Пространство L p(E)

<<>>

Будем рассматривать [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math]. Пусть [math] E [/math] измеримо, [math] p \ge 1 [/math].

[math] L_p(E) = \{f [/math] - измерима на [math] E, \int\limits_E {|f|}^p d \mu \lt + \infty \} [/math], то есть пространство функций, суммируемых с [math] p [/math]-ой степенью на [math] E [/math]. Измеримость [math] f [/math] на [math] E [/math] принципиальна, так как в общем случае из измеримости [math] |f| [/math] не вытекает измеримость [math] f [/math].

Пример, который подтверждает это:

[math] E_1 [/math] - не измеримо и содержится в [math] E [/math].

[math] f(x) = \begin{cases} 1, & x \in E \setminus E_1 \\ -1, & x \in E_1 \end{cases} [/math] — не измерима на [math] E [/math], так как ее множество Лебега [math] E(f(x) \le -1) = E_1 [/math] - неизмеримо.

Но [math] |f(x)| = 1 [/math] на [math] E [/math] уже будет измеримой. Значит, из измеримости модуля не вытекает измеримость функции.

Теорема:

[math] L_p(E) [/math] — линейное пространство.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Нам нужно доказать, что если [math] \int\limits_E |f|^p, \int\limits_E |g|^p \lt + \infty [/math], то [math] \int\limits_E |\alpha f + \beta g|^p \lt + \infty [/math]. 1) Докажем, что [math] \int\limits_E |f + g|^p \lt + \infty [/math]. Очевидно, [math] |f + g|^p \le ( |f| + |g| )^p [/math]. Пусть [math] E_1 = E(|f| \le |g|) [/math], [math] E_2 = E(|f| \gt |g|) [/math], [math] E = E_1 \cup E_2 [/math]. Тогда [math] \int\limits_E |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^p + \int\limits_{E_2} (2 |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) \lt + \infty [/math] 2) Если [math] \int \limits_E |f|^p \lt +\infty [/math], то и [math] \int \limits_E |\alpha f|^p = |\alpha|^p \int \limits_E |f|^p \lt +\infty [/math]. Таким образом, линейность доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math] L_p(E) [/math] с нормой, определенной как [math] ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} [/math] — нормированное пространство.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) [math] ||f||_p \ge 0[/math], так как корень [math]p[/math]-ой степени; [math] ||f||_p = 0 \Leftrightarrow f = 0 [/math] — отождествление функции, совпадают почти всюду. 2) [math] ||\alpha f||_p = |\alpha| ||f||_p [/math] — напрямую следует из линейности интеграла. 3) [math] ||f + g||_p \le ||f||_p + ||g||_p [/math]: Вспомним [math] {\left( \sum (a_i + b_i)^p \right)}^{1/p} \le {\left( \sum a_i^p \right)}^{1/p} + {\left( \sum b_i^p \right)}^{1/p} [/math] — неравенство Минковского. Если мы получим аналогичное неравенство для интегралов, то полуаддитивность будет доказана. [math] uv \le \frac1p u^p + \frac1q v^q, \frac1p + \frac1q = 1, p \ge 1, q \ge 1 [/math] — неравенство Юнга. Подставим [math] u = \frac{|f|}{||f||_p}, v = \frac{|g|}{||g||_p} [/math]: [math] \frac{|f| |g|}{||f||_p ||g||_q} \le \frac1p \frac{|f|^p}{||f||_p^p} + \frac1q \frac{|g|^q}{||g||_q^q} [/math] Интегрируем это неравенство по [math] E [/math]. Так как [math] \int\limits_E \frac{|f|^p}{||f||_p^p} [/math](аналогично, [math] g [/math] и [math] q [/math]), равны 1, получаем: [math] \int\limits_E |f| |g| \le ||f||_p ||g||_q [/math] — неравенство Гёльдера для интегралов. [math] \int\limits_E {(|f| + |g|)}^p = \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |f| + \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |g| \le [/math] [math] \le {( \int\limits_E |f|^p )} ^{1/p} {( \int\limits_E (|f| + |g|)^{(p-1)q})}^{\frac1q} + {( \int\limits_E |g|^p )} ^{1/p} {( \int\limits_E (|f| + |g|)^{(p-1)q})}^{\frac1q}[/math] [math] q = \frac{p}{p-1} [/math], дальше арифметически получаем неравенство Минковского.

[math]\triangleleft[/math]

Значит, [math] ||\cdot||_p [/math] — норма, [math] L_p(E) [/math] — нормированное пространство, можно определить предел и т.д.

У вдумчивого читателя уже давно должен был возникнуть вопрос — почему [math] p \ge 1 [/math]? Тогда не будет работать неравенство Минковского, но нет гарантий, что в этом случае нельзя доказать требуемое как-нибудь еще. Ответ получат только те, кто доживет до третьего курса. Там мы покажем, что при [math] p \lt 1 L_p(E)[/math] — ТВП(топологическое векторное пространство), но локально выпуклым не является, поэтому там нельзя построить нетривиальный линейный функционал.

При рассмотрении нормированных пространств одним из основных вопросов является вопрос их полноты — верно ли, что

[math] ||f_n - f_m||_p \xrightarrow[n,m \to \infty]{} 0 \Rightarrow f \in L_p(E): f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n [/math]?

Иначе говоря, следует ли в этом пространстве обычная сходимость (с пределом, принадлежащим пространству) из сходимости в себе?

Напоминаем, обратное всегда верно:

Так как[math] ||f_n - f_m||_p \le ||f_n - f||_p + ||f_m - f||_p [/math], то

[math] f_n \to f \Rightarrow f_n - f_m \to 0 [/math] — получили сходимость в себе.

[math] f_n \in L_p(E) [/math]

Прежде чем выяснить ответ на этот вопрос, посмотрим, что происходит с интегралом Римана:

Пусть [math] E = [a, b], \lambda [/math] — мера Лебега на [math] E [/math].

[math] \int\limits_a^b f(x) dx [/math] — интеграл Римана.

Если взять [math] \tilde{L_p}(a, b) = \{ f: [a, b] \to \mathbb R : \int\limits_a^b |f|^p dx \lt + \infty \} [/math], то оно будет нормированным пространством, но не будет полным:

Даже если [math] f_n \in \tilde{L_p}, \int\limits_a^b |f_n - f_m|^p dx \to 0 [/math], может не найтись предела [math] f_n [/math]. TODO: А ДОКАЗАТЬ???

Именно поэтому потребовалось распространение интеграла Римана на функции, суммируемые по Лебегу.

Теорема (о полноте):

[math] L_p(E) [/math] — полное.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По условию теоремы, [math] \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \to 0 [/math]. [math] E_{n, m} (\delta) = E(|f_n(x) - f_m(x)| \ge \delta) [/math] — часть [math] E [/math], поэтому [math] \int\limits_{E_{n,m}(\delta)} |f_n - f_m|^p \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p [/math]. [math] \delta^p \mu E_{n, m} (\delta) \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p \to 0, \delta [/math] — фиксирована. Тогда [math] \mu E(|f_n - f_m| \ge \delta) \to 0 [/math]. [math] f_n - f_m \Rightarrow 0 [/math] при [math] n, m \to \infty [/math]. По лемме, которая перед теоремой Риса, утверждалось, что можно выделить [math] f_{n_k} [/math], почти везде сходящуюся к [math] f [/math]. Установим с помощью теоремы Фату, что это — требуемая предельная функция [math] f [/math] в [math] L_p [/math] для [math] E[/math]. [math] ||f_n - f_m||_p \to 0 [/math], следовательно, [math] \forall \varepsilon \gt 0\ \exists N: \forall n,m \gt N: \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \lt \varepsilon^p [/math] Фиксируем [math] \forall m \gt N [/math] и будем вместо n подставлять [math] n_k \gt N [/math]. [math] f_{n_k}(x) - f_m(x) \to f(x) - f_m(x) [/math] По теореме Фату: [math] \int\limits_E |f - f_m|^p \le \sup\limits_{k: n_k \gt N} \int\limits_E |f_{n_k} - f_m|^p \lt \varepsilon^p [/math] Итак, [math] {\left(\int\limits_E |f - f_m|^p \right)}^{1/p} \lt \varepsilon [/math] при [math] m \gt N [/math]. Отсюда, [math] f - f_m \in L_p(E) [/math]. Но [math] f = (f - f_m) + f_m [/math] и, по линейности, [math] f \in L_p(E [/math]). Тогда неравенство можно переписать: [math] ||f_m - f||_p \lt \varepsilon \ \forall m \gt N [/math]. Тогда по определению [math] f = \lim\limits_{m \to \infty} f_m [/math], полнота доказана. Примечание: на этапе выделения подпоследовательности [math] f_{n_k} [/math], стремящейся к [math] f [/math] почти всюду, может получиться, что [math] f [/math] — не интегрируема по Риману.

[math]\triangleleft[/math]

Всюду плотность [math]C[/math] в [math]L_p[/math]

Теорема:

Измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в [math]L_p[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По абсолютной непрерывности интеграла для любого [math]\varepsilon[/math] существует [math]\delta[/math] такое, что для [math]A \subset E[/math] из [math]\mu A \lt \delta[/math] следует [math]\left| \int\limits_A f^p d\mu \right| \lt \varepsilon^p[/math]. Далее, рассмотрим множества [math]A_n = E(|f| \gt n)[/math]. Очевидно, [math]\bigcap\limits_{n = 1}^\infty A_n = \varnothing[/math] и [math]A_{n + 1} \subset A_n[/math], следовательно, [math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mu A_n = 0[/math]. Значит, найдётся такое [math]k[/math], что [math]\mu A_k \lt \delta[/math]. Положим [math]g(x) = f(x)[/math], если [math]x \notin A_k[/math] и [math]g(x) = 0[/math] иначе. Эта функция измерима и ограничена. Тогда [math]\|f - g\|^p = \left| \int\limits_E (f - g)^p d\mu \right| = \left| \int\limits_{E(f \neq g)} (f - g)^p \right| = \left| \int\limits_{E(f \neq g)} f^p \right| \lt \varepsilon^p[/math], то есть, [math]\|f - g\| \lt \varepsilon[/math]. Значит, измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в [math]L_p[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в [math]L_p[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]f \in L_p[/math], подберём ограниченную [math]g[/math], такую, что [math]\|f - g\| \lt \varepsilon / 2[/math]. Пусть [math]|g| \le K[/math]. По теореме Лузина существует такая непрерывная функция [math]\varphi[/math], что [math]\mu E(\varphi \neq g) \lt \frac{\varepsilon^p}{(4K)^p}[/math] и [math]|\varphi| \le K[/math]. Тогда [math]\|\varphi - g\|^p = \int\limits_E (\varphi - g)^p d\mu = \int\limits_{E(\varphi \neq g)} (\varphi - g)^p \le (2K)^p \cdot \mu E(\varphi \neq g) \lt (\varepsilon / 2)^p[/math], то есть [math]\|\varphi - g\| \lt \varepsilon / 2[/math]. По неравенству треугольника, [math]\|f - \varphi\| \lt \varepsilon[/math], следовательно, непрерывные функции образуют всюду плотное множество в [math]L_p[/math].

[math]\triangleleft[/math]

<<>>