1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
==Обратимость в алгебре==
{{Определение
|definition=Пусть <tex>X</tex> - алгебра над <tex>F</tex>. <tex>e \in X</tex> называется единицей <tex>X</tex>, если <tex>\mathcal{8} forall x \in X: e*x=x*e=x</tex>, причем <tex>e</tex> единственна
}}
{{Определение
|definition=Пусть <tex>z \in X</tex>. Левый обратный элементу <tex>z</tex>, являющийся одновременно и правым обратным к нему, называется обратным и обозначается <tex>z^{-1}</tex>. При этом сам элемент называется обратимым.
}}
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>x,y,z \in</tex> алгебре <tex>X</tex>
<tex>xz=e, \ x</tex> {{---}} левый обратный
<tex>zy=e, \ y</tex> {{---}} правый обратный.
Тогда <tex>z</tex> обратим, при этом <tex>z^{-1}=x=y</tex> и <tex>z^{-1} - !</tex>
|proof=
'''Факт 1.''' <tex>x \cdot z \cdot y=(x \cdot z) \cdot y=e \cdot y=y</tex>, но <tex>x \cdot z \cdot y=x \cdot (z \cdot y)=x \cdot e=x \Rightarrow x=y</tex>, тогда по определению <tex>z^{-1}=x=y</tex>.
'''Факт 2.''' Пусть <tex>\exists z^{-1}, \ \tilde{z}^{-1}</tex>
<tex>z^{-1} \cdot z \cdot \tilde{z}^{-1}=(z^{-1} \cdot z) \cdot \tilde{z}^{-1}=e \cdot \tilde{z}^{-1}=\tilde{z}^{-1}</tex>, но <tex>z^{-1} \cdot z \cdot \tilde{z}^{-1}=z^{-1} \cdot (z \cdot \tilde{z}^{-1})=z^{-1} \cdot e=z^{-1} \Rightarrow z^{-1}=\tilde{z}^{-1} \Rightarrow z^{-1}-!</tex>
}}
}}
<math dpi = "145">\widehat{C}^{*A}= \begin{pmatrix}
{A}_{11} & {A}_{12} & \cdots & {A}_{1n} \\
{A}_{21} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{2n} \\
Где:
* <math dpi = "145">\widehat{C}^{*A}</math> — присоединённая(союзная, взаимная) матрица;
* <math dpi = "145">{A}_{ij}</math> — алгебраические дополнения исходной матрицы;
* <math dpi = "145">{a}_{ij}</math> — элементы исходной матрицы.
====Алгоритм получения обратной матрицы====
:*заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение - в результате будет получена присоединенная матрица
:*разделить каждый элемент транспонированной союзной присоединенной матрицы на определитель исходной матрицы.
<tex dpi="145">A^{-1} = (C^*)\widehat{A}^T \times \frac{1}{det A}</tex>
==Ссылки==
