1632
правки
Изменения
м
Пусть дана обучающая выборка Основная идея BrownBoost {{---}} на каждой итерации у слабого классификатора есть вес <tex> \alpha_i </tex> и количество прошедшего в течение итерации времени <tex>Tt_i </tex> длины , и эти величины напрямую связаны между собой. Чтобы их найти, надо решить систему нелинейных уравнений. Она задана дифференциальным уравнением<center><tex>m[*]: \; T \frac{dt}{d \alpha} = \gamma = \frac{\sum\limits_{(x_1x, y_1y) \ldots in T}\exp(x_m-\frac{1}{c}(r_i(x, y_my)+\alpha h_i(x)y +s-t), ^2)h_i(x)y}{\; x_i sum\in Xlimits_{(x, y_i y) \in Y = T}\exp(-\frac{-1}{c}(r_i(x,y)+1\alpha h_i(x)y +s-t)^2)}</tex></center>и граничными условиями: <tex>t = 0, \; \alpha = 0</tex>.
Основная идея BrownBoost {{---}} на каждой итерации у найденного слабого классификатора есть вес Решением системы будет считаться пара чисел <tex> \alpha_i , t_i: \; t_i = s</tex> и количество прошедшего в течение итерации времени или $\gamma_i \leq \nu$. Решить данную систему можно методом Ньютона<texref> t_i <[https://tex> и эти величины напрямую связаны между собойru.wikipedia. Они задаются системой нелинейных уравнений вида:org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0 Метод Ньютона]<center/ref>, как это было предложено автором BrownBoost'а Йоав Фройндом<texref>\frac{dt}{d \alpha} = \frac[https://cseweb.ucsd.edu/~yfreund/papers/brownboost.pdf Yoav Freund {\sum\limits_{(x,y) \in T}exp(-\frac{1}{c}(r_i(x, y)+\alpha h_i(x)y +s_i-t)^2)h_i(x)y}{\sum\limits_{(x,y) \in T}exp(-\frac{1}{c}(r_i(x, y)+\alpha h_i(x)y +s_i-t)^2)}An adaptive version of the boost by majority algorithm]</texref></center>Граничные условия: <tex>t = 0, \; \alpha = 0</tex>Параметр t - аналогия к параметру T из AdaBoost.
rollbackEdits.php mass rollback
[[Бустинг, AdaBoost | Бустинг]] {{---}} это композиция алгоритмов, где на каждой итерации алгоритм пытается исправить все ошибки композиции предыдущих алгоритмов.
== LogitBoost ==
=== Идея алгоритма ===
Проблема AdaBoost {{---}} если модель сильно разреженная, есть какое-то количество выбросов в данных, то у модели будет большая ошибка и слабая обощающая способность. Основной принцип адаптивных бустингов {{---}} стремимся увеличить веса объектов, которые предсказаны плохо, чтобы они попали в следующую выборку данных. В AdaBoost это делается при помощи домножения на экспоненту. Мы хотим, чтобы неверные предсказания быстрее попали в верную область. Для этого вместо экспоненты можно использовать логистическую функцию. У нее более крутой изгиб, она сильнее изменяется, поэтому веса неверных объектов будут больше увеличиваться, а верные объекты наоборот быстрее перестанут учитываться. Такая модель лучше работает с обучением, так как быстрее получается выделить не совсем характерные данные и обучить ансамбль на них.
В случае LogitBoost алгоритма мы на каждой итерации минимизируем логистическую функцию потерь: $-\log(1 + e^{-2yH})$, где $y$ {{---}} значение, $H$ {{---}} построенный классификатор.
Рассмотрим алгоритм сразу для классификации на несколько классов: пусть у нас есть $m$ объектов-векторов и $J$ классов. Заведем матрицу, в которой элемент $w_{ij} ${{---}} вес $i-$го объекта $j-$го класса. Изначально $w_{ij} = \frac{1}{m}, \; F_j(x) = 0, \; p_j(x) = 0$.
=== Алгоритм ===
'''function''' LogitBoost():
'''for $t = 1,\ldots,T$:'''
'''for $j = 1,\ldots,J$:'''
<font color=green>//Пересчитываем веса и нормализацию для j-го класса</font>
<tex>w_{ij}=p_j(x_i)(1-p_j(x_i))</tex>
<tex>z_{ij}=\frac{y_{ij}-p_j(x_i)}{w_{ij}}</tex>
При помощи взвешенного МНК строим линейную регрессию $z$ от $x$ с весами $w$ на $h_{tj}$
<tex>h_{tj}(x) = \frac{J-1}{J} (h_{tj}(x) - \frac{1}{J}\sum_{k=1}^{J}h_{tk}(x))</tex>
<tex>H_{j}(x) = H_j(x)+h_{tj}</tex>
<tex>p_{j}(x) = \frac{e^{H_j(x)}}{\sum_{k=1}^{J} e^{H_k(x)}}</tex>
'''return''' <tex>\underset {x}{\operatorname {argmax}}H_j(x)</tex>
== BrownBoost ==
=== Идея алгоритма ===
Расмотренные ранее AdaBoost и LogitBoost плохо работают при наличии шума в данных, что может приводить к переобучению. На каждой итерации бустинга объектам присваиваются веса, и большой вес у объекта показывает, что алгоритм плохо отработал на нем. Это может быть индикатором того, что этот объект шумовой. ТогдаВ случае Ada- и LogitBoost модель будет пытаться обучиться на них и через несколько итераций останутся только шумовые данные. Однако, если "откидывать" «откидывать» объекты с большим весом при работе алгоритма, на итоговый классификатор будут влиять незашумленные объекты. Из-за этого итоговая функция ошибки может улучшиться. Пусть дана обучающая выборка <tex>T</tex> длины <tex>m: \; T = (x_1, y_1) \ldots (x_m, y_m), \; x_i \in X, y_i \in Y = \{-1,+1\}</tex>. Мы можем задать время $c$, которое будет работать алгоритм бустинга. Чем больше это время, тем дольше будет работать алгоритм, а значит тем меньше данных он будет считать зашумленными и «откидывать». Каждая итерация занимает $t_i$ времени, и мы считаем, сколько осталось работать времени {{---}} $s$. Можно связать время работы алгоритма $c$ и итоговую ошибку:<center><tex>\epsilon = 1 - \operatorname {erf} (\sqrt c)</tex></center>где $erf$ {{---}} функция ошибок<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D1%88%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BA Функция ошибок]</ref>. Из этого следует, что мы можем получить любую желаемую итоговую ошибку, передав соответствующий параметр $c$ (это можно вычислить при помощи обратной функции ошибок). Для всех объектов обучающий выборки хранятся веса на каждой итерации $r_i(x, y)$. Изначально они все равны 0. Чтобы избежать вырожденные случаи, введем константу $\nu > 0$.
=== Алгоритм ===
'''function''' BrownBoost($T$, $c$):
'''do:'''
<tex>W_i(x, y) = e^{\frac{-(r_i(x, y)+s)^2/}{c}}</tex> <font color=green>//Задаем вес для каждого объекта</font> Вызываем слабый базовый алгоритм и находим классификатор <tex>h_i: \; \sum_{(x, y)} W_i(x, y)h_i(x)y = \gamma_i gamma > 0</tex> <font color=green>//<tex>h_i: \; X \rightarrow Y</tex></font> <tex>\alpha_i, t_i \leftarrow</tex> Решение системы уравнений [1*]
<tex>r_{i+1}(x, y) = r_i(x, y) + \alpha_i h_i(x) y</tex> <font color=green>//Обновляем веса каждого объекта</font>
s = s - t <font color=green>//Обновляем оставшееся время</font>
'''while''' <tex>s > 0</tex>
'''return''' <tex>H(x) = \textrm{sign}\left(\sum\limits_{i=1} \alpha_i h_i(x)\right)</tex> <font color=green>//$H(x)$ {{---}} результирующий классификатор</font>
=== Мультиклассовая классификация ===
Данный алгоритм можно обобщить с бинарной классификации на мультиклассовую при помощи метода Error-Correcting Output Codes (ECOC)<ref>[https://www.jmlr.org/papers/volume1/allwein00a/allwein00a.pdf E. L. Allwein, R. E. Schapire, and Y. Singer {{---}} Reducing multiclass to binary: A unifying approach for margin classifers]</ref>. Для этого введем ECOC матрицу. Для каждого элемента $(x_n, y_n)$ и класса $j$ вес будет пересчитываться следующим образом:
<center><tex>r_{i+1, j}(x_n, y_n) = r_{i,j}(x_n, y_n) + \alpha_i h_{i,j}(x_n) \lambda_j^n</tex></center>
где $\lambda_j^n$ соответствует элементу класса $j$ в ECOC матрице.
== Примечания==
<references />
== См. также ==
*[[Бустинг, AdaBoost | Бустинг, AdaBoost]]
*[[Виды ансамблей | Виды ансамблей]]
*[[XGBoost | XGBoost]]
*[[CatBoost | CatBoost]]
