Задача о перпендикуляре

Задача о перпендикуляре

Определение:

Задачей о перпендикуляре называется задача отыскания ортогональной составляющей и проекции вектора [math]x[/math], то есть его разложения по формуле: [math]x= \mathcal{P}_{L}^{\bot}x+ \mathcal{P}_{M}^{\bot}x[/math] (где [math]\mathcal{P}_{L}^{\bot}x[/math] — ортогональный проектор на пп [math]L[/math], [math]L[/math] — пп унитарного пространства [math]E[/math], a [math]\mathcal{P}_{M}^{\bot}x[/math] — ортогональный проектор на пп [math]M[/math], [math]M[/math] — ортогональное дополнение [math]E[/math]).

Способ 1(через ОРТН базис)

Утверждение:

1) Найти [math]\{e_i\}_{i=1}^{k}[/math] — ОРТН базис [math]L[/math] 2) [math] \mathcal{P}_{L}^{\bot}x = \sum\limits_{i=1}^{k} \left\langle x,e_i \right\rangle e_i; \ \mathcal{P}_{M}^{\bot} x = x - \mathcal{P}_{L}^{\bot}x. [/math]

Способ 2 (через систему уравнений)

Утверждение:

Рассмотрим [math]\{a_1, a_2...a_k\}[/math] — базис [math]L[/math] (не ОРТН) [math]x= \mathcal{P}_{L}^{\bot}x+ \mathcal{P}_{M}^{\bot}x=\gamma^1a_1 + \gamma^2a_2+...+\gamma^ka_k+\mathcal{P}_{M}^{\bot}x \ (*)[/math] [math] \begin{cases} \left\langle a_1,(*) \right\rangle: \left\langle a_1,x \right\rangle = \overline{\gamma_1}\left\langle a_1,a_1 \right\rangle+...+\overline{\gamma_k}\left\langle a_1,a_k \right\rangle \\ \left\langle a_2,(*) \right\rangle: \left\langle a_2,x \right\rangle = \overline{\gamma_1}\left\langle a_2,a_1 \right\rangle+...+\overline{\gamma_k}\left\langle a_2,a_k \right\rangle \\ \cdot \\ \cdot \\ \left\langle a_k,(*) \right\rangle: \left\langle a_k,x \right\rangle = \overline{\gamma_1}\left\langle a_k,a_1 \right\rangle+...+\overline{\gamma_k}\left\langle a_k,a_k \right\rangle \end{cases} [/math] Решая эту систему уравнений для неизвестных [math]\overline{\gamma_i}[/math], находим коэффициенты разложения [math]\mathcal{P}_{L}^{\bot}x[/math]. [math]\mathcal{P}_{M}^{\bot} x = x - \mathcal{P}_{L}^{\bot}x. [/math]