Изменения

* Находим находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>,* К к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),* Дописываем дописываем минимальный возможный хвост.

* Находим минимальный суффикс, в котором есть <tex>0</tex>, его можно увеличить, не меняя оставшейся части* Вместо <tex>0 </tex> записываем <tex>1 </tex>

'''forint[]'''nextVector('' i 'int[]''' a): <font color= green>// <tex>n </tex> {{---}} длина вектора</font> '''downtowhile''' 1 (n >= 0) '''ifand''' (a[in] =!= 0) a[in] = 10 n-- '''forif''' j n = i + = -1 to n '''return''' ''null'' a[jn] = 01 '''breakreturn'''aПриведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.

|0||1||0||1||style="background:#FFCC00"|0||1||1||исходный битовый вектор

| || ||^|| || ^||находим элемент 0 (самый правый)начинаем идти с конца

|0||1||0||style="background:#FFCC00"|10||style="background:#FFCC00"|10||пока элементы равны 1||меняем его , заменяем их на 10

|0||1||1||style="background:#FFCC00"|1||0||style="background:#FFCC00"|0||меняем элементы правее первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на нули1

* Двигаясь справа налево, находим элаементэлемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)

'''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина перестановки</font> '''for''' i = n - 1 2 '''downto''' 10 '''if''' a[i] < a[i + 1] // min = i + 1; '''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1 '''if''' (a[j] = < a[min {]) '''and''' (a[j] > a[i], где ) min = j > i} swap(a[i], a[jmin]) reverse(a[, i + 1]..a[, n]- 1) '''return''' a '''return''''break'null''

* Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1 </tex> – максимальный элемент.* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex> и больше.* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание. '''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): <font color=green>// <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания</font> '''for''' i = 0 '''to''' k - 1 b[i] = a[i] b[k + 1] := n + 1; i := n;k - 1 '''while''' (i > = 0) '''and''' ((ab[i + 1] - ab[i]) < 2) '''do''' i := i - 1;- '''if''' i > = 0 b[i]++ '''thenfor''' j = i + 1 '''beginto'''k - 1 a b[ij] := ab[ij - 1] + 1; '''for''' j :i = i + 1 0 '''to''' k '''do'''- 1 a[ji] := ab[j - 1i] + 1; '''Вывод массива areturn'''a '''endelse''' '''elsereturn''' '''Вывести “No answer”'null''

== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества слагаемые == Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex> {{ОпределениеРассматриваемый алгоритм находит следующее [[комбинаторные объекты|id=def1. |definition='''Разбиением разбиение на множества''' называется представление множестваслагаемые]], как объединения одного или более попарнонепересекающихся подмножеств множествпри этом разбиение упорядоченно по возрастанию.}}Например, для <tex>n = 5</tex> существуют следующие разбиения: <tex> \{1, 2, 3, 4, 5\}</tex> * Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> <tex> \{1, 3, 5\}~ \{2, 4\}</tex> уменьшим последнее слагаемое на <tex> \{1\}~\{2\}~\{3\}~\{4\}~\{5\}</tex> и т. д., всего таких разбиений для <tex>n = 5</tex> существует 52. '''Примечание:'''<tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> и <tex>\{4** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, 5\} ~\{1, 2, 3\}</tex> - одно и то же разбиение увеличиваем предпоследнее слагаемое на подмножествавеличину последнего. Упорядочим все разбиения ** Если предпоследнее слагаемое умноженное на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически 2 меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> последнего, если верно одно из следующих условий: *существует то разбиваем последнее слагаемое <tex>is</tex> такое, что на два слагаемых <tex>i \in Aa</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in Bb</tex> таких, и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>. Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>ia</tex>равно предпоследнему слагаемому, что а <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} b = B_{i s - 1}, A_i < B_ia</tex>.  '''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''*Будем хранить подмножества с помощью двумерного массива, напримерПовторяем этот процесс, пока разбиение <tex> \{1остается корректным, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так: {| class="wikitable" border = 1|1||2||3|-|4||5|| |} * Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не сможем выполнить одно из действий, описанных ниже:** Заменить рассматриваемый элемент уже удаленным. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. '''Важное замечание''': мы не можем заменить 1ый элемент подмножества, мы можем только удалить его.** Дополнить рассматриваемое подмножество уже удаленным элементом. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементовдва раза меньше последнего.

<font color=green>// a <tex>b</tex> {{--- матрица}} список, содержащая подмножества содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер </ used - массив, в котором мы храним удаленные элементыfont> fl = ''false'list<int>''' nextPartition('''forlist<int>''' i = n b): b[b.size - 1 '''downto''' 0]-- b[b.size - 2]++ '''if''' можем добавить в конец подмножества элемент из usedb[b.size - 2] > b[b.size - 1] добавляем '''break''' '''for''' j b[b.size - 2] += ab[ib.size - 1] b.remove(b.size - 1 ) '''downtoelse''' 0 '''ifwhile''' можем заменить элемент, другим элементом из массива used заменяем fl b[b.size - 2] * 2 <= ''true''b[b.size - 1] '''break''' used b.add(ab[ib.size - 1]- b[jb.size - 2]) // удаляем элемент и добавляем его в массив '''if''' (fl) '''break''' b[b.size - 2] = b[b.size - 3] // далее выведем все получившиеся подмножества sort(used) '' 'for''return' i = 0 '''to''' used.size - 1 println(used[i]) // выводим лексикографически минимальных хвостb</code>

|1||2style="background:#FFCC00"|1|3|style="background:#FFCC00"|7|| || ||Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.

|41||5style="background:#FFCC00"|2| |} '''1 Шаг:''' {| classstyle="wikitablebackground:#FFCC00" border = 1|16||2||3||Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4

|41||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|54||||

| 1||^2|| 2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|2||Удалили элемент 5.

| '''1'''|| '''2'''|| '''2'''||used'''2'''||'''2'''||Следующее разбиение на слагаемые числа 9.

|1||2style="background:#FFCC00"|4|3|style="background:#FFCC00"|5||Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.

|1||style="background:#FFCC00"|4|5| |style="background:#FFCC00"|4||Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.

|^1|| 9|| style="background:#FFCC00"|4|Удалили |Удалим последний элемент 4. Так как он является первым в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.

|5'''1'''|| '''9'''|| ||usedСледующее разбиение на слагаемые числа 10.