1632
правки
Изменения
м
Количество Число внутренних вершин дерева, каждая из которых имеет не менее двух детей, меньше количества числа листьев.
Докажем лемму индукцией по количеству листьев <tex>n</tex>.
'''База''': Докажем лемму индукцией по числу листьев <tex>n</tex>.
При <tex>n = 2</tex> в дереве одна внутренняя вершина, следовательно утверждение верно.: '''База'''
'''Переход''' : При <tex>n \rightarrow n + 1= 2</tex>в дереве одна внутренняя вершина, следовательно утверждение верно.
Возьмем вершину в дереве с : '''Переход''' <tex>n \rightarrow n + 1</tex> листами, у которой два ребенка {{---}} листья. Рассмотрим возможные случаи:
Node Vertex():
top = new Node
'''return''' top
rollbackEdits.php mass rollback
[[Суффиксный бор|Суффиксный бор]] {{---}} удобная структура данных для поиска подстроки в строке, но она требует порядка квадрата длины исходной строки памяти. Оптимизацией суффиксного бора, требующей линейное количество памяти, является '''сжатое суффиксное дерево'''(англ. ''compressed suffix tree''), рассматриваемое далее.
==Определение==
<br/>
==Количество Число вершин==По определению, в суффиксном дереве содержится <tex>n</tex> листьев. Оценим количество число внутренних вершин такого дерева.
{{Лемма
|statement=
|proof=
: Возьмем вершину в дереве с <tex>n + 1</tex> листами, у которой два ребенка {{---}} листья. Рассмотрим возможные случаи: # У нее более двух детей. Тогда отрежем от нее лист. Получим дерево с <tex>n</tex> листьями, причем в нем количество число внутренних вершин такое же, как в исходном дереве. Но у полученного дерева по индукционному предположению менее <tex>n</tex> внутренних вершин, а, значит, и для исходного дерева лемма верна.# У нее ровно два ребенка. Отрежем их, получим дерево с <tex>n - 1</tex> листьями, количество число внутренних вершин которого на <tex>1</tex> меньше, чем в исходном дереве. Тогда по индукционному предположению у него менее <tex>n - 1</tex> внутренних вершин, значит, в исходном дереве их меньше <tex>n+ 1</tex>.
}}
==Занимаемая память==
Представим дерево как двумерный массив размера <tex>|V| \times |\Sigma|</tex>, где <tex>|V|</tex> {{---}} количество число вершин в дереве, <tex>|\Sigma|</tex> {{---}} мощность алфавита. Для любого суффиксного дерева верна предыдущая лемма (у каждой вершины, по определению, не менее двух детей), значит, <tex>|V| = O(2 n)</tex>. Каждая <tex>a[i][j]</tex> ячейка содержит информацию о том, в какую вершину ведет ребро из <tex>i</tex>-ой вершины по <tex>j</tex>-ому символу и индексы <tex>l, r</tex> начала и конца подстроки, записанной на данном переходе. Итак, дерево занимает <tex>O(n|\Sigma|)</tex> памяти.
==Построение суффиксного дерева==
===Наивный алгоритм===
Рассмотрим наивный алгоритм построения суффиксного дерева строки <tex>s</tex>:
'''struct''' Vertex: <span style="color:Green">// Структура, содержащая информацию о вершине </span> '''int''' l <span style="color:Green">// индекс начала подстроки </span> '''int''' r <span style="color:Green">// индекс конца подстроки </span> '''int''' v <span style="color:Green">// индекс текущей позиции </span> go[0] = '''new''' Vertex() <span style="color:Green">// массив из пустых Vertex (можно все поля положить - функция1), возвращающая корень дереваразмер массива -- количество символов в алфавите </span>
count = 0 <span style="color:Green">// номер последней вершины, созданной в дереве (глобальная переменная)</span>
'''for''' i = 0 '''to''' n <span style="color:Green">// для каждого символа строки</span>
cur = 0
'''while''' (l < r)
'''if''' (go[cur][s[l]].v == -1) <span style="color:Green">// если мы не можем пойти из вершины по символу <tex> l </tex></span>
createVertex(cur, l, r) <span style="color:Green">// создаем новую вершину</span>
'''else'''
finish = go[cur][s[l]].r
hasCut = ''false''
'''for''' j = start '''to''' finish and l + j - start < n <span style="color:Green">// для каждого символа на ребре из текущей вершины</span>
'''if''' (s[l + j - start] != s[j]) <span style="color:Green">// если нашли не совпадающий символ</span>
<span style="color:Green">// создаем вершину на ребре</span>
old = go[cur][s[l]]
createVertex(cur, l, j - 1)
go[count][s[j]].v = old
go[count][s[j]].r l = j go[count][s[j]].l r = finish
createVertex(count, l + j - start, r)
hasCut = ''true''
'''void''' createVertex('''int''' cur, '''int''' l, '''int''' r):
go[++count] = '''new''' Vertex()
go[cur][s[l]].v = count
go[cur][s[l]].l = l
go[cur][s[l]].r = r
Этот алгоритм работает за время <tex>O(n^2)</tex>, однако [[Алгоритм Укконена| алгоритм Укконена]] позволяет построить сжатое суффиксное дерево за <tex>O(n)</tex>.
# Вставить новую вершину как сына вершины с глубиной <tex>lcp</tex>.
В вершинах дерева <tex>Node</tex> мы будем хранить предка <tex>\mathtt {parent}</tex>, [[Стек| стек]] детей в лексикографическом порядке ребер <tex>\mathtt{children}</tex>, глубину вершины в символах от корня <tex>\mathtt{depth}</tex>.
Соответственно, конструктор вершины имеет вид <code>Node(Node parent, '''int''' depth)</code>.
<code>
'''Node ''' addNextSuffix('''Node ''' previous, '''int''' length, '''int''' lcp):
'''if''' (previous.depth == 0 '''or''' previous.depth == lcp) <font color=green> // Добавляем к сыновьям текущей вершины </font>
added = '''Node'''(previous, length)
previous.children.push(added)
'''return''' added
'''else'''
'''if''' previous.parent.depth < lcp: <font color=green> // Нужно разрезать ребро </font> inserted = '''Node'''(prevous.parent, lcp)
previous.parent.children.pop()
previous.parent.children.push(inserted)
'''return''' addNextSuffix(previous.parent, length, lcp)
'''Node ''' buildSuffixTree('''int[]''' suf, '''int[]''' lcp, '''int''' length): root = '''Node'''('''null''', 0)
previous = root
'''for''' i = 1 '''to''' length
</code>
В процессе построения мы нигде не запоминали сами позиции строки, соответствующие ребрам. Чтобы их восстановить, достаточно определить максимальный суффикс, который проходит по этому ребру. Для этого с помощью [[Обход в глубину, цвета вершин| обхода в глубину]] посчитаем для каждой вершину дерева максимальную глубину ее листа <tex>\mathtt{maxDepth}</tex>.
Тогда ребро <tex>s[start, end]</tex> определяется так:
<code>
'''functionvoid''' calculatePositions('''Node ''' parent, '''Node ''' child, '''int''' stringLength):
start = stringLength - child.maxDepth + parent.depth
end = start + child.depth - parent.depth - 1
Тогда суффиксный массив строится из суффиксного дерева [[Обход в глубину, цвета вершин| обходом в глубину]] в указанном порядке.
Пусть длина строки <tex>\mathtt{length}</tex>, глубина листа в символах <tex>\mathtt{depth}</tex>, тогда номер суффикса <tex>\mathtt{i = length - depth}</tex>.
Для заполнения массива <tex>lcp</tex> нам понадобится вершина <tex>\mathtt{minNode}</tex>, которая будет означать вершину с минимальной глубиной, в которую мы поднимались при переходе между суффиксами. Поскольку мы точно поднимались туда, но не поднимались выше, это будет [[Сведение задачи LCA к задаче RMQ| наименьший общий предок]] этих узлов. Из этого следует, что у рассматриваемых суффиксов совпадает ровно <tex>\mathtt{lcp = minNode.depth}</tex> символов.
<code>
'''int''' curPos = 0
'''Node ''' minNode = root
<font color=green>// Для заполнения нужно вызвать dfs(root) </font>
'''functionvoid''' dfs('''Node ''' n):
'''if''' n.children.size == 0
suf[curPos] = length - n.depth
Чтобы найти строки, ветвящиеся влево, нужно проверить все внутренние вершины суффиксного дерева на различность влево. Если какая-то вершина <tex>v</tex> будет различна влево и удовлетворять свойству ветвимости право, то строка, соответствующая вершине <tex>v</tex> будет ветвится вправо и влево.
Чтобы найти вершины различные влево, нужно хранить левый символ для каждой вершины или информацию о том, что она различна влево. Для поиска строки, ветвящейся влево, нужно промаркировать всё дерево. Сделать это можно при помощи [[Обход в глубину, цвета вершин| обхода в глубину]]. Начиная с корня, спускаясь вниз, для листов левый символ уже известен {{---}} при добавление нового суффикса в дерево записываем левый символ для него в лист, для вершины <tex>v</tex> запустим проверку:.
:'''Случай 1.'''Если среди левых детей <tex>v</tex> есть хотя бы один, удовлетворяющий свойству различности влево, то обозначаем <tex>v</tex> как различную влево вершину (в суффиксном дереве свойство различности влево передаётся от детей к родителю {{---}} строка соответствующая вершине <tex>v</tex> и строка соответствующая ребёнку <tex>v</tex> начинаются с одного и того же символа).
:'''Случай 2.'''Если среди левых символов детей <tex>v</tex> нет ни одного со свойством различная влево вершина, то проверяем на совпадение левые символы детей.
::'''Случай 2.1.'''Если все левые символ детей <tex>v</tex> одинаковы и эквивалентны <tex>x</tex>, то записываем в <tex>v</tex> этот символ <tex>x</tex>.
::'''Случай 2.2.'''Если не все левые символы детей <tex>v</tex> эквивалентны, то записываем в <tex>v</tex>, что она различна влево.
Так как время проверки <tex>v</tex> пропорционально числу детей, время работы всего алгоритма {{---}} <tex>O(n)</tex>.
