Об обратных теоремах теории приближения функций

<<>> на главную

Ранее была установлена теорема Джексона, показывающая, что скорость, с которой наилучшее приближение функции тригонометрическими полиномами стремится к нулю, напрямую связана с её структурными свойствами.

Чем более гладкая функция, тем быстрее стремятся к ней её наилучшие приближения. Бернштейн обнаружил, что верно и обратное: скорость приближения определяет структурные свойства функции. Установим одну из теорем Бернштейна, потом приведём общие формулировки.

Теорема (Бернштейн):

[math]E_n(f) \le \frac{A}{n^2} \Rightarrow \exists f'[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По теореме Вейерштрасса, если [math]T_n(f)[/math] — полином наилучшего приближения [math]f[/math] степени [math]\le n[/math], то [math]T_n(f) \rightrightarrows f[/math] на [math]\mathbb{R}[/math] [math]T_{2^n} \rightrightarrows f[/math] [math]U_{2^n} = T_{2^n} - T_{2^{n-1}}[/math] [math]T_1 + U_{2^1} + U_{2^2} + \ldots = f[/math] [math]\|U'_{2^n}\| \le 2^n\|U_{2^n}\|[/math] [по неравенству Бернштейна] [math]\le 2^n(\|T_{2^n} - f\| + \|T_{2^{n-1}} - f\|)[/math] [наилучшее прибижение] [math]2^n(E_{2^n}(f) + E_{2^{n-1}}(f))[/math] [math]\le 2 \cdot 2^nE_{2^{n-1}}(f)[/math] [math]\le 2\cdot2^n\frac{A}{2^{2n-2}}[/math] [math]= \frac{A}{8}\cdot \frac1{2^n}[/math] Ряд из производных мажорируется сходящейся геометрической прогрессией [math]\Rightarrow[/math] по признаку Вейерштрасса, он равномерно сходится [math]\Rightarrow[/math] ряд можно почленно дифференцировать [math]\Rightarrow[/math] у [math]f[/math] есть производная.

[math]\triangleleft[/math]

Примечание: можно было бы попросить [math]E_n(f) \le \frac1{n^{\alpha + 1}}[/math], где [math]\alpha \gt 0[/math].

<<>> на главную