Теорема Радо-Эдмондса (жадный алгоритм)

Теорема (Радо-Эдмондса):

На носителе матроида [math]M = \lt X, I\gt [/math] задана весовая функция [math]\omega: X \to \mathbb R[/math]. Пусть [math]A \in I[/math] - множество минимального веса среди независимых подмножеств [math]X[/math] мощности [math]k[/math]. Возьмем [math]x: A \cup x \in I[/math], [math]x \notin I[/math], [math]\omega (x)[/math] - минимальна. Тогда [math]A \cup x[/math] - множество минимального веса среди независимых подмножеств [math]X[/math] мощности [math]k + 1[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]B \in I[/math] - множество минимального веса среди независимых подмножеств [math]X[/math] мощности [math]k + 1[/math]. Очевидно, что [math]\exists y \in B\setminus A : A \cup y \in I[/math]. Тогда верны два неравенства: [math]\omega (A \cup y) = \omega (A) + \omega (y) \ge \omega (B)[/math] [math]\omega (B \setminus y) = \omega (B) - \omega (y) \ge \omega (A)[/math] Сложим эти два неравенства и получим [math]\omega (A) + \omega (B) \ge \omega (A) + \omega (B) [/math], что свидетельствует о том, что все знаки в неравенствах можно заменить на равенства. Следовательно [math]\omega (A \cup y) = \omega (A) + \omega (y) = \omega (B)[/math] [math]\omega (A \cup y) = \omega (B)[/math] Таким образом получаем, что если объединить множество [math]A[/math] с [math]x[/math] - минимальным из таких, что [math]A \cup x \in I[/math], то получим множество минимального веса среди независимых подмножеств [math]X[/math] мощности [math]k + 1[/math]. Теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]