> E^- </tex> не изменит транзитивное замыкание, что противоречит условию минимальности <tex> E^- </tex>. Поэтому <tex> \forall l: [ k \underset{G}{\leadsto} l \wedge l \underset{G}{\to} m \Longrightarrow k = l ] </tex>. Поскольку <tex> k \underset{G}{\overset{+}{\leadsto}} m </tex>, существует такая вершина <tex> l </tex>, что <tex> k \underset{G}{\leadsto} l \wedge l \underset{G}{\to} m </tex>, что приводит к выводу, что <tex> k \underset{G}{\to} m </tex>. Докажем, что <tex> \left \{ k \underset{G}{\to} m \mid \forall l: [ k \underset{G}{\leadsto} l \wedge l \underset{G}{\to} m \Longrightarrow k = l ] \right \} \subseteq E^- </tex>: :Предположим, что <tex> k \underset{G}{\to} m </tex> и <tex> \forall l: [ k \underset{G}{\leadsto} l \wedge l \underset{G}{\to} m \Longrightarrow k = l ] </tex>. Докажем, что <tex> k G^- m </tex>, от противного. Предположим, что <tex> (k, m) \notin E^- </tex>. Поскольку <tex> G </tex> ацикличен, <tex> k \neq m </tex> и поэтому <tex> k \underset{G^-}{\overset{+}{\leadsto}} m </tex>. Поскольку <tex> (k, m) \notin E^- </tex>, существует вершина <tex> l </tex> такая, что <tex> k \underset{G^-}{\leadsto} l \wedge l \underset{G^-}{\leadsto} m </tex> и <tex> k \neq l \neq m </tex>, поэтому <tex> k \underset{G}{\overset{+}{\leadsto}} l \wedge l \underset{G}{\overset{+}{\leadsto}} m </tex>. Поскольку <tex> G </tex> ацикличен, существует вершина <tex> l' \neq k </tex>, для которой выполняется <tex> k \underset{G}{\overset{+}{\leadsto}} l' \wedge l' \underset{G}{\to} m </tex>, что противоречит нашему предположению. Так как множества <tex> E^- </tex> и <tex> \left \{ k \underset{G}{\to} m \mid \forall l: [ k \underset{G}{\leadsto} l \wedge l \underset{G}{\to} m \Longrightarrow k = l ] \right \} </tex> включены друг в друга, они совпадают, то есть равны.}} ===Ассимптотика===Для множества <tex>X</tex> c количеством элементов <tex>n</tex> алгоритм работает за <tex>O(n^3)</tex>, так как в каждом из трёх циклов мы пробегаемся по всем элементам множества <tex>X</tex>. ==См. также==* [[Транзитивное замыкание]]* [[Остовные деревья: определения, лемма о безопасном ребре]] == Источники информации ==