Алгебра скалярных полиномов

Определение:

Скалярным полиномом называется [math]p(\lambda) = \sum_{i=1}^m \alpha_i \lambda^i[/math], где [math]\alpha_i\in\mathbb{C}[/math], а [math]\forall m[/math].

Утверждение:

Пространство всех полиномов является коммутативной алгеброй

[math]\triangleright[/math]

Доказательство осуществляется проверкой всех свойств. 1) [math](p\cdot q)\cdot r = p\cdot(q\cdot r)[/math] 2) [math]p\cdot q = q\cdot p[/math] 3) [math](p + q)\cdot r = p\cdot r+ q\cdot r[/math] 4) [math](\beta p)\cdot q = p\cdot(\beta q)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Идеалом [math]\mathbb{J}[/math] алгебры полиномов [math]\mathbb{P}[/math] называется ее подпространство , такое что [math] \forall q \in \mathbb{J},\forall p \in \mathbb{P} \Rightarrow q \cdot p \in \mathbb{J} [/math].

Определение:

Фиксированный полином [math]p[/math] в равенстве [math]\mathbb{J}_p=p \mathbb{P}[/math] называется порождающим полиномом идеала [math]\mathbb{P}[/math]

Лемма:

Пусть [math]\mathbb{I}[/math] - единичный полином, т.е. [math]\mathbb{I} (\lambda) = 1[/math]. Тогда [math]\forall[/math] идеал, содержащий [math]\mathbb{I}[/math] - тривиальный полином и равен [math]\mathbb{P}[/math].

Лемма:

Пусть [math] \mathbb{J}_1,\ \mathbb{J}_2[/math] - идеалы [math]\mathbb{P}[/math], тогда [math]\mathbb{J} = \mathbb{J}_1 \cap \mathbb{J}_2[/math] и [math]\tilde{\mathbb{J}} = \mathbb{J}_1 \dotplus \mathbb{J}_2[/math] тоже идеалы.

Определение:

Пусть [math]\mathbb{J}[/math] - идеал [math]\mathbb{P}[/math]. Тогда [math]\mathrm{p}_J \ne 0[/math] называется минимальным полиномом этого идеала, если он в нем содержится и имеет минимальную степень.

Определение:

[math]\mathbb{J}[/math] называется тривиальным идеалом, если [math]\mathbb{J}=\mathbb{P}[/math] или [math]\mathbb{J}=\{0\}[/math].

Лемма:

Если [math]\mathbb{J}[/math] - идеал и не тривиальный, то [math]deg\ \mathrm{p}_J \gt 0 [/math]. , где [math]\mathrm{p}_J[/math] - минимальный полином идеала [math]\mathbb{J}[/math]

Теорема:

Пусть [math]\mathrm{p}_J - min[/math] полином [math]\mathbb{J} \Rightarrow \forall \mathrm{p}\in \mathbb{J}: \mathrm{p}\ \vdots \ \mathrm{p}_J[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Будем доказывать от противного. Пусть [math]\exists\mathrm{p}\in\mathbb{J} : \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{p}_J} = \mathrm{q} + \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}_J}[/math], где [math] deg\ \mathrm{r} \lt deg\ \mathrm{p}_J[/math]. Тогда [math]\mathrm{r} = \mathrm{p}-\mathrm{p}_J\cdot\mathrm{q}[/math] , где [math]\mathrm{p},\mathrm{p}_J\cdot\mathrm{q} \in \mathbb{J} \Rightarrow \mathrm{r}\in \mathbb{J}[/math] — противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Пусть [math]\mathrm{p}_J^1,\ \mathrm{p}_J^2[/math] — два минимальных полинома [math]\mathbb{J}[/math] , тогда [math]\mathrm{p}_J^1 = \alpha\mathrm{p}_J^2,\ \alpha \ne 0[/math]

Теорема:

Минимальный полином [math]\mathbb{J}[/math] является порождающим полиномом, т.е. если [math]\mathrm{p}_J - min[/math] полином [math]\mathbb{J} \Rightarrow \mathbb{J} = \mathrm{p}_J \cdot \mathbb{P}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \mathrm{p}_J\cdot\mathbb{P} = \mathbb{J}\Leftarrow \begin{cases} \forall\mathrm{p}\in\mathbb{J}\Rightarrow \mathrm{p} = \mathrm{p}_J\cdot \mathrm{q}\Rightarrow \mathbb{J}\subseteq \mathrm{p}_J\cdot \mathbb{P}\\ \mathrm{p}_J\cdot\mathrm{p}\in\mathbb{J}\Rightarrow\mathrm{p}_J\cdot\mathbb{P}\subseteq\mathbb{J} \end{cases} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{J1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J2} [/math], где [math]\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2}[/math] — соответствующие минимальные полиномы. Тогда, если [math]\mathbb{J}_1\subset \mathbb{J}_2\Rightarrow\mathrm{p}_{J1}\ \vdots\ \mathrm{p}_{J2}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\mathbb{J}_1\subset \mathbb{J}_2\Rightarrow \mathrm{p}_{J1}\in\mathbb{J}_2\Rightarrow\mathrm{p}_{J1}\ \vdots\ \mathrm{p}_{J2}[/math]. (чем меньше идеал как множество, тем больше степень минимального полинома)

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{J1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J2} [/math], где [math]\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2}[/math] — соответствующие минимальные полиномы. Так же пусть [math]\mathbb{J} = \mathbb{J}_1 \cap \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J}[/math]. — минимальный полином. Тогда [math]\mathrm{p}_J = [/math] НОК[math](\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2})[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\mathrm{p}_J = [/math] OK[math]\{p_{\mathbb{J}_1},\ p_{\mathbb{J}_2}\}[/math][math]\Leftarrow \begin{cases} \mathrm{p}_J \in \mathbb{J}_1 \Rightarrow \mathrm{p}_J\ \vdots\ \mathrm{p}_{J1}\\ \mathrm{p}_J \in \mathbb{J}_2 \Rightarrow \mathrm{p}_J\ \vdots\ \mathrm{p}_{J2} \end{cases} [/math] Рассмотрим [math]q \in \mathbb{J} - OK \{p_{\mathbb{J}_1},\ p_{\mathbb{J}_2)}\} \vdots \mathrm{p}_J \Rightarrow \mathrm{p}_J[/math] — НОК по определению [math]min[/math] полинома.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Пусть [math]\mathbb{J}=\mathbb{J}_1+\mathbb{J}_2 \ (\mathbb{J}\leftrightarrow \mathrm{p}_J, \mathbb{J}_1\leftrightarrow \mathrm{p}_{J1}, \mathbb{J}_2\leftrightarrow \mathrm{p}_{J2})[/math] тогда [math]\mathrm{p}_j=[/math]НОД[math]\{\mathrm{p}_{j1},\mathrm{p}_{j2}\}[/math]

Теорема:

Пусть [math]\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{J1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J2} [/math], где [math]\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2}[/math] — соответствующие минимальные полиномы. Так же пусть [math]\mathbb{J} = \mathbb{J}_1 \dotplus \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J}[/math]. Тогда [math]\mathrm{p}_J = [/math] НОД[math](\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2})[/math]

Теорема:

Пусть [math]\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{2} [/math], где [math]\mathrm{p}_{1},\ \mathrm{p}_{2}[/math] — соответствующие минимальные полиномы. Так же пусть [math]\mathrm{p}_{1},\ \mathrm{p}_{2}[/math] — взаимнопростые. Тогда [math]\exists \mathrm{q}_1,\ \mathrm{q}_2\in \mathbb{C} : \mathrm{p}_1\cdot\mathrm{q}_1 + \mathrm{p}_2\cdot\mathrm{q}_2 = \mathbb{I}[/math], где [math]\mathbb{I}[/math] — единичный полином.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\mathbb{J}_1 =\mathrm{p}_1\cdot\mathbb{P}\ ,\ \mathbb{J}_2 =\mathrm{p}_2\cdot\mathbb{P} [/math] Рассмотрим [math]\mathbb{J} = \mathbb{J}_1\cdot\mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_J = [/math] НОД[math](\mathrm{p}_1,\ \mathrm{p}_2) = \mathbb{I}\Rightarrow\mathbb{J}=\mathbb{P}[/math] А тогда очевидно, что [math]\mathrm{p}_1\cdot\mathrm{q}_1 + \mathrm{p}_2\cdot\mathrm{q}_2 = \mathbb{I}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть НОД[math]\{ \mathrm{p}_1,...,\mathrm{p}_k\} = 1\Rightarrow\exists\mathrm{q}_1...\mathrm{q}_k\in\mathbb{C}: \sum_{i=1}^k \mathrm{p}_i \cdot \mathrm{q}_i = \mathbb{I}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

по индукции.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]\mathrm{p} = \mathrm{p}_1\cdot ... \cdot \mathrm{p}_k[/math] , где любые [math]\mathrm{p}_i,\ \mathrm{p}_j[/math] — попарно взаимно простые делители [math]\mathrm{p}[/math] Рассмотрим [math]\mathrm{p}_i^1 = \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{p}_i}[/math]. Тогда [math]\exists\mathrm{q}_1...\mathrm{q}_k\in\mathbb{C}: \sum_{i=1}^k \mathrm{p}_i^1\cdot\mathrm{q}_j = \mathbb{I}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

следствие индукционного обобщения выше.

[math]\triangleleft[/math]