Теорема Шамира — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показана 21 промежуточная версия 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Формулировка ==
+
{{Теорема
'''[[Класс IP|IP]]''' = '''[[Класс PS|PS]]'''
+
|author=Шамир
== Доказательство ==
+
|statement=<tex>\mathrm{IP} = \mathrm{PS}</tex>
# <tex>IP \subset PS</tex>
+
|proof=
Рассмотрим язык <tex>L \in IP</tex>. Чтобы детерменированная машина Тьюринга <tex>m</tex> могла установить принадлежность слова <tex>x</tex> языку <tex>L</tex>, ей нужно перебрать все ответы <tex>P</tex> и вероятностные ленты <tex>V</tex>, просимулировав <tex>V</tex> с этими данными. Ясно, что эти действия потребуют не более <tex>p(|x|)</tex> памяти, а значит <tex>L \in PS</tex>.
+
* <tex>\mathrm{IP} \subset \mathrm{PS}</tex>
# <tex>PS \subset IP</tex>
+
Рассмотрим язык <tex>L \in \mathrm{IP}</tex>. Пусть <tex>V</tex> {{---}} ''Verifier'', соответствующий <tex>L</tex>, <tex>p(n)</tex> {{---}} время его работы, <tex>f(n)</tex> {{---}} количество его запросов к ''Prover'' 'у. Напишем программу, распознающую язык <tex>L</tex> на полиномиальной памяти.
Докажем, что язык <tex>TQBF \in IP</tex>. Этого достаточно, так как <tex>TQBF \in PSC</tex>.
+
<tex>U(x)</tex>
 +
    <tex>n \leftarrow |x|</tex>
 +
    '''for''' <tex>P \leftarrow Prover[f(n), p(n)]</tex>   //(1)
 +
        <tex>count \leftarrow 0</tex>
 +
        '''for''' <tex>r \in \{0, 1\}^{p(n)}</tex>   //(2)
 +
            '''if''' <tex>V(x, r)\bigm{|}_{P} = 1</tex>
 +
                <tex>count</tex>++
 +
        '''if''' <tex dpi = "160">\frac{count}{2^{p(n)}} \ge \frac{2}{3}</tex>
 +
            '''return''' 1
 +
    '''return''' 0
  
Введем следующую арифметизацию булевых формул с кванторами:
+
В цикле <tex>(1)</tex> перебираются все ''Prover'' 'ы, которые отвечают на <tex>f(n)</tex> запросов, каждый ответ имеет размер <tex>p(n)</tex>. В цикле <tex>(2)</tex> перебираются все вероятностные ленты размера <tex>p(n)</tex>. Так как <tex>V</tex> {{---}} корректен, то если нашелся ''Prover'', при котором <tex>V</tex> допускает слово с вероятностью, большей <tex>\frac{2}{3}</tex>, то данное слово принадлежит <tex>L</tex>, иначе {{---}} не принадлежит. Очевидно, что данная программа требует полином дополнительной памяти. Значит <tex>L \in \mathrm{PS}</tex>, следовательно <tex>\mathrm{IP} \subset \mathrm{PS}</tex>.
* <tex>\lnot x \to 1-X</tex>
+
* <tex>\mathrm{PS} \subset \mathrm{IP}</tex>
* <tex>x \land y \to XY</tex>
 
* <tex>x \lor y \to X+Y-XY = 1-(1-X)(1-Y)</tex>
 
* <tex>\exists x \varphi(x) \to \sum\limits_{X=0}^{1} A_\varphi(X)</tex>
 
* <tex>\forall x \varphi(x) \to \prod\limits_{X=0}^{1} A_\varphi(X)</tex>
 
Результат этого выражения будет ненулевым в том и только в том случае, если исходная формула была истина.
 
  
Рассмотрим пример:
+
Докажем, что <tex>\mathrm{TQBF} \in \mathrm{IP}</tex>. Так как <tex>\mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSC}</tex>, то из этого будет следовать, что <tex>\mathrm{PS} \subset \mathrm{IP}</tex>.
<tex>\varphi=\forall x_1 \forall x_2 \cdots \forall x_{k-1} \exists x_k (x_k \lor \lnot x_k)</tex>
+
 
<tex>A_\varphi = \prod\limits_{X_1=0}^{1}\prod\limits_{X_2=0}^{1}\cdots \prod\limits_{X_{k-1}=0}^{1}\sum\limits_{X_k=0}^1(1-X_k(1-X_k)) = 2^{2^{(k-1)}}</tex>
+
Пусть дана формула <tex>Q_1 \ldots Q_m \phi(x_1, \ldots ,x_m)</tex>. В процессе [[Арифметизация булевых формул с кванторами|арифметизации]] она перейдет в <tex>R_1 \ldots R_m A_\phi(x_1,\ldots,x_m)</tex>. Воспользуемся протоколом, описанным в [[Лемма о соотношении coNP и IP|доказательстве принадлежности #SAT к классу IP]]. Для этого необходимо, чтобы степень полиномов <tex>A_i(x_{i+1})</tex> была полиномиальной относительно длины входа. Преобразуем выражение с помощью оператора линеаризации к виду <tex>R_1 L_1 \ldots R_i L_1 L_2 \ldots L_i \ldots R_m L_1 L_2 \ldots L_m A_\phi(x_1,\ldots,x_m)</tex>. Размер новой формулы не превосходит квадрата исходной, степень полиномов не превосходит двух. Тогда, используя условия, описанные в [[Арифметизация булевых формул с кванторами|леммах 2 и 3]], для проверки ответов, присылаемых ''Prover'' 'ом, можно построить искомый протокол. Значит <tex>\mathrm{TQBF} \in \mathrm{IP}</tex>, следовательно <tex>\mathrm{PS} \subset \mathrm{IP}</tex>.
Для записи этого числа нужно <tex>2^{(k-1)}</tex> бит. Если <tex>k \gg \log|\varphi|</tex>, его невозможно передать за полиномиальное относительно длины исходной формулы время.
+
}}

Текущая версия на 19:20, 4 сентября 2022

Теорема (Шамир):
[math]\mathrm{IP} = \mathrm{PS}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  • [math]\mathrm{IP} \subset \mathrm{PS}[/math]

Рассмотрим язык [math]L \in \mathrm{IP}[/math]. Пусть [math]V[/math]Verifier, соответствующий [math]L[/math], [math]p(n)[/math] — время его работы, [math]f(n)[/math] — количество его запросов к Prover 'у. Напишем программу, распознающую язык [math]L[/math] на полиномиальной памяти.

[math]U(x)[/math]
    [math]n \leftarrow |x|[/math]
    for [math]P \leftarrow Prover[f(n), p(n)][/math]    //(1)
        [math]count \leftarrow 0[/math]
        for [math]r \in \{0, 1\}^{p(n)}[/math]    //(2)
            if [math]V(x, r)\bigm{|}_{P} = 1[/math]
                [math]count[/math]++
        if [math]\frac{count}{2^{p(n)}} \ge \frac{2}{3}[/math]
            return 1
    return 0

В цикле [math](1)[/math] перебираются все Prover 'ы, которые отвечают на [math]f(n)[/math] запросов, каждый ответ имеет размер [math]p(n)[/math]. В цикле [math](2)[/math] перебираются все вероятностные ленты размера [math]p(n)[/math]. Так как [math]V[/math] — корректен, то если нашелся Prover, при котором [math]V[/math] допускает слово с вероятностью, большей [math]\frac{2}{3}[/math], то данное слово принадлежит [math]L[/math], иначе — не принадлежит. Очевидно, что данная программа требует полином дополнительной памяти. Значит [math]L \in \mathrm{PS}[/math], следовательно [math]\mathrm{IP} \subset \mathrm{PS}[/math].

  • [math]\mathrm{PS} \subset \mathrm{IP}[/math]

Докажем, что [math]\mathrm{TQBF} \in \mathrm{IP}[/math]. Так как [math]\mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSC}[/math], то из этого будет следовать, что [math]\mathrm{PS} \subset \mathrm{IP}[/math].

Пусть дана формула [math]Q_1 \ldots Q_m \phi(x_1, \ldots ,x_m)[/math]. В процессе арифметизации она перейдет в [math]R_1 \ldots R_m A_\phi(x_1,\ldots,x_m)[/math]. Воспользуемся протоколом, описанным в доказательстве принадлежности #SAT к классу IP. Для этого необходимо, чтобы степень полиномов [math]A_i(x_{i+1})[/math] была полиномиальной относительно длины входа. Преобразуем выражение с помощью оператора линеаризации к виду [math]R_1 L_1 \ldots R_i L_1 L_2 \ldots L_i \ldots R_m L_1 L_2 \ldots L_m A_\phi(x_1,\ldots,x_m)[/math]. Размер новой формулы не превосходит квадрата исходной, степень полиномов не превосходит двух. Тогда, используя условия, описанные в леммах 2 и 3, для проверки ответов, присылаемых Prover 'ом, можно построить искомый протокол. Значит [math]\mathrm{TQBF} \in \mathrm{IP}[/math], следовательно [math]\mathrm{PS} \subset \mathrm{IP}[/math].
[math]\triangleleft[/math]