Аксиоматизация матроида циклами — различия между версиями

Текущая версия на 19:07, 4 сентября 2022

Теорема (Аксиоматизация матроида циклами):

Пусть — семейство подмножеств конечного непустого множества такое, что:

Если [math]C_1, C_2 \in \mathfrak C[/math] и [math]C_1 \ne C_2[/math], то [math]C_1 \nsubseteq C_2[/math] и [math]C_2 \nsubseteq C_1[/math].
Если и [math]p \in C_1 \cap C_2[/math], то существует [math]C \in \mathfrak C[/math] такой, что .

Тогда семейство совпадает с семейством циклов однозначно определенного матроида на .

Доказательство:

Пусть семейство [math]\mathfrak C[/math] удовлетворяет условию теоремы. Множество [math]I \subseteq E[/math] назовем [math]\mathfrak C[/math]-независимым, если оно не содержит ни одного из множеств [math]C \in \mathfrak C[/math]. Через [math]\mathfrak I[/math] обозначим семейство всех [math]\mathfrak C[/math]-независимых множеств, подмножеств [math]E[/math]. Проверим, что семейство [math]\mathfrak I[/math] удовлетворяет аксиомам из определения матроида.

Поскольку , имеем , и первая аксиома, очевидно, выполняется.

Очевидно, что если [math]A \in \mathfrak I[/math] и [math]B \subset A[/math] то [math]B \in \mathfrak I[/math], и, следовательно, вторая аксиома выполнена.

Проверим справедливость третьей аксиомы для семейства [math]\mathfrak I[/math]. Предположим, что существуют множества [math]I, J \in \mathfrak I[/math] такие, что [math]|I|\lt |J|[/math], для которых третья аксиома не выполнена. Среди всех таких пар [math]I, J[/math] выберем ту, у которой мощность [math]|I \cup J|[/math] минимальна. Положим . Если [math]t = 1[/math], то, очевидно, [math]I \subset J[/math] и аксиома выполняется. Поэтому достаточно рассмотреть [math]t \geqslant 2[/math].

В силу нашего предположения для любого [math]i \in \{1,\ldots,t\}[/math]. Следовательно, существует [math]C_i \in \mathfrak C[/math] такое, что [math]C_i \subseteq I \cup p_i[/math] и в силу [math]\mathfrak C[/math]-независимости множества [math]I[/math] имеем [math]p_i \in C_i[/math] для любого [math]i \in \{1,\ldots,t\}[/math]. Ясно, что множества [math]C_1,\ldots,C_t[/math] попарно различны.

Рассмотрим множество [math]C_1.[/math] Для него верно В силу [math]\mathfrak C[/math]-независимости [math]J[/math] существует [math]q_1 \in I \setminus J[/math] такой, что [math]q_1 \in C_1.[/math] Рассмотрим теперь множество

Если , то существует [math]C' \in \mathfrak C[/math], для которого существует такое [math]C'' \in \mathfrak C,[/math] что Пришли к противоречию с условием [math]I \in \mathfrak I.[/math]

Пусть . Заметим, что . Поэтому в силу выбора пары [math]I, J[/math] для пары существует элемент [math]p_j[/math], где [math]j \geqslant 2[/math], такой, что . Возьмем множество [math]C_j \in \mathfrak C[/math]. Для него выполняется Если [math]q_1 \notin C_j[/math], то , что невозможно. Следовательно, [math]q_1 \in C_j \cap C_1[/math] и [math]C_j \ne C_1[/math]. Тогда по [math]3[/math] пункту теоремы, существует [math]C \in \mathfrak C[/math], для которого , которое равно , что невозможно.

Итак, семейство [math]\mathfrak I[/math] удовлетворяет аксиомам матроида. Следовательно, существует матроид [math]M[/math] на множестве [math]E[/math], для которого семейство [math]\mathfrak I[/math] является семейством независимых множеств. Из определения [math]\mathfrak C[/math]-независимости легко следует, что семейство [math]\mathfrak C[/math] совпадает с множеством циклов матроида [math]M[/math]

Докажем, что матроид определен однозначно. Пусть есть два матроида с носителем , семейством циклов и множествами баз соответственно. Не ограничивая общности можно считать, что существует . Тогда для всех , но — семейство циклов , следовательно для всех выполнено , что невозможно.

Утверждение (Следствие [math]1[/math] из теоремы):

Пусть — матроид. Если и , тогда или существует единственный цикл Более того, для любого

Если [math]A \cup y \notin I, [/math] тогда в нем должен существовать цикл [math]C_1.[/math] Предположим, что существует другой цикл [math]C_2 \subseteq A \cup y, [/math] и [math]C_1 \ne C_2.[/math] Поскольку [math]A \in I,[/math] тогда и [math]C_1[/math], и [math]C_2[/math] одновременно содержат [math]y[/math]. По [math]3[/math] пункту теоремы, [math](C_1 \cup C_2) \setminus y[/math] содержит цикл [math]C.[/math] Возникает противоречие, так как Поэтому, [math]A \cup y[/math] содержит единственный цикл [math]C.[/math]

Если для какого-либо то не является независимым и содержит цикл Более того, так как что противоречит единственности

Утверждение (Следствие [math]2[/math] из теоремы):

Пусть — матроид и — семейство его баз. Тогда для любой и для любого существует единственный цикл .

Пусть, напротив, [math]B \cup x[/math] не содержит циклов. Значит, [math]B \cup x \in I[/math]. [math]B[/math] — база, следовательно не существует независимых множеств большей мощности, а [math]|B \cup x| \gt |B|,[/math] так как [math]x \notin B[/math] по условию. Противоречие.

По предыдущему утверждению, содержит не более одного цикла, поэтому цикл единственный.

Утверждение (Следствие [math]3[/math] из теоремы):

Пусть — матроид и — семейство его баз. Тогда для всех выполнено: для любого существует такой что — база.

В случае, если существует [math]x = \widehat{x}[/math], утверждение очевидно. Рассмотрим противоположный.

[math]B[/math] — база, следовательно [math]B \in I, [/math] при этом [math]\widehat{x} \notin B,[/math] а (по предыдущему утверждению). Тогда, по утверждению [math]1[/math], существует такой что

содержится в так как а и содержатся в то есть принадлежат не являющемуся независимым множеству при этом следовательно — база.

См. также

Источники информации

Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. ISBN 978-5-8114-1068-2

@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 Аксиоматизация матроида циклами
 |statement=
-Пусть <tex>\mathfrak C</tex> {{---}} семейство подмножеств конечного непустого множетва <tex>\mathbb E</tex> такое, что:
+Пусть <tex>\mathfrak C</tex> {{---}} семейство подмножеств конечного непустого множества <tex>E</tex> такое, что:
 # <tex>\varnothing \notin \mathfrak C</tex>
-# Если <tex>\mathbb C_1, \mathbb C_2 \in \mathfrak C</tex> и <tex>\mathbb C_1 \ne \mathbb C_2</tex>, то <tex>\mathbb C_1 \nsubseteq \mathbb C_2</tex> и <tex>\mathbb C_2 \nsubseteq \mathbb C_1</tex>.
+# Если <tex>C_1, C_2 \in \mathfrak C</tex> и <tex>C_1 \ne C_2</tex>, то <tex>C_1 \nsubseteq C_2</tex> и <tex>C_2 \nsubseteq C_1</tex>.
-# Если <tex>\mathbb C_1, \mathbb C_2 \in \mathfrak C, \mathbb C_1 \ne \mathbb C_2</tex> и <tex>p \in \mathbb C_1 \cap \mathbb C_2</tex>, то существует <tex>\mathbb C \in \mathfrak C</tex> такой, что <tex>\mathbb C \subseteq (\mathbb C_1 \cup \mathbb C_2) \setminus p</tex>.
+# Если <tex>C_1, C_2 \in \mathfrak C, C_1 \ne C_2</tex> и <tex>p \in C_1 \cap C_2</tex>, то существует <tex>C \in \mathfrak C</tex> такой, что <tex>C \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p</tex>.
-Тогда семейство <tex>\mathfrak C</tex> совпадает с семейством циклов однозначно определенного матроида на <tex>\mathbb E</tex>.
+Тогда семейство <tex>\mathfrak C</tex> совпадает с [[Теорема о циклах|семейством циклов]] однозначно определенного [[Определение матроида|матроида]] на <tex>E</tex>.
 |proof=
-Пусть семейство <tex>\mathfrak C</tex> удовлетворяет условию теоремы. Множество <tex>\mathbb I \nsubseteq \mathbb E</tex> назовем <tex>\mathfrak C</tex>-независимым, если оно не содержит ни одного из множеств <tex>\mathbb C \in \mathfrak C</tex>. Через <tex>\mathfrak I</tex> обозначим семейство всех <tex>\mathfrak C</teX>-независимых множеств, содержащихся в <tex>\mathbb E</tex>. Проверим, что семейство <tex>\mathfrak I</tex> удовлетворяет аксиомам из определения матроида.
+Пусть семейство <tex>\mathfrak C</tex> удовлетворяет условию теоремы. Множество <tex>I \subseteq E</tex> назовем <tex>\mathfrak C</tex>-независимым, если оно не содержит ни одного из множеств <tex>C \in \mathfrak C</tex>. Через <tex>\mathfrak I</tex> обозначим семейство всех <tex>\mathfrak C</teX>-независимых множеств, подмножеств <tex>E</tex>. Проверим, что семейство <tex>\mathfrak I</tex> удовлетворяет [[Определение матроида|аксиомам из определения матроида]].
 Поскольку <tex>\varnothing \notin \mathfrak C</tex>, имеем <tex>\varnothing \in \mathfrak I</tex>, и первая аксиома, очевидно, выполняется.
-Очевидно, что если <tex>\mathbb A \in \mathfrak I</tex> и <tex>\mathbb B \subset \mathbb A</tex> то <tex>\mathbb B \in \mathfrak I</tex>, и, следовательно, вторая аксиома выполнена.
+Очевидно, что если <tex>A \in \mathfrak I</tex> и <tex>B \subset A</tex> то <tex>B \in \mathfrak I</tex>, и, следовательно, вторая аксиома выполнена.
-Проверим справедливость третьей аксиомы для семейства <tex>\mathfrak I</tex>. Предположим, что существуют множества <tex>\mathbb I, \mathbb J \in \mathfrak I</tex> такие, что <tex>|\mathbb I|<|\mathbb J|</tex>, для которых третья аксиома не выполнена. Среди всех таких пар <tex>\mathbb I, \mathbb J</tex> выберем ту, у которой мощность <tex>|\mathbb I \cup \mathbb J|</tex> минимальна. Положим <tex>\mathbb J \setminus \mathbb I = \{p_1,...,p_t\}</tex>. Если <tex>t = 1</tex>, то, очевидно, <tex>\mathbb I \subset \mathbb J</tex> и аксиома выполняется. Поэтому достаточно рассмотреть <tex>t \ge 2</tex>.
+Проверим справедливость третьей аксиомы для семейства <tex>\mathfrak I</tex>. Предположим, что существуют множества <tex>I, J \in \mathfrak I</tex> такие, что <tex>|I|<|J|</tex>, для которых третья аксиома не выполнена. Среди всех таких пар <tex>I, J</tex> выберем ту, у которой мощность <tex>|I \cup J|</tex> минимальна. Положим <tex>J \setminus I = \{p_1,\ldots,p_t\}</tex>. Если <tex>t = 1</tex>, то, очевидно, <tex>I \subset J</tex> и аксиома выполняется. Поэтому достаточно рассмотреть <tex>t \geqslant 2</tex>.
-В силу нашего предположения <tex>\mathbb I \cup p_i \notin \mathfrak I</tex> для любого <tex>i \in \{1,...,t\}</tex>. Следовательно, существует <tex>\mathbb C_i \in \mathfrak C</tex> такое, что <tex>\mathbb C_i \subseteq \mathbb I \cup p_i</tex> и в  силу <tex>\mathfrak C</tex>-независимости множества <tex>\mathbb I</tex> имеем <tex>p_i \in \mathbb C_i</tex> для любого <tex>i \in \{1,...,t\}</tex>. Ясно, что множества <tex>\mathbb C_1,...,\mathbb C_t</tex> попарно различны.
+В силу нашего предположения <tex>I \cup p_i \notin \mathfrak I</tex> для любого <tex>i \in \{1,\ldots,t\}</tex>. Следовательно, существует <tex>C_i \in \mathfrak C</tex> такое, что <tex>C_i \subseteq I \cup p_i</tex> и в  силу <tex>\mathfrak C</tex>-независимости множества <tex>I</tex> имеем <tex>p_i \in C_i</tex> для любого <tex>i \in \{1,\ldots,t\}</tex>. Ясно, что множества <tex>C_1,\ldots,C_t</tex> попарно различны.
-Рассмотрим множество <tex>\mathbb C_1</tex>. Для него верно <tex>p_1 \in \mathbb C_1 \subseteq \mathbb I \cup p_1</tex>. В силу <tex>\mathfrak C</tex>-независимости <tex>\mathbb J</tex> существует <tex>q_1 \in \mathbb I \setminus \mathbb J</tex> такой, что <tex>q_1 \in \mathbb C_1</tex>. Рассмотрим теперь множество <tex>(\mathbb I \setminus q_1) \cup p_1</tex>.
+Рассмотрим множество <tex>C_1.</tex> Для него верно <tex>p_1 \in C_1 \subseteq I \cup p_1.</tex> В силу <tex>\mathfrak C</tex>-независимости <tex>J</tex> существует <tex>q_1 \in I \setminus J</tex> такой, что <tex>q_1 \in C_1.</tex> Рассмотрим теперь множество <tex>(I \setminus q_1) \cup p_1.</tex>
-Если <tex>(\mathbb I \setminus q_1) \cup p_1 \notin \mathfrak I</tex>, то существует <tex>\mathbb C' \in \mathfrak C</tex>, для которого существует такой <tex>\mathbb C'' \in \mathfrak C</tex>, что <tex>\mathbb C'' \subseteq (\mathbb C_1 \cup \mathbb C_2) \setminus p_1 \subseteq \mathbb I</tex>. Пришли к противоречию с условием <tex>\mathbb I \in \mathfrak I</tex>.
+Если <tex>(I \setminus q_1) \cup p_1 \notin \mathfrak I</tex>, то существует <tex>C' \in \mathfrak C</tex>, для которого существует такое <tex>C'' \in \mathfrak C,</tex> что <tex>C'' \subseteq (C_1 \cup C') \setminus p_1 \subseteq I.</tex> Пришли к противоречию с условием <tex>I \in \mathfrak I.</tex>
-Пусть <tex>(\mathbb I \setminus q_1) \cup p_1 \in \mathfrak I</tex>. Заметим, что <tex>|((\mathbb I \setminus q_1) \cup p_1) \cup \mathbb J| < |\mathbb I \cup \mathbb J|</tex>. Поэтому в силу выбора пары <tex>\mathbb I, \mathbb J</tex> для пары <tex>(\mathbb I \setminus q_1) \cup p_1, J</tex> существует элемент <tex>p_j</tex>, где <tex>j \ge 2</tex>, такой, что <tex>(\mathbb I \setminus q_1) \cup p_1 \cup p_j \in \mathfrak I</tex>. Возьмем множество <tex>\mathbb C_j \in \mathfrak C</tex>. Для него выполняется <tex>p_j \in \mathbb C_j \subseteq \mathbb I \cup p_j</tex>. Если <tex>q_1 \notin \mathbb C_j</tex>, то <tex>\mathbb C_j \subseteq (\mathbb I \setminus q_1) \cup p_j \subseteq (\mathbb I \setminus q1) \cup p_1 \cup p_j</tex>, что невозможно. Следовательно, <tex>q_1 \in \mathbb C_j \cap C_1</tex> и <tex>\mathbb C_j \ne \mathbb C_1</tex>. Тогда по 3 пункуту теоремы, существует <tex>\mathbb C \in \mathfrak C</tex>, для которого <tex>\mathbb C \subseteq (\mathbb C_j \cup \mathbb C_1) \setminus q_1 \subseteq (\mathbb C_j \setminus q_1) \cup (\mathbb C_1 \setminus q_1) \subseteq ((\mathbb I \setminus q_1) \cup p_j) \cup ((\mathbb I \setminus q_1) \cup p_1)</tex>, которое равно <tex>(\mathbb I \setminus q_10) \cup p_1 \cup p_j \in \mathfrak I</tex>, что невозможно.
+Пусть <tex>(I \setminus q_1) \cup p_1 \in \mathfrak I</tex>. Заметим, что <tex>|((I \setminus q_1) \cup p_1) \cup J| < |I \cup J|</tex>. Поэтому в силу выбора пары <tex>I, J</tex> для пары <tex>(I \setminus q_1) \cup p_1, J</tex> существует элемент <tex>p_j</tex>, где <tex>j \geqslant 2</tex>, такой, что <tex>(I \setminus q_1) \cup p_1 \cup p_j \in \mathfrak I</tex>. Возьмем множество <tex>C_j \in \mathfrak C</tex>. Для него выполняется <tex>p_j \in C_j \subseteq I \cup p_j.</tex> Если <tex>q_1 \notin C_j</tex>, то <tex>C_j \subseteq (I \setminus q_1) \cup p_j \subseteq (I \setminus q_1) \cup p_1 \cup p_j</tex>, что невозможно. Следовательно, <tex>q_1 \in C_j \cap C_1</tex> и <tex>C_j \ne C_1</tex>. Тогда по <tex>3</tex> пункту теоремы, существует <tex>C \in \mathfrak C</tex>, для которого <tex>C \subseteq (C_j \cup C_1) \setminus q_1 \subseteq (C_j \setminus q_1) \cup (C_1 \setminus q_1) \subseteq ((I \setminus q_1) \cup p_j) \cup ((I \setminus q_1) \cup p_1)</tex>, которое равно <tex>(I \setminus q_1) \cup p_1 \cup p_j \in \mathfrak I</tex>, что невозможно.
-Итак, семейство <tex>\mathfrak I</tex> удовлетворяет аксиомам матроида. Следовательно, существует матроид <tex>M(\mathbb E)</tex> на множестве <tex>\mathbb E</tex>, для которого семейство <tex>\mathfrak I</tex> является семейством независимых множеств. Из определения <tex>\mathfrak C</tex>-независимости легко следует, что семейство <tex>\mathfrak C</tex> совпадает с множеством цисклов матроида <tex>M(\mathbb E)</tex>
+Итак, семейство <tex>\mathfrak I</tex> удовлетворяет аксиомам матроида. Следовательно, существует матроид <tex>M</tex> на множестве <tex>E</tex>, для которого семейство <tex>\mathfrak I</tex> является семейством независимых множеств. Из определения <tex>\mathfrak C</tex>-независимости легко следует, что семейство <tex>\mathfrak C</tex> совпадает с множеством циклов матроида <tex>M</tex>
+Докажем, что матроид <tex>M</tex> определен однозначно. Пусть есть два матроида <tex>M_1 \neq M_2</tex> с носителем <tex>E</tex>, семейством циклов <tex>\mathfrak C</tex> и [[Аксиоматизация матроида базами|множествами баз]] <tex>B_1, B_2</tex> соответственно. Не ограничивая общности можно считать, что существует <tex>A \in B_1, A \notin B_2</tex>. Тогда для всех <tex>e \in E, e \notin A: (A \cup e) = C \in \mathfrak C</tex>, но <tex>\mathfrak C</tex> {{---}} семейство циклов <tex>M_2</tex>, следовательно для всех <tex>p \in C</tex> выполнено <tex>(C \setminus p) \in B_2</tex>, что невозможно.
+}}
+{{Утверждение
+|about=
+Следствие <tex>1</tex> из теоремы
+|statement=
+Пусть <tex>M = \langle X, I \rangle</tex> {{---}} [[Определение матроида|матроид]]. Если <tex>A \in I</tex> и <tex>y \notin A, y \in X</tex>, тогда <tex>A \cup y \in I</tex> или существует единственный цикл <tex>C \subseteq A \cup y.</tex> Более того, для любого <tex> \widehat{y} \in C, (A \cup y) \setminus \widehat{y} \in I.</tex>
+|proof=
+Если <tex>A \cup y \notin I, </tex> тогда в нем должен существовать цикл <tex>C_1.</tex> Предположим, что существует другой цикл <tex>C_2 \subseteq A \cup y, </tex> и <tex>C_1 \ne C_2.</tex> Поскольку <tex>A \in I,</tex> тогда и <tex>C_1</tex>, и <tex>C_2</tex> одновременно содержат <tex>y</tex>. По <tex>3</tex> пункту теоремы, <tex>(C_1 \cup C_2) \setminus y</tex> содержит цикл <tex>C.</tex> Возникает противоречие, так как <tex>(C_1 \cup C_2) \setminus y \subseteq A.</tex> Поэтому, <tex>A \cup y</tex> содержит единственный цикл <tex>C.</tex>
+Если для какого-либо <tex>\widehat{y} \in C, (A \cup y) \setminus \widehat{y} \notin I, </tex> то <tex>(A \cup y) \setminus \widehat{y}</tex> не является независимым и содержит цикл <tex>\widehat{C}.</tex> Более того, <tex>\widehat{C} \ne C,</tex> так как <tex>\widehat{y} \notin \widehat{C}, </tex> что противоречит единственности <tex>C.</tex>
 }}
+{{Утверждение
+|about=
+Следствие <tex>2</tex> из теоремы
+|statement=
+Пусть <tex>M = \langle X, I \rangle</tex> {{---}} матроид и <tex>\mathcal{B}</tex> {{---}} семейство его баз. Тогда для любой <tex>B \in \mathcal{B}</tex> и для любого <tex>x \in X, x \notin B</tex> существует единственный цикл <tex>C \subseteq B \cup x</tex>.
+|proof=
+Пусть, напротив, <tex>B \cup x</tex> не содержит циклов. Значит, <tex>B \cup x \in I</tex>. <tex>B</tex> {{---}} база, следовательно не существует независимых множеств большей мощности, а <tex>|B \cup x| > |B|,</tex> так как <tex>x \notin B</tex> по условию. Противоречие.
+По предыдущему утверждению, <tex>B \cup x</tex> содержит не более одного цикла, поэтому цикл единственный.
+}}
+{{Утверждение
+|about=
+Следствие <tex>3</tex> из теоремы
+|statement=
+Пусть <tex>M = \langle X, I \rangle</tex> {{---}} матроид и <tex>\mathcal{B}</tex> {{---}} семейство его баз. Тогда для всех <tex>B, \widehat{B} \in \mathcal{B}</tex> выполнено: для любого <tex>\widehat{x} \in \widehat{B} \setminus B</tex> существует такой <tex>x \in B \setminus \widehat{B}, </tex> что <tex>(B \cup \widehat{x}) \setminus x</tex> {{---}} база.
+|proof=
+В случае, если существует <tex>x = \widehat{x}</tex>, утверждение очевидно. Рассмотрим противоположный.
+<tex>B</tex> {{---}} база, следовательно <tex>B \in I, </tex> при этом <tex>\widehat{x} \notin B,</tex> а <tex>B \cup \widehat{x} \notin I, \exists !C \subseteq B \cup \widehat{x}</tex> (по предыдущему утверждению). Тогда, по утверждению <tex>1</tex>, существует такой <tex>x \in C \subseteq B \cup \widehat{x}, </tex> что <tex>(B \cup \widehat{x}) \setminus x \in I.</tex>
+<tex>x</tex> содержится в <tex>B \setminus \widehat{B}, </tex> так как <tex> \widehat{x} \notin B \setminus \widehat{B} \in I, </tex> а <tex>\widehat{x}</tex> и <tex>x</tex> содержатся в <tex>C, </tex> то есть принадлежат не являющемуся независимым множеству <tex>(B \setminus \widehat{B}) \cup \widehat{x}, </tex> при этом <tex>x \ne \widehat{x}. |B| = |(B \cup \widehat{x}) \setminus x|, </tex> следовательно <tex>(B \cup \widehat{x}) \setminus x</tex> {{---}} база.
+}}
+==См. также==
+* [[Определение матроида]]
+* [[Примеры матроидов]]
+* [[Теорема о циклах]]
+== Источники информации ==
+* ''Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В.'' {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. '''ISBN 978-5-8114-1068-2'''
-== Литература ==
+[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
-''Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В.'' - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. '''ISBN 978-5-8114-1068-2'''<br />
+[[Категория:Матроиды]]
+[[Категория:Основные факты теории матроидов]]

Аксиоматизация матроида циклами — различия между версиями

Текущая версия на 19:07, 4 сентября 2022

См. также

Источники информации

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Ещё

Поиск

Навигация

Инструменты