Изменения

[[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|<wikitex<]][[Интеграл Римана-Стилтьеса|>>]] Рассмотрим $<tex>f : [a, b] \to \mathbb{R}$ </tex> и ее разбиение $<tex>\tau: a = x_0 < x_1 \dots < x_n = b$</tex>

'''Вариацией''' функции $<tex>f$ </tex> по разбиению $<tex>\tau$ </tex> называется $<tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|$</tex>.<br>'''Полной вариацией''' называется $<tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)$</tex>.<br>$<tex>f$ </tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если $<tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty$</tex>.<br>Класс функций ограниченной вариации обозначается как $<tex>\bigvee(a, b)$</tex>.

Замечание: попутно за <tex>\bigvee</tex> будем обозначать класс <tex> 2 \pi</tex>-периодических функций ограниченной вариации на <tex> Q </tex>. {{ТеоремаУтверждение

$f \in \bigvee (a, b) \Leftrightarrow Пусть <tex>f = f_1 - f_2$, где $f_{1,2}$ — монотонно неубывающие функции.<br/tex>$f$ — функция монотонно неубывает, тогда она ограниченной вариации тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций.

Некоторые вспомогательные утверждения:По определению неубывания, <tex>|f(x_{k+1}) - f(x_k)| = f(x_{k+1}) - f(x_k)</tex>, тогда вариация равна <tex>f(b) - f(a)</tex>, то есть конечна. Аналогично с невозрастающей функцией.}} 

Пусть $f$ монотонно не убывает, тогда она ограниченной вариацииНе все непрерывные функции имеют ограниченную вариацию.

По определению неубыванияПостроим пример такой функции. ''Cразу заметим, что рассматривать функции с ограниченной производной <tex>(a, b)</tex> смысла нет. Действительно, если <tex>f' < M</tex>, $то по [[Классические_теоремы_дифференциального_исчисления#lagrange|Лагранжу]]: <tex>\exists \widetilde{x}: |f(x_{k+1}) - f(x_k)| = |f'(\widetilde{x})| \Delta x_k \Rightarrow \bigvee_a^b (x_f) \le M(b - a) \le + \infty</tex> и полная вариация такой <tex>f</tex> конечна.'' Возьмем <tex>f(x) = x \sin(\frac 1x), f(0) = 0</tex>.Возьмем систему точек <tex>x_k = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>. <tex> f(x_k) = \frac{1}{\frac{\pi}{2} +1\pi k} \sin(\frac{\pi}{2}+ \pi k) = \frac{(- 1)^k}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>.<tex> | f(x_k)$, тогда вариация равна $- f(bx_{k+1}) | = | \frac{(- f1)^k}{\frac{\pi}{2} + \pi k} - \frac{(-1)^{k+1}}{\frac{\pi}{2} + \pi (k + 1)}| = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} + \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi (ak + 1)$}</tex>. Видно, то есть конечна. Аналогично с не возрастающей функциейчто это образует расходящийся гармонический ряд, сумма которого имеет порядок <tex> \ln(n) </tex>.

 {{УтверждениеТеорема|about=аддитивность вариации

Пусть $<tex>f'$ опредлена на $(x) \in \bigvee(a, bc)$ </tex> и ограничена<tex>b \in [a, c]</tex>, тогда $<tex>\bigvee\limits_a^c (f$ — функция ограниченной вариации) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.

По определению полной вариации, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2: \bigvee\limits_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1), \bigvee\limits_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2)</tex>. <tex> \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) - 2 \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) = \bigvee\limits_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) \le \bigvee\limits_a^c(f) </tex> Устремляя <tex>\varepsilon</tex> к 0, получаем <tex> \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) \le \bigvee\limits_a^c (f)</tex>. 2) Для любого <tex>\varepsilon > 0 \exists \tau \bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^c (f, \tau)</tex>. Однако в это разбиение может не войти точка <tex>b</tex>, поэтому получим из него разбиение <tex>\tau' : a=x_0 < \dots < x_p = b < x_{p+1}< \dots < x_{p+m}= c</tex>. Пусть <tex>\tau_1</tex> — разбиение <tex>a=x_0 < \dots x_p=b</tex>, а <tex>\tau_2</tex> — разбиение <tex>x_p = b \dots x_{p+m} = c</tex>. Тогда:

2) Пусть f' ограничена на (aУстремляя <tex>\varepsilon</tex> к 0, b).|f'| получим <tex> \le M bigvee\Rightarrow |flimits_a^c (x_{k+1}) - f(x_k)| = |f'(\tilda x_k)| \Delta x_k le \Rightarrow bigvee\bigvee_alimits_a^b (f) < + \bigvee\infty limits_b^c (Более того, f' — суммируема) </tex>. Объединяя этот результат с результатом 1 пункта, поэтому вариация ограничена)приходим к требуемому равенству.}}

Не любая непрерывная {{Теорема|statement=<tex>f</tex> — функция имеет ограниченную вариацию:ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).|proof=fВозьмем в качестве <tex>f_1</tex> функцию <tex>f_1(x) = x \sin bigvee\frac 1xlimits_a^x (f)</tex>, [0, 1] тогда по аддитивности она будет неубывать.Определим как <tex>f_2</tex> функцию <tex>f_2(x) = f_1(x) - f(0x) = 0</tex>. Докажем, что она монотонно неубывает.

f'(x) = Пусть <tex>\sin \frac 1x - \frac 1x \cos \frac 1xПроизводная ограничена на [tau: a, < x_1 < x_2 < b</tex>.

ТУТ ХРЕНЬ КАКАЯНадо доказать, что <tex>f_1(x_1) -ТОf(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)</tex>, или что <tex>f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)</tex> (используем утверждение 1).

Теорема a < b < c \Rightarrow \bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = \bigvee\limits_b^c (f) — аддитивность В обратную сторону следствие верно, так как монотонные функции - функции ограниченной вариации, и линейная комбинация функций ограниченной вариации тоже является функцией ограниченной вариации.Док-во: \forall \tau_1: a = x_0 < \dots < x_p = b, \forall \tau_2: b = x_p < \dots < x_{p + m} = c }

По определению полной вариации:== См. также ==\forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2[http:\bigvee_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee_a^b (f, \tau_1)\bigvee_b^c (f) //matematika.phys.msu.ru/files/stud_spec/127/lectionii- \varepsilon < \bigvee_b^c (f, \tau_2)1.pdf]

\bigvee_a^b (f, \tau_1) + \bigvee_b^c (f, \tau_2) = \bigvee_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) - 2 \varepsilon [[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|< \bigvee_a^c (f), в пределе</wikitex]][[Интеграл Римана-Стилтьеса|>>]][[Категория:Математический анализ 2 курс]]