Изменения

'''Cуффиксным массивом''' (англ. ''suffix array'') строки <tex>s[1 .. n]</tex> называется массив <tex>suf</tex> целых чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>, такой, что суффикс <tex>s[suf[i]..n]</tex> — <tex>i</tex>-й в [[Лексикографический_порядок|лексикографическом ]] порядке среди всех непустых суффиксов строки <tex>s</tex>.}}

s[sa[1]] = alphabet[1]

s[sa[i]] = alphabet[cur]

{{main|Алгоритм_поиска_подстроки_в_строке_с_помощью_суффиксного_массиваАлгоритм поиска подстроки в строке с помощью суффиксного массива}}

=== Подсчет Подсчёт LCP для лексикографически соседних суффиксов ===

{{main|Алгоритм_Касаи_и_дрАлгоритм Касаи и др.}}

Вычисление числа различных подстрок в строке за время <tex>O(|s| \log(|s|))</tex> и <tex>O(|s|)</tex> дополнительной памяти. Для вычисления числа различных подстрок используется с использованием [[Алгоритм_Касаи_и_др.|LCP]]. Более подробное описание можно найти на <ref name="ref1">[http://e-maxx.ru/algo/suffix_array#8 емаксеMAXimal :: algo :: Суффиксный массив :: Количество различных подстрок]</ref>.

Поиск максимальной по длине строки, ветвящейся влево и вправо за время <tex>SA + O(n)</tex>. Данная задача также может быть [[Сжатое_суффиксное_дерево#Поиск строки максимальной длины, ветвящейся влево и вправо|решена]] при помощи [[Сжатое_суффиксное_дерево|суффиксного дерева]].

{{Задача|definition=Поиск самой длинной строки <tex>p</tex>, входящей в строку <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь за .}}==== Основные положения ====Построим суффиксный массив строки <tex>t</tex> и посчитаем на нем [[Алгоритм_Касаи_и_др.|LCP]].Для суффикса <tex>SA + O(n)s</tex>символом <tex>s'</tex> будем обозначать индекс этого суффикса в суффиксном массиве.

==== Основные положения ====Построим суфмас строки <tex>t</tex> и посчитаем на нем LCP алгоритмом [[Алгоритм_Касаи_и_др.|Касаи, Аримуры, Арикавы, Ли, Парка]].Рассмотрим какие-нибудь суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex> строки <tex>t</tex>. Обозначим их позиции в суфмасе за <tex>i'</tex> и <tex>j'</tex>такие, причем что <tex>i' \leq leqslant j'</tex>.

Введем Для произвольной строки <tex>s</tex> и двух суффиксов, соответствующих ей, введем два условия:# <tex>\max(len(|i')|, len(|j')|) \geq geqslant \min(len(|i')|, len(|j')|) + |s|</tex># <tex>|s| = \min_min\limits_{k={i'}\dots{j'}}(lcp_k)lcp[k]</tex> 

Если для каких-нибудь суффиксов <tex>i</tex> и <tex>j</tex> соответствующая им строка Строка <tex>s</tex> удовлетворяет условиям 1 и 2, то она входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясьтогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию 1.

proof'''Необходимое условие:''' Если строка <tex>s</tex> входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь, то один из суффиксов <tex>i</tex> и <tex>j</tex> хотя бы на <tex>|s|</tex> длиннее другого. Т.е. условие 1 выполнено. '''Достаточное условие:''' Из того, что выполняется условие 1 следует, что один из суффиксов хотя бы на <tex>|s|</tex> длиннее другого. При этом они оба начинаются со строки <tex>s</tex>. Поэтому строка <tex>s</tex> входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь.

Если строка <tex>s</tex> входит является максимальной входящей в <tex>t</tex> дважды , то она удовлетворяет условию 2.|proof=Пусть это не так и <tex>|s| < \min\limits_{k=i'\dots j'}lcp[k]</tex> (больше она быть не пересекаясьможет). Тогда получим, что <tex>|s|</tex> меньше, то соответствующие ей суффиксы чем длина наибольшего общего префикса суффиксов <tex>i</tex> и <tex>j</tex> удовлетворяют условиям 1 , чего быть не может по построению <tex>i</tex> и 2<tex>j</tex>.|proof= proof

Этот алгоритм можно реализовать за <tex>O(n^3+ \mathrm{SA})</tex> или, если немного подумать, то и за <tex>O(n^2+ \mathrm{SA})</tex>. Однако, он не позволяет достигнуть нужной нам асимптотикигде <tex>\mathrm{SA}</tex> {{---}} время построения суффиксного массива.

Чтобы достигнуть асимптотики <tex>O(n)</tex>, будем Будем перебирать всевозможные подстроки <tex>s</tex> строки <tex>t</tex>, такие, что они входят в <tex>t</tex> дважды и удовлетворяют условию 2 при любых <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, где <tex>i</tex> и <tex>j</tex> {{- --}} суффиксы, соответствующие двум любым вхождениям <tex>s </tex> в <tex>t </tex> (т.е. не обязательно непересекающимся). Для каждой такой строки <tex>s</tex> попробуем найти <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, удовлетворяющие условию 1. Таким образом, мы рассмотрим все строки, соответствующие условиям 1 и 2, и, следовательно, найдем ответ. Алгоритм корректный. Заметим теперь, что искомые строки <tex>s</tex> {{---}} это префиксы суффиксов <tex>k</tex> длины <tex>lcp_klcp[k]</tex>. Для того, чтобы найти для каждой такой строки <tex>s</tex> суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, удовлетворяющие условию 1, воспользуемся [[Стек|стеком]].

# Будем идти по суффиксному массиву в порядке лексикографической сортировки суффиксов. В стеке будем хранить префиксы уже рассмотренных суффиксов <tex>k</tex> длины <tex>lcp_klcp[k']</tex> (т.е. строки <tex>s</tex>) в порядке увеличения длины. Для каждой строки из стека также будем хранить минимальный по длине суффикс <tex>i</tex> и максимальный по длине <tex>j</tex>. Обозначим за <tex>st</tex> вершину стека, а за <tex>s</tex> {{---}} текущий рассматриваемый суффикс.

## * <tex>lcp_{|st} | = lcp_slcp[s']</tex>. <br>Тогда просто обновляем <tex>i</tex> и <tex>j</tex> для вершины стека: '''if''' (<tex>len_i > len_s</tex>) '''then''' <tex>i = s</tex>;.## * <tex>lcp_{|st} | \geq lcp_sgeqslant lcp[s']</tex>. Тогда <br>В этом случае добавляем новую вершину в стек и обновляем для нее неё <tex>i</tex> и <tex>j</tex>: <tex>i = j = s;</tex>.## * <tex>lcp_{|st} | \leq lcp_sleqslant lcp[s']</tex>. <br>Достаем вершину из стека и "''пробрасываем" '' значения <tex>i</tex> и <tex>j</tex> из нее неё в новую вершину стека. Это нужно для того, чтобы не потерять значения <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, которые были посчитаны для строк большей длины, но так же актуальны для строк меньшей длины.# Если в какой-то момент <tex>i</tex> и <tex>j</tex> станут удовлетворять условию 1, обновляем ответ: '''if''' (<tex>len_s > len_{ans}</tex>) '''then''' <tex>s = ans</tex>;.

Т.к. подсчёт <tex>lcp</tex> выполняется за <tex>O(n)</tex>, и для каждого суффикса мы выполняем <tex>O(1)</tex> операций, то итоговое время работы <tex>O(n+ \mathrm{SA})</tex>, где <tex>\mathrm{SA}</tex> {{---}} время построения суффиксного массива.