Тестовая страница — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 5 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
=== Глава X Мера и интеграл Лебега ===  
+
<wikitex>
#[[Полукольца и алгебры]]
+
{{TODO|t=НЕ ОЧЕНЬ ПОНИМАЮ, ЗАЧЕМ ВООБЩЕ ЭТО УТСВЕРЖДЕНИЕ ТУТ}}
#[[Мера на полукольце множеств]]
+
{{Теорема
#[[Внешняя мера]]
+
|statement=
#[[Мера, порожденная внешней мерой]]
+
Если $f$ — функция ограниченной вариации ($f \in \bigvee(a, b)$), то ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций ($f = f_1 - f_2$).
#[[Процесс Каратеодори]]
+
|proof=
#[[Объём n-мерного прямоугольника]]
+
Возьмем в качестве $f_1$ функцию $f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f)$, тогда по аддитивности она будет не убывать.
#[[Мера Лебега в R^n]]
+
Определим как $f_2$ функцию $f_2(x) = f_1(x) - f(x)$. Докажем, что она монотонно не убывает.
 +
$a < x_1 < x_2 < b$. Надо доказать, что $f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)$, или что $f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)$ (используем утверждение 1).
 +
Но действительно $f(x_2) - f(x_1) \le | f(x_2) - f(x_1) | \le \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)$, ч. т. д.
 +
}}
  
=== Глава XI Измеримые функции===
+
</wikitex>
#[[Определение измеримой функции]]
 
#[[Предельный переход в классе измеримых функций]]
 
#[[Сходимость по мере]]
 
#[[Классические теоремы теории измеримых функций]]
 
 
 
=== Глава XII Интеграл Лебега ===
 
#[[Определение интеграла Лебега]] от ограниченных функций по множествам конечной меры
 
#[[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега]]
 
#[[Предельный переход под знаком интеграла Лебега]]
 
#[[Неотрицательные суммируемые функции]]
 
#[[Суммируемые функции произвольного знака]]
 
#[[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега]]
 
#[[Мера подграфика]]
 
#[[Теорема Фубини]]
 
#[[Точки Лебега суммируемой функции]]
 

Текущая версия на 19:10, 4 сентября 2022

<wikitex>

TODO: НЕ ОЧЕНЬ ПОНИМАЮ, ЗАЧЕМ ВООБЩЕ ЭТО УТСВЕРЖДЕНИЕ ТУТ

Теорема:
Если $f$ — функция ограниченной вариации ($f \in \bigvee(a, b)$), то ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций ($f = f_1 - f_2$).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Возьмем в качестве $f_1$ функцию $f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f)$, тогда по аддитивности она будет не убывать. Определим как $f_2$ функцию $f_2(x) = f_1(x) - f(x)$. Докажем, что она монотонно не убывает. $a < x_1 < x_2 < b$. Надо доказать, что $f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)$, или что $f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)$ (используем утверждение 1).

Но действительно $f(x_2) - f(x_1) \le
[math]\triangleleft[/math]

</wikitex>