Неотрицательные суммируемые функции

<< >>

Будем рассматривать пространство с [math]\sigma[/math]-конечной, полной мерой.

Пусть [math]E[/math] - произвольное измеримое множество, [math]f: E \to \mathbb{R_{+}}[/math] - измеримая функция.

Рассмотрим набор измеримых множеств [math] \mathcal E = \{ e \} [/math], такой, что [math]e \subset E[/math], [math]\mu e \lt +\infty[/math], [math]f[/math] - ограничена на [math]e[/math]. В такой ситуации существует интеграл Лебега [math]\int \limits_{e} f d\mu[/math].

Определение:

Интеграл [math]\int\limits_{E}fd\mu = \sup\limits_{e} \int\limits_{e}fd\mu[/math]

Определение:

[math] f [/math] суммируема на [math] E [/math], если [math]\int\limits_{E}fd\mu \lt +\infty[/math]

Класс [math]\mathcal E[/math] непуст, так как всегда [math]\varnothing \in \mathcal E[/math].

Более того, по сигма-конечности меры, можно рассмотреть объединение [math]X = \bigcup \limits_{n} X_n[/math], [math]\mu X_n \lt +\infty[/math]:

Пусть [math]E_m = E(f(x) \le m)[/math], [math]E = \bigcup \limits_{m = 1}^{\infty}E_m[/math], но

[math]E = E \cap X = \bigcup\limits_{m, n} (E_m \cap X_n)[/math]

[math]E_m \cap X_n \subset X_n[/math], поэтому [math]\mu(E_m \cap X_n) \lt \mu X_n \lt +\infty[/math] (на множестве [math]E_m \cap X_n[/math] [math]f[/math] — ограничена), следовательно, [math]\forall E_m \bigcap X_n \in \mathcal E[/math].

Все [math]e \in \mathcal E[/math] будем условно называть "хорошими множествами".

Теорема:

Пусть [math]E[/math] — измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части: [math]E = \bigcup \limits_{n} E_n[/math]. [math]f[/math] — измеримо, [math]f: E \to \mathbb{R_{+}}[/math]. Тогда [math]\int \limits_{E} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Заметим, что мы не предполагаем суммируемость [math]f[/math]. [math]\forall E_n \in E: [/math] если [math]e[/math] — хорошее относительно [math]E_n[/math], то [math]e[/math] — также хорошее относительно [math]E[/math]. По свойствам граней [math]\int \limits_{E_n} f \le \int \limits_{E} f[/math]. Если хотя бы на одном из [math]E_n[/math] [math]f[/math] не суммируема, то [math]\int \limits_{E} f = +\infty[/math], тогда неравенство тривиально. Cледовательно, [math]\forall E_n:\ \int \limits_{E_n} f_n \lt +\infty[/math], то есть, [math]f[/math] — суммируемма на всех [math]E_n[/math]. Если [math]e[/math] — хорошее относительно [math]E = \bigcup \limits_{n}[/math], то [math]e_n = E_n \bigcap e[/math] - дизъюнктны. [math]e = \bigcup \limits_{n} e_n[/math] - также дизъюнктное объединение. Так как [math]f[/math] ограничена на [math]e[/math], то [math]f[/math] ограничена и на всех [math]e_n[/math]. Мера [math]e[/math] конечна, отсюда, по [math]\sigma[/math]-аддитивности интеграла Лебега, [math]\int \limits_{e} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{e_n} f[/math]. [math]\int \limits_{e_n}f \le \int \limits_{E_n} f[/math] для любого [math] e_n [/math], следовательно, [math]\int \limits_{e} f \le \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n}f[/math]. Переходим к точной верхней грани: [math]\int \limits_{E}f \le \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f[/math]. Докажем теперь неравенство в обратную сторону: [math]f[/math] — суммируема на всех [math]E_n[/math], [math]\forall \varepsilon \gt 0[/math]: [math]\int \limits_{E_n} f - \frac{\varepsilon}{2^n} \lt \int \limits_{e_n} f[/math]. Просуммируем по [math] n [/math]: [math]\sum \limits_{n = 1}^{N} \int \limits_{E_n} f - \sum \limits_{n = 1}^{N} \frac{\varepsilon}{2^n} \lt \sum \limits_{n = 1}^{N} \int \limits_{e_n} f = \int \limits_{\bigcup \limits_{n=1}^{N} e_n \in E} f \le \int \limits_{E} f[/math]. Устремим [math]N \to \infty[/math], что можно сделать, так как это числа: [math]\sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f - \varepsilon \le \int \limits_{E} f[/math]. Устремив [math]\varepsilon \to 0[/math], приходим к противоположному неравенству, таким образом, равенство доказано.

[math]\triangleleft[/math]

[math]\sigma[/math]-аддитивность позволяет переносить на любые [math]f \ge 0[/math] стандартные свойства интеграла Лебега, например, линейность. Действительно, [math] \int \limits_{E}(f + g) = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g[/math] для [math]f, g \ge 0[/math]:

Чтобы свести ситуацию к ограниченным функциям, мы разбиваем [math]E[/math] на измеримые, дизъюнктные множества. [math]E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{f_n}(n - 1 \le f \lt n)[/math]. Аналогично, [math]E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{g_n}(n - 1 \le g \lt n)[/math].

После этого, [math]E = \bigcup \limits_{m,n = 1}^{\infty}(E_{f_n} \cap E_{g_m}) = \bigcup \limits_{p=1}^{\infty} B_p[/math]. За счет [math]\sigma[/math]-конечности меры, можно считать, что [math]\forall p: \mu B_p \lt +\infty[/math].

За счет [math]\sigma[/math]-аддитивности интеграла от неотрицательной функции:

[math]\int \limits_{E} (f+g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} (f + g) = \sum \limits_{p} (\int \limits_{B_p} f + \int \limits_{B_p} g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p}f + \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} g = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g[/math]. Получили линейность.

<< >>