Точки Лебега суммируемой функции — различия между версиями
(этой темы вроде не будет на экзамене) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
| (не показана 1 промежуточная версия 1 участника) | |
(нет различий)
| |
Текущая версия на 19:03, 4 сентября 2022
TODO: Этой темы, видимо, не будет на экзамене, так что забить на неё
E \in \mathbb R^n, f — суммируемая функция на E, \int\limits_E |f| d \lambda_n < + \infty.
По определению суммируемой функции мы можем подобрать g — ограниченную и суммируемую на E таким образом, что:
\int\limits_E |f - g| d \lambda_n < \varepsilon
|g(x)| \le M на E.
По теореме Лузина имея \varepsilon мы можем подобрать неперывную на \mathbb R^n функцию \varphi, которая ограничена |\varphi(x)| \le M и \lambda_n E(g \ne \varphi) < \frac{\varepsilon}{M}.
Тогда \int\limits_E |f - \varphi| \le \int\limits_E |f - g| + \int\limits_E |g - \varphi| \le \varepsilon + \int\limits_E |g - \varphi|
\int\limits_E |g - \varphi| = \int\limits_{E(\varphi \ne g)} |g - \varphi| \le \int\limits_{E(\varphi \ne g)} (|g| + |\varphi|) \le
