K-связность — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 25 промежуточных версий 8 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
Связность - одна из топологических характеристик графа.
+
<tex>k</tex>-cвязность {{---}} одна из топологических характеристик графа.
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id=def_1
 
|definition=
 
|definition=
−
Граф называется '''<tex>k</tex> - вершинно связным''', если удаление любых <tex> (k - 1) </tex> вершин оставляет граф связным.
+
Граф называется '''вершинно  <tex>k</tex>-связным''', если удаление любых <tex> (k - 1) </tex> вершин оставляет граф связным.
−
 
 
−
 
 
−
Граф <tex> G </tex>  является '''<tex>k</tex> - вершинно связным ''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>k</tex> вершинно непересекающимися путями.
 
−
 
 
 
}}
 
}}
  
−
Вершинной связностью графа называется
+
[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|Вершинной связностью]] графа называется
−
<tex> \varkappa (G) = \max  \{ k |  G </tex> вершинно <tex> k </tex> - связен  <tex> \} </tex>.
+
<tex> \varkappa (G) = \max  \{ k \mid G </tex> вершинно <tex>k</tex>-связен  <tex> \} </tex>, при этом для полного графа полагаем <tex> \varkappa (K_n) = n - 1 </tex>.
−
 
 
−
Полный граф <tex> \varkappa (K_n) = n - 1 </tex>.
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id=def_2
 
|definition=
 
|definition=
−
Граф называется '''<tex> l </tex> - реберно связным''', если удаление любых <tex> (l - 1) </tex> ребер оставляет граф связным.
+
Граф называется '''реберно <tex>l</tex>-связным''', если удаление любых <tex> (l - 1) </tex> ребер оставляет граф связным.  
−
 
 
−
 
 
−
Граф  <tex> G </tex> является '''<tex> l </tex> - реберно связным''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex> l </tex> - реберно непересекающимися путями.
 
 
}}
 
}}
  
−
Реберной связностью графа называется <tex> \lambda(G) = \max \{ l | G </tex> реберно <tex> l </tex> - связен <tex> \} </tex>
+
[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|Реберной связностью]] графа называется <tex> \lambda(G) = \max \{ l \mid G </tex> реберно <tex>l</tex>-связен <tex> \} </tex>, для тривиального графа считаем <tex> \lambda (K_1) = 0 </tex>.
  
−
При <tex> n = 1,  \lambda (K_1) = 0 </tex> .
 
  
 +
==k-связность и непересекающиеся пути между вершинами==
  
−
{{Теорема
+
Рассмотрим граф <tex> G </tex> и вершины <tex> u </tex> и  <tex> v </tex>.
  
−
|statement=  <tex> \varkappa (G) \leqslant  \lambda (G) \leqslant \sigma (G) </tex> , где  <tex> \sigma(G) </tex> - минимальная степень вершин графа <tex> G </tex>
+
Пусть <tex> S </tex> {{---}} множество вершин/ребер/вершин и ребер.
−
|proof=
 
  
−
<tex> \lambda (G) \leqslant \sigma (G) </tex> - очевидно.
+
<tex> S </tex> разделяет <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, если <tex> u </tex> и <tex> v </tex> принадлежат разным компонентам связности графа <tex> G \setminus S </tex>, который получается удалением элементов множества <tex> S </tex> из <tex> G </tex>.
  
−
Рассмотрим <tex> \varkappa (G) \leqslant  \lambda (G) </tex>.
+
Из теоремы [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|теоремы Менгера для вершинной <tex>k</tex>-связности]] имеем, что наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, равно наибольшему числу простых путей, не имеющих общих вершин, соединяющих <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.
  
−
Пусть <tex> \lambda (G)  = l </tex>.
+
Отсюда непосредственно следует:
−
Покажем, что можем удалить <tex> l </tex> вершин и сделать граф несвязным.
 
  
−
Выберем вершину из правой компоненты.Тогда возможны варианты:
+
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Граф <tex> G </tex>  является '''вершинно  <tex>k</tex>-связным ''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>k</tex> вершинно непересекающимися путями.
 +
}}
  
−
1. Все <tex> l </tex> рёбер инцидентны вершине. Тогда:
+
Подобная теорема справедлива и для реберной связности. То есть из [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|''теоремы Менгера для реберной <tex>k</tex>-связности'']] следует:
  
−
# Если вершина не единственна - удаляем вершину.
+
{{Утверждение
−
# Если вершина единственная, тогда:
+
|statement=
−
##Во второй компоненте более <tex> l - 1 </tex> вершин - удаляем их.
+
Граф  <tex> G </tex> является '''реберно <tex>l</tex>-связным''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>l</tex>-реберно непересекающимися путями.
−
## Удаляем её.
 
−
 
 
−
2. Удалив не более <tex> l - 1 </tex> вершин получаем несвязный граф.
 
 
}}
 
}}
  
−
Если граф <tex>G </tex> имеет <tex>n </tex> вершин и <tex> \sigma (G)  \ge \left [ \frac{n}{2} \right ] \quad </tex>, то  <tex>  \lambda (G) = \sigma (G) </tex>.
+
==См. также==
−
 
 
−
==Смотри также==
 
 
* [[Теорема Менгера]]
 
* [[Теорема Менгера]]
 +
* [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство]]
  
−
==Литература==
+
==Источники информации==
  
 
* Харари Ф. Теория графов.[1] — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
 
* Харари Ф. Теория графов.[1] — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
−
 
+
* Форд Л., Фалкерсон Д., Потоки в сетях, пер. с англ., М., 1966
−
 
+
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Связность в графах]]
 
[[Категория:Связность в графах]]
 +
{{Заголовок со строчной буквы}}

Текущая версия на 19:05, 4 сентября 2022

[math]k[/math]-cвязность — одна из топологических характеристик графа.

Определение:
Граф называется вершинно [math]k[/math]-связным, если удаление любых [math] (k - 1) [/math] вершин оставляет граф связным.


Вершинной связностью графа называется [math] \varkappa (G) = \max \{ k \mid G [/math] вершинно [math]k[/math]-связен [math] \} [/math], при этом для полного графа полагаем [math] \varkappa (K_n) = n - 1 [/math].


Определение:
Граф называется реберно [math]l[/math]-связным, если удаление любых [math] (l - 1) [/math] ребер оставляет граф связным.


Реберной связностью графа называется [math] \lambda(G) = \max \{ l \mid G [/math] реберно [math]l[/math]-связен [math] \} [/math], для тривиального графа считаем [math] \lambda (K_1) = 0 [/math].


k-связность и непересекающиеся пути между вершинами

Рассмотрим граф [math] G [/math] и вершины [math] u [/math] и [math] v [/math].

Пусть [math] S [/math] — множество вершин/ребер/вершин и ребер.

[math] S [/math] разделяет [math] u [/math] и [math] v [/math], если [math] u [/math] и [math] v [/math] принадлежат разным компонентам связности графа [math] G \setminus S [/math], который получается удалением элементов множества [math] S [/math] из [math] G [/math].

Из теоремы теоремы Менгера для вершинной [math]k[/math]-связности имеем, что наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины [math] u [/math] и [math] v [/math], равно наибольшему числу простых путей, не имеющих общих вершин, соединяющих [math] u [/math] и [math] v [/math].

Отсюда непосредственно следует:

Утверждение:
Граф [math] G [/math] является вершинно [math]k[/math]-связным [math]\Leftrightarrow [/math] любая пара его вершин соединена по крайней мере [math]k[/math] вершинно непересекающимися путями.

Подобная теорема справедлива и для реберной связности. То есть из теоремы Менгера для реберной [math]k[/math]-связности следует:

Утверждение:
Граф  [math] G [/math] является реберно [math]l[/math]-связным [math]\Leftrightarrow [/math] любая пара его вершин соединена по крайней мере [math]l[/math]-реберно непересекающимися путями.

См. также

Источники информации

  • Харари Ф. Теория графов.[1] — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
  • Форд Л., Фалкерсон Д., Потоки в сетях, пер. с англ., М., 1966
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=K-связность&oldid=84371»