1632
правки
Изменения
м
'''Дерево Для решения поставленной задачи будем представлять дерево в виде его [[Эйлеровость графов|эйлерова обхода''' графа]], а затем будем работать с [[Эйлеровость графов|эйлеровым обходом]] (англ.''Euler tour tree'') {{---}} способ представления динамического дерева, позволяющий этого графа. Это позволит выполнять указанные операции запросы за <tex>O(\log n)</tex>.
==Свойство эйлерова обхода== Представим дерево в виде последовательности вершин, посещеннных посещенных в порядке эйлерова обхода , начиная с корнем в вершине вершины <tex>a</tex>.
При этом последовательность вершин между первым и последним вхождением вершины <tex>h</tex> дает эйлеров обход поддерева с корнем <tex>h</tex>.
[[Файл:Tour2.png|thumb|320px|center]]
==Операции==
===Изменение корня дерева (переподвешивание)===
Дано дерево с корнем в вершине <tex>a</tex>. Требуется переподвесить его к вершине <tex>h</tex>.
[[Файл:Tour13.png |thumb|320px|center]]
Для переподвешивания (англ. ''rerooting'') необходимо:
*Разбить эйлеров обход на три части <tex>S1 </tex>, <tex>H</tex>, и <tex>S2 </tex>, где <tex>H</tex> состоит из вершин между первым и последним вхождением нового корня <tex>h</tex>.
*Удалить первую вершину в <tex>S1 </tex>.
*Соединить в следующем порядке: <tex>H</tex>, <tex>S2 </tex>, <tex>S1 </tex>.
*Добавить <tex>\{h\}</tex> в конец последовательности.
В результате получим: [[Файл:Proba.png |center]]==Операции c эйлеровыми обходами==
[[ФайлДля добавления ребра <tex>(c, g)</tex>:Link11.png |thumb|400px|center]] Для связывания деревьев *Выберем любое вхождение вершины <tex>T1 c</tex> и в эйлеров обход дерева <tex>T2T1</tex>, где .*Разрежем эйлеров обход <tex>c\in T1\ </tex>, а на две части:*: <tex>g\in T2\A1</tex> добавлением ребра {{---}} часть обхода до выбранного вхождения вершины <tex>\{c, g\} \</tex> необходимо:, включая ее.*Переподвесить дерево : <tex>T1A2</tex> к вершине {{---}} часть обхода после выбранного вхождения вершины <tex>c</tex>, включая ее.*Переподвесить дерево Аналогично, выберем любое вхождение вершины <tex>g</tex> в эйлеров обход дерева <tex>T2</tex> к вершине и разрежем его на две части <tex>B1</tex> и <tex>gB2</tex>.*Соединить получившиеся эйлеровы обходы.*Добавить Соберем результирующий эйлеров обход в порядке <tex>A1, B2, B1</tex> (без первой повторяющейся вершины), <tex>\{c\}A2</tex> в конец последовательности. [[Файл:Link2.png|thumb|400px |center]]
В результате получим:Чтобы быстро находить место, где разрезать эйлеровы обходы деревьев <tex>T1</tex> и <tex>T2</tex>, будем хранить эйлеровы обходы в двоичных деревьях поиска. Ключом вершины для построения дерева поиска будет время посещения этой вершины эйлеровым обходом.Для каждой вершины дерева <tex>(T1, T2)</tex> будем хранить указатель на вершину в дереве поиска, которая соответствует вхождению вершины дерева в эйлеров обход. Тогда за <tex>O(1)</tex> переходим от вершины дерева к вершине дерева поиска, по которой за <tex>O(\log n)</tex> можно будет разделить дерево поиска на две части.
[[Файл:Cut1.png|thumb|350px|center]]
Для разбиения дерева на два поддерева путем разрезания ребра <tex>\{g, j\} \</tex> (если оно существует) необходимо:
*Переподвесить дерево к вершине <tex>g</tex>.
*Разделить дерево на части <tex>E1, V, E2</tex>, где <tex>V</tex> отрезок между первым и последним вхождением вершины <tex>j</tex>.
*Эйлеров обход первого поддерева образуется соединением <tex>E1</tex> и <tex>E2</tex>, с удалением повторного <tex>\{g\}</tex> в месте их соединения.
*Эйлеров обход второго поддерева образует <tex>V</tex>.
[[Файл:Cut2.png|thumb|350px|center]]
В результате получим:
[[Файл:Cut3.png|thumb|350px|center]]
==Реализация структуры==
{{Задача
|definition = Определить структуру данных для хранения эйлеровых обходов деревьев для наиболее эффективного выполнения указанных операций.
}}
При представлении деревьев в виде их эйлерова обхода выполнение каждой операции <tex>\mathrm{link}</tex> и <tex>\mathrm{cut}</tex> сводится к <tex>O(1)</tex> соединений и разбиений отрезков в последовательности вершин эйлерова обхода.
Рассмотрим следующие структуры данных для определения времени выполнения разбиения и соединения последовательностей, а также определение принадлежности вершин одной компоненте связности.
===Связные списки===
[[Файл:Linked lists.png |center]]
Каждое разбиение и соединение последовательностей требует <tex>O(1)</tex>.
ОднакоЧтобы быстро находить места в эйлеровом обходе,используя [[Список|двусвязные списки]] определение принадлежности вершин одной компоненте связности занимает которые соответствуют прохождению удаляемого ребра в дереве, будем для каждого ребра в дереве хранить ссылку на те места эйлерова обхода, где последовательно посещаем концы удаляемого ребра.Так, для ребра <tex>O(\log ng, j)</tex> в худшем случаехраним ссылки на узлы дерева поиска, соответствующие парам посещений концов этого ребра.
===Balanced Trees===[[Файл:Link23.png |thumb|400px|center|Рис.1a Исходное дерево <br>Рис.1b Эйлеров обход исходного дерева<br> Рис.1с Двоичное дерево поиска для хранения эйлерового обхода <br> Рис.1d Эйлеровы обходы получившихся деревьев]]
These are not binary search trees. We're using the shape of a red/black tree to ensure balance.===Сбалансированное дерево поиска===
Observation Операции объединения и разделения красно-черных деревьев выполняется за <tex>O(\log n)</tex><ref>[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1: Can still store pointers to the first and last occurrence .1.109.4875&rep=rep1&type=pdf Ron Wein {{---}} Efficient Implementation of each tree nodeRed-Black Trees.]</ref>.
Observation 2: If nodes store pointers to their parents, can answer is-connected(u, v) in time O(log n) by seeing if u and v are in the same tree.===Декартово дерево по неявному ключу===
Observation 3: RedТакже, можем хранить последовательности вершин эйлерова обхода в [[Декартово_дерево_по_неявному_ключу|декартовом дереве по неявному ключу]]. Глубина декартового дерева, построенного на массиве из <tex>n</black trees can be split and joined in time tex> вершин, будет поддерживаться равной <tex>O(\log n) each</tex>.
[[Файл:Balanced tree1Операции объединения и разделения также выполняются за <tex>O(\log n)</tex>.png |center|Пример ]]
The data structure:<br>Represent each tree as an Euler tour.<br>Store those sequences as balanced binary trees.<br>Each node in the original forest stores a pointer to its first and last occurrence.<br>Each node in the balanced trees stores a pointer to its parent==См.<br>также==link, cut, and is* [[Link-connected queries take time only O(log n) each.Cut Tree]]
Сравнительная табличка==Источники информации==* [https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_tour_technique Wikipedia {{---}} Euler tour technique]* [http://courses.csail.mit.edu/6.851/spring07/scribe/lec05.pdf Advanced Data Structures {{---}} Euler tour trees]* [http://codeforces.com/blog/entry/18369?mobile=true&locale=en CodeForces {{---}} On Euler tour trees]* [http://logic.pdmi.ras.ru/csclub/node/2819 Лекториум{{---}} Лекция Павла Маврина об эйлеровых обходах]
==Похожие [[Категория: Алгоритмы и структуры==данных]]Про link-cut trees[[Категория: Обходы графов]][[Категория: Эйлеровы графы]]
rollbackEdits.php mass rollback
==ВведениеЗадача о динамической связности=={{Задача|definition = Для решения задачи о динамической связности (англ.''dynamic connectivity problem'') требуется выполнение следующих операцийдинамически изменяющегося дерева выполнить следующие запросы:* '''<tex>\mathrm{link(u, w)}</tex>''' {{---}} добавить ребро <tex>(u, w) </tex> (при условии, что вершины <tex>u </tex> и <tex>w </tex> принадлежат разным деревьям),* '''<tex>\mathrm{cut(u, w)}</tex>''' {{---}} разрезать ребро <tex>(u, w) </tex> (при условии, что ребро <tex>(u, w) </tex> принадлежит дереву),* '''<tex>\mathrm{isConnected(u, w)}</tex>''' {{---}} определить принадлежат ли вершины <tex>u </tex> и <tex>w </tex> одной компоненте связности.}}
==Представление деревьев в виде эйлерова графа==
<br>
[[Файл:Tour1.png|thumb|320px|center]]
===Добавление ребра===
[[Файл:Link3Link22.png|thumb|400px|center|Рис.1a Исходный лес <br>Рис.1b Эйлеровы обходы деревьев<br> Рис.1с Двоичные деревья поиска для хранения эйлеровых обходов <br> Рис.1d Результирующий эйлеров обход]]
===Разрезание ребра===
Для каждой вершины будем хранить указатели на первое удаления ребра <tex>(g, j)</tex>:*Найдем в эйлеровом обходе дерева <tex>T</tex> две пары посещений концов удаляемого ребра <tex>g,j</tex> и последнее вхождение вершины <tex>j,g</tex>, которые соответствуют прохождениям по ребру <tex>(g, j)</tex> в последовательностьдереве <tex>T</tex>. Тогда возможно определять первое *Разрежем эйлеров обход дерева по этим парам на три части: <tex>A1, A2, A3</tex>.*Соединив <tex>A1</tex> и последнее вхождение вершины за <tex>OA3</tex> (1без повторяющейся первой вершины), получим эйлеров обход первого дерева, а <tex>A2</tex>дает эйлеров обход второго дерева.
===Проверка на связность===
Для того, чтобы проверить, лежат ли две вершины в одном дереве, достаточно подняться от вхождения каждой вершины в эйлеров обход (ссылку на которое мы храним) до корня дерева поиска, хранящего этот эйлеров обход.
==Способы реализации структуры==
Будем хранить последовательность вершин эйлерова обхода в виде сбалансированного двоичного дерева поиска, например, в виде [[Файл:Balanced tree.png |centerКрасно-черное дерево|Пример красно-черного дерева]]. При построении дерева ключом вершины будет время посещения этой вершины эйлеровым обходом.
== Примечания ==
<references/>
