Изменения
Нет описания правки
о базах
|statement= Пусть <tex>M</tex> — матроид и <tex>B_s</tex> — семейство его баз. Тогда: <br>
1) <tex>B_s \ne \varnothing</tex>;<br>2) если <tex>B_1, B_2 \in B_s</tex> и <tex>B_1 \ne B_2</tex>, то <tex>B_1 \nsubseteq B_2</tex> и <tex>B_2 \nsubseteq B_1</tex>;<br>
3) если <tex>B_1, B_2 \in B_s</tex>, то для <tex>\forall b_1 \in B_1 \: \exists b_2 \in B_2 </tex> такой, что <tex>(B_1 \setminus b_1) \cup b_2 \in B_s</tex>.
|proof=
2) Из теоремы о равномощности баз следует, что <tex>B_1 \neg \subset B_2</tex> и <tex>B_2 \neg \subset B_1</tex>.
А с условием <tex>B_1 \ne B_2</tex> получаем <tex>B_1 \nsubseteq B_2</tex> и <tex>B_2 \nsubseteq B_1</tex>; <br>
3) Введем следующие обозначения: <br><tex>A := B_2</tex> <br>По второй аксиоме [[Определение матроида|определения матроида]] <tex>B := B_1 \setminus b_1</tex> <br>Заметим, что <tex> A \setminus B = B_2 \setminus (B_1 \setminus b_1)</tex> содержит хотя бы один элемент <tex>b_2 \in B_2</tex>, то есть<tex>\exists x \in A \setminus B </tex>. <br><tex>x := b_2I</tex> <br>По теореме о равномощности баз <tex>|AB_2|>|BB_1 \setminus b_1|</tex>, значит для них выполняется третья аксиома . <br>Значит по третьей аксиоме [[Определение матроида|определения матроида]]. <br> С учетом введенных обозначений аксиома принимает вид: <br><tex> \exists b_2 \in B_2 </tex> такой, что <tex>(B_1 \setminus b_1) \cup b_2 \in I</tex>.<br>
А так как <tex>|(B_1 \setminus b_1) \cup b_2| = |B_1| \:</tex> и <tex>B_1</tex> — база, то <tex>(B_1 \setminus b_1) \cup b_2 \in B_s</tex>, что и требовалось доказать.
}}
