Изменения

[[Файл:MNIST_compression_methods_comparison.png|300px|thumb|250pxright|Пример работы методов [[Стохастическое вложение соседей с t-распределением|t-SNE]], Isomap<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Isomap Isomap]</ref>, Sammon mapping<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Sammon_mapping Sammon mapping]</ref>, LLE <ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Nonlinear_dimensionality_reduction#Manifold_learning_algorithms Manifold learning algorithms]</ref> на dataset-е наборе данных [[Известные наборы данных|MNIST]]]]

'''t-SNE (== Стохастическое вложение соседей с t-распределением)''' -- алгоритм визуализации высокоразмерных данных с помощью представления каждой точки данных в двух или трехмерном пространстве.==

Данный алгоритм является модификацией алгоритма Пусть стоит задача вложить множество точек в пространстве высокой размерности <tex>\{x_i \mid x_i \in X\}</tex> в пространство низкой размерности. Обозначим множество точек в пространстве низкой размерности, которые получаются после вложения через <tex>\{y_i \mid y_i \in Y\}</tex>. '''Стохастическое вложение соседей''' (англ. ''Stochastic Neighbor Embedding, SNE'') конвертирует расстояния в Евклидовом пространстве высокой размерности между точками в условные вероятности <tex>p_{j|i}</tex>. <tex>p_{j|i}</tex> {{---}} вероятность, который будет описан далеечто точка <tex>x_i</tex> выберет в качестве своего соседа точку <tex>x_j</tex> среди остальных точек данных. Будем считать, что вероятность для точки <tex>x_i</tex> найти соседа падает с увеличением расстояния от точки <tex>x_i</tex> в соответствии с распределением Гаусса<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Нормальное_распределение Нормальное распределение]</ref> с нулевым [[Математическое ожидание случайной величины|математическим ожиданием]] и [[Дисперсия случайной величины|стандартным отклонением]] <tex>\sigma_i</tex>.В соответствии с этим <tex>p_{j|i}</tex> выражается как

Пусть стоит задача вложить высокоразмерные точки <tex>x_i \in X</tex> в низкоразмерное пространство. Обозначим точки, которые получаются после вложения через <tex>y_i \in Y</tex>. '''SNE (Стохастическое вложение соседей)''' конвертирует расстояния в высокоразмерном Евклидовом пространстве между точками в условные вероятности <tex>p_{j|i}</tex>. <tex>p_{j|i}</tex> - вероятность, что точка <tex>x_i</tex> выберет в качестве своего соседа точку <tex>x_j</tex> среди остальных точек данных. Будем считать, что вероятность для точки <tex>x_i</tex> найти соседа падает с увеличением расстояния от точки <tex>x_i</tex> в соответствии с распределением Гаусса с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением <tex>\sigma_i</tex>. В соответствии с этим <tex>p_{j|i}</tex> выражается как <br /><tex>p_q_{j|i} = \fracdfrac{\exp{(-{\left\Vert x_i y_i - x_j y_j \right\Vert}^2/2\sigma_i^2)}}{\sum\limits_{k \neq i}\exp{({-\left\Vert x_i y_i - x_k y_k \right\Vert}^2/2\sigma_i^2)}}</tex>.

Теперь определим похожие Данные вероятности <tex>q_{i|j}</tex> получаются из тех же самых предложений, что были сделаны для низкоразмерного пространствавысокой размерности, куда вкладываются высокоразмерные точки. <br \>за исключением того, что все распределения Гаусса имеют стандартное отклонение <tex>q_{j|i} = \frac{\exp{(-dfrac{\left\Vert y_i - y_j \right\Vert}^2)}1}{\sum\limits_sqrt{k \neq i}\exp{({-\left\Vert x_i - x_k \right\Vert}^2)}}</tex>для всех точек.

ЗаметимЕсли удастся хорошо вложить одно пространство в другое, что данное распределение получается из тех же самых предложений, что были сделаны для высокоразмерного пространства, за исключением того, что все распределения Гаусса имеют стандартное отклонение <tex>\fracp_{1i|j}</tex> должны стать похожими на <tex>q_{\sqrt{2}i|j}</tex> . В связи с этим SNE пытается уменьшить разницу в распределении вероятностей. Стандартной мерой для всех точекизмерения различия вероятностей служит дивергенция Кульбака-Лейблера<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Расстояние_Кульбака_—_Лейблера Расстояние Кульбака—Лейблера]</ref>:

Если удастся хорошо вложить высокоразмерное пространство в низкоразмерное, должны совпасть распределения совместных вероятностей. То есть <tex>p_{i|j}</tex> должны стать похожими на <tex>q_{i|j}</tex>. В связи с этим SNE пытается уменьшить разницу в распределении вероятностей. Стандартной мерой для измерения различия вероятностей служит дивергенция Кульбэка-Лейблера. Определяется она так: <br /><tex>KL(P \Vert Q) = \sum\limits_j p_j \log_2 \fracdfrac{p_j}{q_j}</tex>.

В данном случае имеем <tex>|X|</tex> распределений. Тогда целевую функцию<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Целевая_функция Целевая функция]</ref>, который которую будем оптимизировать, определим как сумму соответствующих дивергенций КульбэкаКульбака-Лейблера. То есть: <br /><tex>C = \sum\limits_i KL(p_i \Vert q_i) = \sum\limits_i \sum\limits_j p_{j|i} \log_2 \frac{p_{j|i}}{q_{j|i}}</tex>.

Дивергенция Кульбэка-Лейблера не является симметричной мерой, поэтому, например, вложение близких точек в удаленные даёт гораздо большее значение ошибки, чем вложение далеких точек в близкие. Другими словами, целевая функция нацелена на сохранение локальной структуры вокруг точек<tex>C = \sum\limits_i KL(p_i \Vert q_i) = \sum\limits_i \sum\limits_j p_{j|i} \log_2 \dfrac{p_{j|i}}{q_{j|i}}</tex>.

Параметры <tex>\sigma_i</tex> подбираются следующим образом. Каждое Дивергенция Кульбака-Лейблера не является симметричной мерой, поэтому, например, вложение близких точек в удаленные даёт гораздо большее значение параметра порождает свое распределение вероятностей <tex>P_i</tex>. Это распределение имеет энтропию <br /><tex>H(P_i) = \sum\limits_j p_{j|i}\log_2 p_{j|i} </tex>ошибки, <br /> которая возрастает с ростом <tex>\sigma_i</tex>чем вложение далеких точек в близкие. В самом алгоритме <tex>\sigma_i</tex> вычисляются с помощью бинарного поиска по заранее заданной пользователем величине, называемой перплексиейДругими словами, которая определяется как <br /><tex>Perp(P_i) = 2 ^ {H(P_i)}</tex>целевая функция нацелена на сохранение локальной структуры вокруг точек.

Параметры <tex>\sigma_i</tex> подбираются следующим образом. Каждое значение параметра порождает свое распределение вероятностей <tex>P_i</tex>. Это распределение имеет энтропию<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Информационная_энтропия Информационная энтропия]</ref> <tex>H(P_i) = \sum\limits_j p_{j|i}\log_2 p_{j|i} </tex>, которая возрастает с ростом <tex>\sigma_i</tex>. В самом алгоритме <tex>\sigma_i</tex> вычисляются с помощью [[Вещественный двоичный поиск|вещественного двоичного поиска]] по заранее заданной пользователем величине, называемой перплексией<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Perplexity Perplexity]</ref>: <tex>Perp(P_i) = 2 ^ {H(P_i)}</tex>. Изначально точки <tex>y_i</tex> сэмплируют в низкоразмерном пространстве низкой размерности в соответствии с Гауссовским распределением Гаусса с маленьким стандартным отклонением с математическим ожиданием в нуле, далее идет оптимизация целевой функции. Она проводится [[Стохастический градиентный спуск|методом градиентного спуска]]. Градиент равен: <br /> <tex>\frac dfrac {\delta C} {\delta y_i} = 2 \sum\limits_j (p_{j|i} - q_{j|i} + p_{i|j} - q_{i|j})(y_i - y_j)</tex>

Есть следующая физическая интерпретация модели. Между точками в низкоразмерном В пространстве низкой размерности натянуты пружины между каждой парой точек <tex>y_i</tex> и <tex>y_j</tex>. , действующие в направлении <tex>y_i - y_j</tex>. Пружины могут притягивать или отталкивать точки в зависимости от расстояния между ними. Сила, прикладываемая пружиной, пропорциональна её длине <tex>\left\Vert y_i - y_j \right\Vert</tex> и жесткости <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Жёсткость Жесткость]</ref> <tex>p_{j|i} - q_{j|i} + p_{i|j} - q_{i|j}</tex>. Оптимизация функционала в данном случае данной интерпретации эквивалентна поиску положения точек, в котором будет наблюдаться равновесие сил. == Симметричное стохастическое вложение соседей == Следующая модификация SNE носит название '''симметричное стохастическое вложение соседей''' (англ. ''Symmetric Stochastic Neighbor Embedding, Symmetric SNE''), которая будет использоваться дальше в t-SNE. Симметричный SNE в качестве альтернативы использует совместные вероятности вместо условных. Теперь: <tex>C = KL(P \Vert Q) = \sum\limits_i \sum\limits_j p_{i j} \log_2 \dfrac {p_{i j}} {q_{i j}}</tex>. Очевидным образом можно определить <tex>q_{i j}</tex>: <tex>q_{i j} = \dfrac {\exp ({ -{\left\Vert y_i - y_j \right\Vert}^2 }) } {\sum\limits_{k \neq l} \exp ({ -{\left\Vert y_k - y_l \right\Vert}^2) } }</tex>, но то же решение для <tex>p_{i j}</tex> привело бы к проблеме, что для [[Выброс|выброса]] <tex>x_i</tex> <tex>p_{i j}</tex> будет очень маленькой для любого <tex>x_j</tex>. Таким образом, будет почти нулевой соответствующая дивергенция Кульбака-Лейблера для любого распределения <tex>q_{i j}</tex>. Это означало бы, что положение точки <tex>y_i</tex> определялось бы очень неточно относительно положения других точек и не было бы особой разницы в том, где она расположена.  Таким образом, в симметричном SNE в качестве <tex>p_{i j}</tex> рассматривается следующая величина:

<tex>p_{i j} == Симметричный SNE ==\dfrac {p_{i|j} + p_{j|i} } {2|X|}</tex>.

Следующая модификация SNE носит название '''симметричный SNE'''. Было странноОчевидный плюс в том, что в классическом SNE <tex>\sum\limits_j p_{i j|i} > \neq p_dfrac 1 {i2|X|j}</tex> и для всех точек, что хорошо скажется на выбросах. А также теперь <tex>q_p_{i j|i} \neq q_= p_{j i|j}</tex>. Симметричный SNE -- попытка исправить эту ситуацию путем определения совместных вероятностей вместо условных. Теперь: <br />, <tex>C = KL(P \Vert Q) = \sum\limits_i \sum\limits_j p_q_{i j} \log_2 \frac {p_= q_{i j}} {q_{i j}}</tex>.

Очевидным образом определяется <tex>q_{i j}</tex>: <br /><tex>q_{i j} = \frac {\exp { -{\left\Vert y_i - y_j \right\Vert}^2 } } {\sum\limits_{k \neq l} \exp { -{\left\Vert y_k - y_l \right\Vert}^2 } }</tex>, <br />но то же решение для <tex>p_{i j}</tex> привело бы к проблеме, что для выброса <tex>x_i</tex> <tex>p_{i j}</tex> будет очень маленькой для любого <tex>x_j</tex>, таким образом будет почти нулевой соответствующая дивергенция Кульбэка-Лейблера для любого распределения q_{i j}. Это означало бы, что положение точки <tex>y_i</tex> определялось бы очень неточно относительно положения других точек. Поэтому в t-SNE <tex>p_{i j}</tex> определили как: <br /><tex>p_{i j} = \frac {p_{i|j} + p_{i|j} } {2|X|}</tex>. <br />Очевидный плюс такого определения в том, что <tex>\sum\limits_j p_{i j} > \frac 1 {2|X|}</tex> для всех точек, что хорошо скажется на выбросах. А также теперь <tex>p_{i j} = p_{j i}</tex>, <tex>q_{i j} = q_{j i}</tex>. Авторами утверждаетсяАвторы утверждают, что симметричный SNE вкладывает данные в низкоразмерное пространство низкой размерности почти также так же как и ассимитричныйассиметричный, а иногда даже лучше.

<tex>\frac dfrac {\delta C} {\delta y_i} = 2 \sum\limits_j (p_{i j} - q_{i j})(y_i - y_j)</tex>.

Необходимо понимать, что невозможно абсолютно точно моделировать расстояния между точками пространства высокой размерности в низком. Например, в десятимерном пространстве существует <tex>11</tex> равноудаленных друг от друга точек, в то время как на плоскости может быть максимум <tex>3</tex> равноудаленные точки. При использовании обычного SNE возникает следующая проблема, которая вытекает из разного распределения вероятностей в высокоразмерном пространствах высокой и низкоразмерном пространствахнизкой размерностей. Пусть есть некоторое высокоразмерное пространствовысокой размерности. Пусть в нем точки <tex>x_i</tex> равномерно распределены в нем вокруг некоторой точки <tex>x_ix_0</tex>. Теперь попытаемся вложить высокоразмерное пространство в низкоразмерноенекотором шаре с радиусом <tex>R</tex>. Заметим, что область , чем больше размерность пространства, доступная для размещения умеренно-удаленных тем больше точек высокоразмерного пространства относительно области пространствапопадет рядом с границей шара, доступное для размещения поэтому количество близких к <tex>x_0</tex> точек высокоразмерного пространства достаточно мала по сравнению с тем же самым ростом размерности будет убывать. Теперь попытаемся вложить данное пространство в плоскость. Пусть точки <tex>x_i</tex> перешли в точки <tex>y_i</tex> на плоскости. Заметим, что если попытаться вложить точки <tex>x_i</tex> в круг радиуса <tex>R</tex> с центром в точке <tex>y_0</tex> образуется большое количество маленьких расстояний между точками <tex>y_i</tex>, т.к. объем сферы в исходном высокомерном пространстве (нужно сравнить отношения объемов сфер в низкоразмерном и высокоразмерном пространствах)несопоставим с площадью круга на плоскости. Таким образом, если мы хотим правильно моделировать близкие маленькие расстояния и не иметь лишних маленьких расстояний, возникающих между умеренно-удаленными между собой точкамина плоскости, следовало бы поместить умеренно-удаленные точки подальше от <tex>x_0</tex> точки <tex>x_i</tex>ещё дальше, чем в исходномпространстве. В Но в таком случае , вспоминая физическую интерпретацию, на слишком далекие соответствующие им точки в низкоразмерном пространстве <tex>y_i</tex> будет действовать небольшая сила притяжения от точки к точке <tex>x_iy_0</tex>. Но, принимая Принимая во внимание остальные точки, таких сил что точек наподобие <tex>x_0</tex> в реальной выборке данных будет достаточно много, их пружины вместе образуют силу, что схлопнет сожмет все точки в нуле и будет мешать образованию кластеров. == Стохастическое вложение соседей с t-распределением == Чтобы избежать проблемы скученности, было решено использовать в пространстве низкой размерности t-распределение Стьюдента с одной степенью свободы<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Стьюдента Распределение Стьюдента]</ref> вместо распределения Гаусса. Данное распределение очень похоже на распределение Гаусса, но имеет большую вероятностную массу на участках, отдаленных от нуля (Рис. 2.), что решает описанную выше проблему, т.к. теперь удаленные точки лучше отталкиваются. [[Файл:Normal t-distribution comparison.png|300px|right|thumb|Рис. 2. Сравнение плотностей нормального распределения (синий цвет) и t-распределения с одной степенью свободы (красный цвет)]]

Чтобы избежать проблемы скученности было решено использовать в низкоразмерном пространстве t<tex>q_{i j} = \dfrac {(1 + {\left\Vert y_i -распределение Стьюдента с одной степенью свободы вместо распределения Гаусса. Данное распределение очень похоже на распределение Гаусса, но имеет большую вероятностную массу на участках, отдаленных от нуля, что решает описанную выше проблему, т.к. теперь удаленные точки лучше отталкиваютсяy_j \right\Vert}^2)^{-1}} {\sum\limits_{k \neq l} (1 + {\left\Vert y_k - y_l \right\Vert}^2)^{-1}}</tex>.

В связи с заменой Еще одно свойство данного распределения состоит в том, что <tex>q_{i j}</tex> определяется следующим образом: <br /><tex>q_{i j} = \frac {(1 + {\left\Vert y_i - y_j \right\Vert}^2)^{-1}} {\sum\limits_{k \neq l} (1 + {\left\Vert y_k - y_l \right\Vert}^2)^{-1}}</tex>описывает закон обратных квадратов<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Закон_обратных_квадратов Закон обратных квадратов]</ref> для далеких точек в пространстве низкой размерности, что позволяет думать не об отдельных точках, а о кластерах, которые будут взаимодействовать между собой как отдельные точки.

Еще одно свойство данного После замены распределения состоит в томизменился градиент целевой функции, что <tex>(1 + {\left\Vert y_i - y_j \right\Vert}^2)^{-1}</tex> описывает закон обратных квадратов для далеких точек в низкоразмерном пространстве, что позволяет думать не об отдельных точках, а о кластерах, которые будут взаимодействовать между собой как отдельные точки.теперь он равен:

После замены распределения изменился градиент целевой функции, теперь он равен: <br /><tex>\frac dfrac {\delta C} {\delta y_i} = 4 \sum\limits_j (p_{i j} - q_{i j})(y_i - y_j)(1 + {\left\Vert y_i - y_j \right\Vert}^2)^{-1}</tex>.

== Оптимизации в t-SNE ==

1) # Первая оптимизация называется "раннее сжатие". В данной оптимизации на ранних итерациях оптимизации к целевой функции добавляется [[Регуляризация|<tex>L_2</tex>-штраф ]] на расстояния в низкоразмерном пространственизкой размерности, что влечет за собой сжатие всех точек в нуле. В связи с этим кластерам будет легче переходить друг через друга, чтобы правильно расположиться в пространстве.# Вторая оптимизация называется "раннее преувеличение". В данной оптимизации на ранних итерациях <tex>p_{i j}</tex> умножаются на некоторое положительное число, например на <tex>4</tex>. Так как <tex>q_{i j}</tex> остаются теми же самыми, они слишком маленькие, чтобы моделировать соответствующие <tex>p_{i j}</tex>. Как следствие, образуются очень плотные кластера, которые широко раскиданы в пространстве низкой размерности. Это создает много пустого пространства, которое используется кластерами, чтобы легко менять и находить наилучшее взаимное расположение. [[Файл:T-SNE iterations visualization.gif||200px|thumb|right|Рис. 3. Визуализация работы t-SNE]]

2) Вторая оптимизация называется "раннее преувеличение"На Рис. В данной оптимизации на ранних итерациях <tex>p_{i j}</tex> умножаются на некоторое положительное число3 представлена визуализация работы t-SNE, например на <tex>4</tex>. Так как <tex>q_{i j}</tex> остаются теми же самыми, они слишком маленькие, чтобы моделировать соответствующие <tex>p_{i j}</tex>. Как следствие, образуются очень плотные кластера, которые широко раскиданы в низкоразмерном пространстве. Это создает много пустого пространства, которое используется кластерами, чтобы легко менять и находить наилучшее взаимное расположениекоторой видны эффекты от применения приведенных выше оптимизаций.

# [http://www.jmlr.org/papers/volume9/vandermaaten08a/vandermaaten08a.pdf Laurens van der Maaten and Geoffrey Hinton {{---}} Visualizing Data using t-SNE]# [http://datareview.info/article/algoritm-t-sne-illyustrirovannyiy-vvodnyiy-kurs datareview.info {{---}} Алгоритм t-SNE. Иллюстрированный вводный курс]# [https://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_t-distribution Wikipedia {{---}} Multivariate t-distribution] [[Категория: Машинное обучение]][[Категория: Уменьшение размерности]]