Степенные ряды

Определение

Определение:

Ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n(x - x_0)^n[/math] — степенной ряд.

Сделаем замену [math]y = x - x_0[/math]. Тогда этот ряд превращается в [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n y^n[/math]. Поэтому, далее будем рассматривать только ряды с [math]x_0 = 0[/math], переход к общему случаю получается сдвигом.

Лемма Абеля

Вся теория степенных рядов основана на лемме Абеля.

Лемма (Абель):

Пусть для некоторого [math]x_0[/math] [math]\sum\limits_{a_n} x_0^n[/math] — сходится. Тогда [math]\forall x_1 : |x_1| \lt |x_0|[/math] ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|[/math]сходится.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]|a_n x_1^n| = |a_n x_0^n| \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n[/math] [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n \to 0[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\exists N\ \forall n \gt N\ |a_n x_0^n| \lt 1[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]|a_n x_1^n| \lt \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n[/math], [math]q = \frac{|x_1|}{|x_0|} \lt 1[/math] [math]q^n[/math] — сходится, поэтому, интересующий наш ряд мажорируется сходящимся числовым рядом [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|[/math], и поэтому, сходится.

[math]\triangleleft[/math]

Радиус сходимости

Можно определить важнейшую для теории величину — радиус сходимости ряда.

Определение:

[math]R = \sum \{x | \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math] — сходится [math]\}[/math]. Заметим, что возможны случаи [math]R = 0[/math] и [math]R = \infty[/math].

Теорема:

Пусть есть ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math] и [math]R[/math] — его радиус сходимости. Тогда 1) [math]|x| \lt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд абсолютно сходится. 2) [math]\forall [a; b] \in (-R; R)[/math] ряд сходится абсолютно и равномерно. 3) [math]|x| \gt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд расходится. 4) [math]|x| = R[/math] — неопределённость.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) [math]|x| \lt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] по определению точной верхней грани, [math]\exists x_0 : |x| \lt x_0 \lt R[/math] и ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x_0^n[/math] сходится. Тогда по лемме Абеля получаем требуемое. 2) [math]\exists \delta \gt 0 : [a; b] \subset [-\delta; \delta] \subset (-R; R)[/math] [math]\forall x \in [a; b] : |x| \lt \delta[/math]. По пункту 1, [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n \delta^n[/math] — абсолютно сходится, значит, к [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math] на [math][a; b][/math] применим признак Вейерштрасса равномерной сходимости рядов, откуда всё следует. 3) Следствие определения радиуса сходимости. 4) Ну неопределённость [math]:)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Возникает вопрос: "Как найти [math]R[/math]?". В большинстве случаев достаточно следующей теоремы:

Теорема:

Пусть есть [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math], [math]R[/math] — его радиус сходимости. Тогда: 1) Если [math]\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|[/math], то [math]R = q[/math]. 2) Если [math]\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}[/math], то [math]R = q[/math] Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: [math]R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}[/math]. Но она сложная и никому не нужна.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем первый пункт. Второй доказывается аналогично. Рассмотрим [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x^n|[/math] и применим к нему признак Даламбера. [math]\frac{|a_{n + 1} x^{n + 1}|}{a_n x^n} = \left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right| |x| \to q^{-1} |x|[/math]. Тогда, по признаку Даламбера, при [math]q^{-1} |x| \lt 1[/math] ряд сходится, при [math]q^{-1} |x| \gt 1[/math] ряд расходится. Итого: [math]|x| \lt q[/math] — ряд сходится, [math]|x| \gt q[/math] — ряд расходится. Сопоставим с определением [math]R[/math] и получим [math]R = q[/math]. Второй пункт доказывается аналогично радикальным признаком Коши.

[math]\triangleleft[/math]

Примеры

Примеры. [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n[/math], [math]a_n = 1[/math], [math]\frac{|a_n|}{|a_{n + 1}| } = 1[/math]

[math]\sum\limits_{n = 0}^\infty n^n x^n[/math], [math]\sqrt[n]{|a_n|} = n \to +\infty[/math], [math]R = \frac1{+\infty} = 0[/math]

[math]\sum\limits_{n = 0}^\infty n^{-n}x^n[/math], [math]\sqrt[n]{|a_n|} = n^{-1} \to 0[/math], [math]R = \frac1{+0} = +\infty[/math]

[math]R[/math] может принимать все значения [math][0; +\infty][/math].

Возникает вопрос. Подставим в [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n[/math] вместо [math]x[/math] [math]x^2[/math]: [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n x^{2n} = \frac1{1 + x^2} : |x| \lt 1[/math]. Однако, сумма как функция определена для всех [math]x[/math]. Как это объяснить? Ответ: "В [math]\mathbb{R}[/math] это объяснить нельзя. Нужно использовать [math]\mathbb{C}[/math]".

[math]\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n z^{2n} = \frac1{1 + z^2}[/math]. Тут есть корни знаменателя. Этим фактом объясняется усечённый характер этого равенства.

Произведение степенных рядов

По теореме о радиусе сходимости, на промежутке сходимости ряд сходится абсолютно. Если вхять два степенных ряда, то на общё части их промежутка сходимости, ряды будут абсолютно сходиться, и, значит, с ними можно делать любые арифметические действия. В частности, их можно умножать по Коши:

[math]f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math], [math]g(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty b_n x^n[/math].

[math]\sum\limits_{k = 0}^n a_k x^k b_{n - k} x^{n - k} = \left(\sum\limits_{k = 0}^n a_k b_{n - k} \right) x^n = c_n x^n[/math]

[math]f(x) g(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty c_n x^n[/math]

Вывод: произведение двух степенных рядов по правилу Коши — степенной ряд с суммой, равной произведению сумм исходных рядов.

По теореме о радиусе сходимости, на любом отрезке из [math](-R; R)[/math] степенной ряд сходится равномерно.

Значит, по теоремам о почленном дифференцировании и интегрировании рядов, их можно дифференцировать и интегрировать, и опять будет получаться сходящийся степенной ряд.

Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?" Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда".

Утверждение:

Промежуток сходимости степенного ряда совпадает с промежутком сходимости продифференцированного степенного ряда

[math]\triangleright[/math]

Если [math]f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math], то [math]f'(x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty a_nnx^{n - 1}[/math], [math]\int f(x)dx = \sum\limits_{n = 0}^\infty \frac1{n + 1}a_n x^{n + 1}[/math] Выясним, что для [math]f(x)[/math] и [math]f'(x)[/math] одинаковые радиусы сходимости. [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^{n - 1} \to \sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^n[/math] [math]|a_nx^n| \leq |na_nx^n|[/math]. То есть, [math]x[/math], для которого сходится [math]\sum f'[/math], будет сходиться и [math]\sum f[/math]. Поэтому, промежуток сходимости продифференцированного ряда [math]\subset[/math] промежутку сходимости исходного ряда. Обратоное очевидно в силу того, что в пределах промежутка сходимости ряда его можно дифференцировать. Значит, эти промежутки совпадают.

[math]\triangleleft[/math]