Примеры матроидов — различия между версиями
Kasetkin (обсуждение | вклад) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 78 промежуточных версий 17 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | == | + | ==Разноцветный матроид== |
+ | {{Определение | ||
+ | |id = def1 | ||
+ | |definition = | ||
+ | Пусть <tex>X</tex> {{---}} множество элементов, каждый из которых раскрашен в некоторый цвет. Множество <tex>A \in I</tex>, если все элементы множества <tex>A</tex> разного цвета. Тогда <tex> M = \langle X, I\rangle</tex> называется '''разноцветным матроидом''' (англ. ''multicolored matroid''). | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement = Разноцветный матроид является матроидом. | ||
+ | |proof = | ||
+ | Докажем аксиомы независимости для <tex> I </tex>. | ||
+ | |||
+ | # <tex>\varnothing \in I</tex> | ||
+ | #:В пустом множестве нет элементов <tex>\Rightarrow</tex> можем считать, что все элементы различных цветов. | ||
+ | # <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> | ||
+ | #:Если в <tex>B</tex> все элементы разного цвета, то и в <tex>A \subset B</tex> это будет выполняться. | ||
+ | # <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal \exists x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex> | ||
+ | #:В каждом из множеств <tex>A</tex> и <tex>B</tex> все элементы разных цветов. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert</tex>, значит в <tex>B</tex> есть хотя бы один элемент <tex>x</tex> такого цвета, которого нет среди элементов множества <tex>A</tex>, таким образом <tex>A \cup \{ x \} \in I</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | ==Универсальный матроид== | ||
{{Определение | {{Определение | ||
+ | |id = def2 | ||
|definition= | |definition= | ||
− | + | '''Универсальным матроидом''' (англ. ''uniform matroid'') называют объект <tex>U_{nk} = \langle X, I \rangle </tex>, где <tex>X = \{1, 2, 3, \dots, n\}, I = \{A \subset X \mid \left\vert A \right\vert \leqslant k\}</tex> | |
− | }} | + | }} |
+ | |||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement = Универсальный матроид является матроидом. | ||
+ | |proof = | ||
+ | Проверим выполнение аксиом независимости: | ||
+ | # <tex>\varnothing \in I</tex> | ||
+ | #:<tex> \left\vert \varnothing \right\vert = 0 \leqslant k \Rightarrow \varnothing \in I</tex> | ||
+ | # <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> | ||
+ | #:<tex> \left\vert A \right\vert \leqslant \left\vert B \right\vert \leqslant k \Rightarrow \left\vert A \right\vert \leqslant k \Rightarrow A \in I </tex> | ||
+ | # <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex> | ||
+ | #:Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert </tex> и числа в каждом множестве различны, найдётся такое число <tex> x \in B </tex>, которое не будет принадлежать меньшему по мощности множеству <tex> A </tex>. | ||
+ | #:Рассмотрим <tex> A \cup \{ x \mathcal \} </tex>. <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \cup \{ x \} \right\vert = \left\vert A \right\vert + 1 \leqslant \left\vert B \right\vert \leqslant k \Rightarrow A \cup \{ x \} \in I</tex> | ||
+ | }} | ||
==Графовый матроид== | ==Графовый матроид== | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | Пусть <tex>G = \langle V, E \rangle</tex> - неориентированный граф. Тогда <tex>M = \langle E, I \rangle </tex>, где <tex>I</tex> состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют '''графовым (графическим) матроидом.''' | + | Пусть <tex>G = \langle V, E \rangle</tex> {{---}} неориентированный граф. Тогда <tex>M = \langle E, I \rangle </tex>, где <tex>I</tex> состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют '''графовым (графическим) матроидом''' (англ. ''graphic matroid''). |
}} | }} | ||
− | {{ | + | {{Утверждение |
|statement = Графовый матроид является матроидом. | |statement = Графовый матроид является матроидом. | ||
|proof = | |proof = | ||
Проверим выполнение аксиом независимости: | Проверим выполнение аксиом независимости: | ||
− | + | # <tex>\varnothing \in I</tex> | |
+ | #:Пустое множество является ациклическим, а значит входит в <tex>I</tex>. | ||
+ | # <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> | ||
+ | #:Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в <tex>I</tex> вследствие своей ацикличности. | ||
+ | # <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex> | ||
+ | #:В графе <tex>G_A = \langle V, A \rangle </tex> как минимум две компоненты связанности, иначе <tex>G_A</tex> являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностью. | ||
+ | #:Допустим в <tex>B</tex> не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из <tex>G_A</tex>, значит любая компонента связанности из <tex>G_B</tex> целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из <tex>G_A</tex>. Рассмотрим любую компоненту связанности <tex>Q</tex> из <tex>G_A</tex>, у неё <tex>k</tex> вершин и <tex>k - 1</tex> рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности <tex>P_i</tex> из <tex>G_B</tex>, вершинно-входящие в <tex>Q</tex>, пусть их <tex>m</tex> штук, тогда суммарное количество рёбер из <tex>P_i</tex> равно <tex>k - m</tex>, что не превосходит <tex>k - 1</tex> (количество рёбер в <tex>Q</tex>). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из <tex>G_A</tex> и получим <tex>\left\vert A \right\vert \geqslant \left\vert B \right\vert</tex>, что противоречит условию. Значит предположение не верно, и в <tex>B</tex> существует искомое ребро <tex>x</tex> из разных компонент связанности <tex>G_B</tex>. | ||
+ | }} | ||
− | + | ==Матричный матроид== | |
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | Пусть <tex>V</tex> {{---}} векторное пространство над телом <tex>F</tex>, пусть набор векторов <tex>V_i = \{ v_1, \ \dots, \ v_n\}</tex> из пространства <tex>V</tex> является носителем <tex>X</tex>. Элементами независимого множества <tex>I</tex> данного матроида являются множества линейно независимых векторов из набора <tex>v_ 1, \ \dots, \ v_n</tex>. | ||
+ | Тогда <tex>M = \langle V_i, I \rangle </tex>, называется '''матричным матроидом''' (англ. ''vector matroid'') | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement = Матричный матроид является матроидом. | ||
+ | |proof = | ||
+ | Проверим выполнение аксиом независимости: | ||
− | + | # <tex>\varnothing \in I</tex> | |
+ | #:Множество в котором нет векторов является линейно-независимым. | ||
+ | # <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> | ||
+ | #:Если из набора линейно-независимых векторов убрать некоторые, то этот набор не станет зависимым. | ||
+ | # <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex> | ||
+ | #:Так как <tex>A \in I</tex>, то <tex>\dim \mathcal{L}(A) = \left\vert A \right\vert</tex>. По условию <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x \in B: x \notin \mathcal{L}(A)</tex>, то есть <tex>x \notin A</tex>. Тогда множество <tex> A \cup \{ x \} </tex> линейно-независимо по определению линейной оболочки. | ||
+ | }} | ||
− | + | ==Трансверсальный матроид== | |
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | Пусть <tex>G = \langle X, Y, E \rangle</tex> {{---}} двудольный граф. <tex>I = \{ A \subset X \mid \exists </tex> паросочетание <tex> P</tex>, покрывающее <tex>A \} </tex>. Тогда <tex>M = \langle X, I \rangle </tex> называют '''трансверсальным матроидом''' (англ. ''transversal matroid''). | ||
+ | }} | ||
− | + | {{Утверждение | |
− | + | |statement = Трансверсальный матроид является матроидом. | |
− | + | |proof = | |
− | + | Проверим выполнение аксиом независимости: | |
− | |||
+ | # <tex>\varnothing \in I</tex> | ||
+ | #:Пустое паросочетание удовлетворяет условию. | ||
+ | # <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> | ||
+ | #:Подмножество паросочетания также является паросочетанием. Удалим из исходного паросочетания <tex>P</tex> ребра, концами которых являются вершины из множества <tex>B \setminus A</tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, покрывающим <tex>A</tex>. Значит <tex> A \in I </tex>. | ||
+ | # <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex> | ||
+ | #:Раскрасим ребра из паросочетания, соответствующего <tex> B </tex> в синий цвет, а соответствующего <tex> A </tex> {{---}} в красный. Причем ребра, соответствующие двум паросочетаниям, будут окрашены в пурпурный цвет. Таким образом, получится <tex> \left\vert B \setminus A \right\vert </tex> ребер синего цвета, <tex> \left\vert A \setminus B \right\vert </tex> ребер красного цвета, и будет выполняться соотношение <tex> \left\vert B \setminus A \right\vert > \left\vert A \setminus B \right\vert</tex>. | ||
+ | #:Рассмотрим подграф <tex> H </tex>, индуцированный красными и синими ребрами из исходного графа. Каждая вершина соответствует либо двум ребрам {{---}} синему и красному, либо одному {{---}} синему или красному. Любая компонента связности представляет собой либо путь, либо цикл, состоящий из чередующихся красных и синих ребер. Так как граф двудольный, любой цикл состоит из четного числа ребер. Так как синих ребер больше, чем красных, то должен существовать путь, начинающийся и оканчивающийся синим ребром. Обозначим этот путь <tex> H' </tex>. Поменяем в <tex> H' </tex> синий и красный цвета. Получаем, что ребра, окрашенные в красный и пурпурный цвета образуют паросочетание в графе. Очевидно, что подмножество соответствующее этому новому паросочетанию имеет вид <tex>A \cup \{ x \} </tex>, где <tex> x \in B \setminus A </tex>. Что значит, что <tex> A \cup \{ x \} \in I</tex>. | ||
}} | }} | ||
− | == | + | ==Матроид паросочетаний== |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | Пусть <tex>G = \langle | + | Пусть <tex>G = \langle V, E \rangle</tex> {{---}} неориентированный граф. <tex>I = \{ A \subset V \mid \exists</tex> паросочетание <tex>P</tex>, покрывающее <tex>A \}</tex>. Тогда <tex>M = \langle V, I \rangle </tex> называют '''матроидом паросочетаний''' (англ. ''matching matroid''). |
}} | }} | ||
− | {{ | + | {{Утверждение |
− | |statement = | + | |statement = Матроид паросочетаний является матроидом. |
|proof = | |proof = | ||
Проверим выполнение аксиом независимости: | Проверим выполнение аксиом независимости: | ||
− | + | # <tex>\varnothing \in I</tex> | |
+ | #:Пустое паросочетание удовлетворяет условию. | ||
+ | # <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> | ||
+ | #:Удалим из исходного паросочетания <tex>P</tex> ребра, концами которых являются вершины из множества <tex>B \setminus A</tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, покрывающим <tex>A</tex>. Значит <tex>A \in I</tex>. | ||
+ | # <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex> | ||
+ | #:Пусть паросочетание <tex>P_A</tex> покрывает множество <tex>A</tex>, <tex>P_B</tex> {{---}} множество <tex>B</tex>. | ||
+ | #:Все вершины, принадлежащие <tex>A \cap B</tex> покроем ребрами из паросочетания <tex>P_B</tex>. | ||
+ | #:Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x \in B \setminus A</tex> | ||
+ | #:Рассмотрим три возможных случая: | ||
+ | ## <tex>\exists xy \in P_A, \ y \in A \Rightarrow P_A</tex> покрывает <tex>A \cup \{ x \} \Rightarrow A \cup \{ x \} \in I</tex> | ||
+ | ## <tex>\exists xy: y \in B \setminus A \Rightarrow xy \notin P_A</tex>. Мы можем добавить в <tex>A</tex> вершину <tex>x</tex> (или <tex>y</tex>), а в <tex>P_A</tex> ребро <tex>xy</tex>. Тогда паросочетание <tex>P_A \cup xy</tex> покрывает <tex>A \cup \{ x \} \Rightarrow A \cup \{ x \} \in I</tex> | ||
+ | ## Если первые два случая не выполнились, значит <tex>\forall x \in B \setminus A</tex> <tex>\exists y \notin A, \ \notin B: \exists xy \in P_B</tex>. Обозначим множество таких <tex>y</tex> за <tex>C, \ \left\vert C \right\vert = \left\vert B \setminus A \right\vert > \left\vert A \setminus B \right\vert</tex>. Таким образом в <tex>C</tex> найдется хотя бы одна вершина <tex>y</tex>, не покрытая паросочетанием <tex>P_A</tex>. Тогда паросочетание <tex>P_A \cup xy</tex> покрывает <tex>A \cup \{ x \} \Rightarrow A \cup \{ x \} \in I</tex> | ||
+ | }} | ||
− | + | ==Матроид разбиений== | |
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | Пусть <tex>X = \bigcup\limits_{i=_1}^n X_i</tex>, при этом <tex> X_i \cap X_j = 0</tex>, <tex>\forall i \neq j</tex>, и <tex>k_1 \dots k_n</tex> {{---}} положительные целые числа. <tex>I = \{ A \subset X \mid \left\vert A \cap X_i \right\vert \leqslant k_i, \ \forall i: 1 \leqslant i \leqslant n \} </tex>. Тогда <tex>M = \langle X, I \rangle </tex> называют '''матроидом разбиений''' (англ. ''partition matroid'') | ||
+ | }} | ||
− | + | {{Утверждение | |
+ | |statement = Матроид разбиений является матроидом. | ||
+ | |proof = | ||
+ | Проверим выполнение аксиом независимости: | ||
− | + | # <tex>\varnothing \in I</tex> | |
+ | #:<tex>\left\vert \varnothing \cap X_i \right\vert = 0 \leqslant k_i \Rightarrow \varnothing \in I</tex> | ||
+ | # <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> | ||
+ | #:<tex>A \subset B, \ \left\vert A \right\vert \leqslant \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \cap X_i \right\vert \leqslant \left\vert B \cap X_i \right\vert \leqslant k_i \Rightarrow A \in I</tex> | ||
+ | # <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex> | ||
+ | #:Пусть <tex>\forall x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \notin I \Rightarrow \exists X_j, \ k_j: \left\vert A \cup \{ x \} \cap X_j \right\vert > k_j</tex>, но так как <tex>A \in I</tex>, то есть <tex> \left\vert A \cap X_j \right\vert \leqslant k_j \Rightarrow \left\vert A \cap X_j \right\vert = k_j</tex> и <tex>x \in X_j</tex>. Из последнего следует, что <tex>\left\vert B \setminus A \right\vert \subset X_j</tex>. | ||
+ | #:<tex>\left\vert A \cap X_j \right\vert = \left\vert ((A \cap B) \cup (B \setminus A)) \cap X_j \right\vert = k_j</tex>, а <tex>\left\vert B \cap X_j \right\vert = \left\vert B \cap X_j \right\vert = \left\vert ((A \cap B) \cup (A \setminus B)) \cap X_j \right\vert</tex>. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \setminus B \right\vert < \left\vert B \setminus A \right\vert</tex>, тогда <tex>\left\vert B \cap X_j \right\vert > k_j</tex>, но <tex>B \in I</tex>, противоречие. | ||
+ | }} | ||
− | + | ==Бинарный матроид== | |
− | + | {{Определение | |
− | + | |definition= | |
+ | Матроид <tex>M</tex> '''представим над полем <tex>F</tex>''', если он [[Определение матроида#def5| изоморфен]] некоторому векторному матроиду над этим полем. | ||
}} | }} | ||
− | |||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | ''' | + | '''Бинарный матроид''' (англ. ''binary matroid'') {{---}} матроид, представимый над полем целых чисел по модулю <tex>2</tex>. |
}} | }} | ||
− | {{ | + | {{Утверждение |
− | |statement = | + | |statement = Графовый матроид является бинарным. |
− | |proof = | + | |proof = |
− | |||
− | + | Составим матрицу инцидентности <tex>A = (a_{ij})</tex> для графа <tex>G = \langle V, E \rangle</tex>. Строки этой матрицы соответствуют вершинам графа, а столбцы {{---}} ребрам. | |
+ | * Если <tex>j</tex>-ое ребро есть петля, инцидентная <tex>i</tex>-ой вершине, то <tex>a_{ij} = 0</tex>. | ||
+ | * Если <tex>i</tex>-ая вершина инцидентна <tex>j</tex>-ому ребру, то <tex>a_{ij} = 1</tex> | ||
+ | * Иначе <tex>a_{ij} = 0</tex> | ||
+ | Необходимо доказать, что если мы возьмем множество ребер <tex>A \in I</tex>, то множество столбцов матрицы инцидентности, соответствующее выбранным ребрам, линейно-независимо, и наоборот, если мы возьмем линейно-независимое множество столбцов, то соответствующее ему множество ребер, не будет образовывать цикла. Докажем эквивалентное утверждение: столбцы линейно-зависимы тогда и только тогда, когда соответствующие им ребра графа <tex>G</tex> содержат цикл. | ||
− | <tex> | + | <tex>\Rightarrow</tex> Пусть столбцы линейно-зависимы, докажем, что соответствующие ребра графа содержат цикл. |
− | + | Если некоторые столбцы матрицы <tex>A</tex> линейно-зависимы, то среди них можно выделить столбцы с нулевой суммой. Есть два варианта: | |
− | <tex> | + | # Cреди выбранных столбцов есть нулевой, тогда в соответствующем множестве ребер есть петля, то есть цикл. |
+ | # У нас есть столбец <tex>S</tex>, который является суммой остальных столбцов. Этому столбцу соответствует ребро <tex>uv</tex>. Начнем с вершины <tex>u</tex> переходить по другим ребрам из <tex>R \setminus uv</tex> (по каждому ребру проходим только один раз), в итоге мы придем в вершину <tex>v</tex>, так для остальных вершин у нас обязательно будет четное число выходящих из них ребер, потому что иначе на позиции этой вершины в столбце <tex>S</tex> была бы единица (а единицы у нас только на позициях <tex>u</tex> и <tex>v</tex>). Таким образом мы показали, что существует два пути между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> (тот который мы построили и путь по ребру <tex>uv</tex>), значит в выбранном множестве ребер есть цикл. | ||
− | + | <tex>\Leftarrow</tex> Пусть на множестве ребер есть цикл, докажем линейную-зависимость соответствующих столбцов. | |
− | + | Если среди данного множества ребер есть петля, то соответствующий ей столбец будет нулевым (по построению матрицы инцидентности), он и обеспечивает линейную-зависимость всего набора векторов. | |
− | + | Если петли нет, то рассмотрим столбцы, отвечающие ребрам простого цикла. Любая строка матрицы <tex>A</tex> содержит в этих столбцах ровно 2 единицы. Поэтому сумма по модулю <tex>2</tex> указанных столбцов равна нулевому столбцу, что означает линейную зависимость исходного множества столбцов. | |
+ | }} | ||
+ | ==Другие матроиды== | ||
+ | Несложно доказать, что следующие конструкции тоже являются матроидами. | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | '''Матроид с выкинутым элементом'''. Пусть <tex>M = \langle X, I\rangle</tex> {{---}} матроид. Определим <tex>M\setminus x = \langle X \setminus x, \ \{A \mid A \in I, \ x \not\in A\}\rangle</tex>. Для любых <tex>M</tex> и <tex>x</tex> получившаяся конструкция <tex>M\setminus x</tex> является матроидом. | ||
}} | }} | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | '''Матроид, стянутый по элементу'''. Пусть <tex>M = \langle X, I\rangle</tex> {{---}} матроид. Определим <tex>M/x = \langle X \setminus x, \ \{A \setminus x \mid A \in I, \ x \in A\}\rangle</tex>. Для любых <tex>M</tex> и <tex>x</tex>, таких что <tex>\{x\}\in I,</tex> получившаяся конструкция <tex>M/x</tex> является матроидом. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | Пусть <tex>M = \langle X, I \rangle</tex> {{---}} матроид. Обозначим как <tex>M|_k</tex> следующую констркуцию: <tex>M|_k = \langle X, \ \{A \mid A \in I, |A| \leqslant k \}\rangle</tex>, тогда <tex>M|_k</tex> называют '''урезанным матроидом'''. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition='''Полный матроид''' {{---}} матроид <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex> такой, что <tex>\mathcal{I} = 2^X</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= '''Тривиальный матроид''' {{---}} матроид <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex> такой, что <tex>\mathcal{I} = \varnothing </tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | ==См. также== | ||
+ | * [[Определение матроида]] | ||
+ | * [[Прямая сумма матроидов]] | ||
+ | * [[Двойственный матроид]] | ||
+ | |||
+ | ==Источники== | ||
+ | * Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы (глава 4. Матроиды) | ||
+ | * Уилсон Р. {{---}} Введение в теорию графов (глава 9. Теория матроидов) | ||
+ | * [http://courses.engr.illinois.edu/cs598csc/sp2010/Lectures/Lecture14.pdf Примеры матроидов] | ||
+ | *[[wikipedia:Matroid | Wikipedia {{---}} Matroid]] | ||
+ | *[[wikipedia:ru:Матроид | Википедия {{---}} Матроид]] | ||
+ | |||
+ | [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]] | ||
+ | [[Категория: Матроиды]] | ||
+ | [[Категория: Основные факты теории матроидов]] |
Текущая версия на 19:39, 4 сентября 2022
Разноцветный матроид
Определение: |
Пусть | — множество элементов, каждый из которых раскрашен в некоторый цвет. Множество , если все элементы множества разного цвета. Тогда называется разноцветным матроидом (англ. multicolored matroid).
Утверждение: |
Разноцветный матроид является матроидом. |
Докажем аксиомы независимости для .
|
Универсальный матроид
Определение: |
Универсальным матроидом (англ. uniform matroid) называют объект | , где
Утверждение: |
Универсальный матроид является матроидом. |
Проверим выполнение аксиом независимости:
|
Графовый матроид
Определение: |
Пусть | — неориентированный граф. Тогда , где состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют графовым (графическим) матроидом (англ. graphic matroid).
Утверждение: |
Графовый матроид является матроидом. |
Проверим выполнение аксиом независимости:
|
Матричный матроид
Определение: |
Пусть | — векторное пространство над телом , пусть набор векторов из пространства является носителем . Элементами независимого множества данного матроида являются множества линейно независимых векторов из набора . Тогда , называется матричным матроидом (англ. vector matroid)
Утверждение: |
Матричный матроид является матроидом. |
Проверим выполнение аксиом независимости:
|
Трансверсальный матроид
Определение: |
Пусть | — двудольный граф. паросочетание , покрывающее . Тогда называют трансверсальным матроидом (англ. transversal matroid).
Утверждение: |
Трансверсальный матроид является матроидом. |
Проверим выполнение аксиом независимости:
|
Матроид паросочетаний
Определение: |
Пусть | — неориентированный граф. паросочетание , покрывающее . Тогда называют матроидом паросочетаний (англ. matching matroid).
Утверждение: |
Матроид паросочетаний является матроидом. |
Проверим выполнение аксиом независимости:
|
Матроид разбиений
Определение: |
Пусть | , при этом , , и — положительные целые числа. . Тогда называют матроидом разбиений (англ. partition matroid)
Утверждение: |
Матроид разбиений является матроидом. |
Проверим выполнение аксиом независимости:
|
Бинарный матроид
Определение: |
Матроид изоморфен некоторому векторному матроиду над этим полем. | представим над полем , если он
Определение: |
Бинарный матроид (англ. binary matroid) — матроид, представимый над полем целых чисел по модулю | .
Утверждение: |
Графовый матроид является бинарным. |
Составим матрицу инцидентности для графа . Строки этой матрицы соответствуют вершинам графа, а столбцы — ребрам.
Необходимо доказать, что если мы возьмем множество ребер , то множество столбцов матрицы инцидентности, соответствующее выбранным ребрам, линейно-независимо, и наоборот, если мы возьмем линейно-независимое множество столбцов, то соответствующее ему множество ребер, не будет образовывать цикла. Докажем эквивалентное утверждение: столбцы линейно-зависимы тогда и только тогда, когда соответствующие им ребра графа содержат цикл.Пусть столбцы линейно-зависимы, докажем, что соответствующие ребра графа содержат цикл. Если некоторые столбцы матрицы линейно-зависимы, то среди них можно выделить столбцы с нулевой суммой. Есть два варианта:
Пусть на множестве ребер есть цикл, докажем линейную-зависимость соответствующих столбцов. Если среди данного множества ребер есть петля, то соответствующий ей столбец будет нулевым (по построению матрицы инцидентности), он и обеспечивает линейную-зависимость всего набора векторов. Если петли нет, то рассмотрим столбцы, отвечающие ребрам простого цикла. Любая строка матрицы содержит в этих столбцах ровно 2 единицы. Поэтому сумма по модулю указанных столбцов равна нулевому столбцу, что означает линейную зависимость исходного множества столбцов. |
Другие матроиды
Несложно доказать, что следующие конструкции тоже являются матроидами.
Определение: |
Матроид с выкинутым элементом. Пусть | — матроид. Определим . Для любых и получившаяся конструкция является матроидом.
Определение: |
Матроид, стянутый по элементу. Пусть | — матроид. Определим . Для любых и , таких что получившаяся конструкция является матроидом.
Определение: |
Пусть | — матроид. Обозначим как следующую констркуцию: , тогда называют урезанным матроидом.
Определение: |
Полный матроид — матроид | такой, что .
Определение: |
Тривиальный матроид — матроид | такой, что .
См. также
Источники
- Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы (глава 4. Матроиды)
- Уилсон Р. — Введение в теорию графов (глава 9. Теория матроидов)
- Примеры матроидов
- Wikipedia — Matroid
- Википедия — Матроид