Перехеширование

При любом виде хеширования возникают коллизии. В случае открытого хеширования большое количество коллизий приведет к большой длине цепочек, при закрытом хешировании - к переполнению массива.

Определение:

Перехеширование - процесс перехода к новой хеш-функции и (или) хеш-таблице для избежания переполнения таблицы или уменьшения времени работы операций с хеш-таблицей.

Перехеширование при разных типах хеширования

При открытом типе

При использовании открытого метода, элементы с одинаковым результатом хеш-функции помещают в список. Так как операции [math]Add(x)[/math], [math]Exists(x)[/math] и [math]Delete(x)[/math] работают за [math]O(l)[/math], где [math]l[/math] - длина списка, то с некоторого момента выгодно увеличить размер хеш-таблицы, чтобы поддерживать амортизационную стоимость операции [math]O(1)[/math].

Рассмотрим следующий алгоритм перехеширования: когда в хеш-таблицу добавлено [math]\frac{4}{3}n[/math] элементов, где [math]n[/math] - размер хеш-таблицы, создадим новую хеш-таблицу размера [math]2n[/math], и последовательно переместим в нее все элементы первой таблицы. При этом, сменим хеш-функцию так, чтобы она выдавала значения [math][0..2n-1][/math] (в функциях, использующих остаток от деления на длину таблицы, достаточно брать остаток от деления на [math]2n[/math]).

Найдем амортизационную стоимость добавления, после которого было сделано перехеширование, используя метод предоплаты. С момента последнего перехеширования было произведено не менее [math]\frac{2}{3}n[/math] операций [math]Add(x)[/math], так как изначально в массиве находится [math]\frac{2}{3}n[/math] элементов (или [math]0[/math] в начале работы), а перехеширование происходит при наличии [math]\frac{4}{3}n[/math] элементов.

Для проведения перехеширования необходимо произвести [math]\frac{4}{3}n[/math] операций [math]Add(x)[/math], средняя стоимость которых составляет [math]O(1)[/math] (Анализ открытого хеширования см. Т.Корман, второе издание, стр. 288), потратить [math]\frac{4}{3}n[/math] операций на проход хеш-таблицы, и [math]\frac{4}{3}n[/math] операций на удаление предыдущей таблицы. В итоге, если мы увеличим стоимость каждой операции [math]Add(x)[/math] на [math]6[/math], то есть на [math]O(1)[/math], операция перехеширования будет полностью предоплачена. Значит, амортизационная стоимость перехеширования при открытом типе хеш-таблицы равна [math]O(1)[/math].

При закрытом типе

При использовании хеширования с открытой адресацией, или закрытого хеширования, операции [math]Add(x)[/math], [math]Exists(x)[/math] и [math]Delete(x)[/math] в худшем случае работают за [math]O(k)[/math], где [math]k[/math] - количество уже добавленных в таблицу элементов, поэтому перехеширование надо проводить при неполном заполнении хеш-таблицы.

Будем проводить перехеширование при заполнении таблицы на [math]\frac{1}{2}n[/math], увеличивая размер таблицы в [math]2[/math] раза. Аналогично случаю с открытым хешированием, для перехеширования необходимо будет потратить [math]O(n)[/math] операций на обход таблицы, [math]O(n)[/math] операций добавления, и [math]O(n)[/math] операций на удаление таблицы. Так как операция добавления имеет не меньшую стоимость, чем элементарная операция, и между последовательными перехешированиями производится [math]O(n)[/math] добавлений, то можно предоплатить перехеширование, увеличив стоимость операции [math]Add(x)[/math] на [math]O(1)[/math], и не изменив стоимость остальных операций.

См. также

• Амортизационный анализ. Метод предоплаты
• Хеширование
• Открытое и закрытое хеширование

Источники

• Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест: Алгоритмы: построение и анализ, 2-е изд